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第二章 2.1.1直线的斜率


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2.1.1

2.1.1
【学习要求】

直线的斜率

1.理解直线的斜率和倾斜角的概念. 2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性. 3. 了解斜率公式的推导过程, 会应用斜率公式求直线的斜率. 【学法指导】 通过对直线的斜率及斜率与倾斜角关系的学习,培

养观察、 探索和抽象概括能力; 通过斜率概念的建立和斜率公式的推 导,进一步理解数形结合思想.

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填一填· 知识要点、记下疑难点

2.1.1

1.经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线的斜率公

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y2-y1 式 k= x2-x1

.

2.倾斜角的定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相 交的直线, 把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转 到和直线重合时所转过的 最小正角 称为这条直线的倾斜 角.直线的倾斜角常用字母 α 表示,倾斜角 α 的取值范

≤α<180°. 围是 0°
3.当直线与 x 轴不垂直时,直线的倾斜角 α 与直线的斜率 的关系为 k=tanα.

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2.1.1

[问题情境] 在平面直角坐标系中,点用坐标表示,直线如何表示呢? 为了用代数方法研究直线的有关问题,本节首先探索确定 直线位置的几何要素——倾斜角与斜率.

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2.1.1

探究点一 导引

曲线与曲线的方程

现实世界中的一些美妙曲线:飞逝的流星、雨后的彩

虹、古代的石拱桥、现代的立交桥、行星围绕太阳运行的 轨迹……这些曲线都和方程息息相关,在数学中,我们可 以通过研究这些曲线的方程来认识这些曲线. 画出 y=2x+1 的图象(如图所示),然后观察并思考以下问 题:

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2.1.1

问题 1 点(1,3)为直线上的点,x=1,y=3 满足关系 y=2x +1 吗?
答 将 x=1,y=3 代入关系式 y=2x+1,两边成立,即 x =1,y=3 满足关系 y=2x+1.

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2.1.1

问题 2

x=-2,y=-3 满足关系 y=2x+1,则点(-2,

-3)在 y=2x+1 的图象对应的直线上吗?
答 将点(-2,-3)描在上述直角坐标系内,观察到 点(-2,-3)在 y=2x+1 的图象对应的直线上.

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2.1.1

问题 3 一次函数 y=2x+1 的图象上的点与满足关系式 y= 2x+1 的实数对(x,y)有怎样的关系?
答 存在着一一对应的关系.
小结 一般地,引进平面直角坐标系,用有序数对 (x,y)

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表示平面内的点,根据曲线的几何性质,可以得到关于 x, y 的一个代数方程 f(x,y)=0.反过来,把代数方程 f(x,y) =0 的解(x,y)看做平面上点的坐标,这些点的集合是一条 曲线.

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2.1.1

探究点二 问题 1

直线的斜率 过一点沿着确定的方向就可以画出一条直线.那么

确定直线位置的要素除了点之外,还有什么呢?
答 还有直线倾斜的程度.

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问题 2

现实生活中,楼梯和路面的倾斜程度是用什么量来

刻画的?这个量的意义如何? 高度 答 用坡度,坡度= ,即坡度指斜坡起止点间的高度 宽度
差与水平距离的比值.

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2.1.1

问题 3 通过建立直角坐标系,点可以用坐标来刻画,那么 类比坡度,直线的倾斜程度用什么来刻画?
答 在直角坐标系中,我们可以用类似坡度的量来刻画直 线的倾斜程度,如下图:

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已知两点 P(x1,y1),Q(x2,y2),如果 x1≠x2,那么直线 PQ y2-y1 的斜率为 k= (x ≠x ). x2-x1 1 2

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2.1.1

问题 4 直线上任意两点 P(x1,y1),Q(x2,y2),当 x1=x2 时 直线的位置怎样,k 值如何?
y2-y1 答 此时直线平行于 y 轴,或与 y 轴重合,在 k= 中, x2-x1 因为分母为 0,所以 k 不存在.

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2.1.1

问题 5 运用上述公式计算直线 PQ 的斜率时,需要考虑 P、 Q 的顺序吗?
y2-y1 y1-y2 答 kPQ= =kQP= , x2-x1 x1-x2
所以直线 PQ 的斜率与 P、Q 两点的顺序无关.

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2.1.1

小结

(1)斜率公式与 P,Q 两点的顺序无关;

(2)如果 x1=x2(即直线 PQ 与 x 轴垂直时), 那么直线 PQ 的斜 率不存在; y2-y1 (3)对于与 x 轴不垂直的直线 PQ,斜率可看作:k= = x2-x1 纵坐标的增量 Δy = . 横坐标的增量 Δx

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2.1.1

例1

如图,直线 l1,l2,l3 都经过点 P(3,2),

又 l1,l2,l3 分别过点 Q1(-2,-1),Q2(4, -2),Q3(-3,2),试计算直线 l1,l2,l3 的斜 率.
解 设 l1,l2,l3 的斜率分别为 k1,k2,k3,

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-1-2 3 则 k1= = , -2-3 5 -2-2 k2= =-4, 4-3 2-2 k3= =0. -3-3

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2.1.1

小结 (l1);

(1)当直线的斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜

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(2)当直线的斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜(l2); (3)当直线的斜率为 0 时,直线与 x 轴平行或重合(l3).

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2.1.1

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3 跟踪训练 1 经过点(3,2)画直线, 使直线的斜率分别为: (1) ; 4 4 (2)- . 5 Δy 3 解 (1)根据斜率=Δx,斜率为4表示直线上的任
一点沿 x 轴方向向右平移 4 个单位, 再沿 y 轴方 向向上平移 3 个单位后仍在此直线上,
将点(3,2)沿 x 轴方向向右平移 4 个单位,

再沿 y 轴方向向上平移 3 个单位后得点(7,5),即可确定直线.

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4 -4 (2)∵- = ,∴将点(3,2)沿 x 轴方向向右平移 5 个单位, 5 5

再沿 y 轴方向向下平移 4 个单位后得点(8, -2), 即可确定直 线.

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2.1.1

探究点三 直线的倾斜角 问题 1 观察下面两个图中的直线,你能说出图中的直线是 由哪些量来确定的吗?

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图1

图2

答 图 1 中的直线是由原点和 30° 角确定的;
图 2 中的直线是由点 P 和 120° 角确定的.

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2.1.1

小结 倾斜角的定义:平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴 相交的直线,把 x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转 到和直线重合时所转的最小正角称为直线的倾斜角.直线的 倾斜角常用字母 α 表示.

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问题 2 依据倾斜角的定义,你能得出倾斜角 α 的取值范围 吗?
答 0° ≤α<180° .

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2.1.1

问题 3

任何一条直线都有倾斜角吗?不同的直线其倾斜角

一定不相同吗?
答 由倾斜角的定义可以知道,任何一条直线都有倾斜角;
不同的直线其倾斜角有可能相同, 如平行的直线其倾斜角是相 同的.

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问题 4 在直角坐标系中,过点 P 的一条直线绕 P 点旋转, 依据直线的斜率大小,直线与 x 轴的相对位置有几种不同 情形?请画出示意图.
答 有四种不同情形,如下图所示:

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2.1.1

问题 5 根据问题 4 中你画出的图,你能归纳出直线斜率的 正负与直线倾斜角的大小有怎样的联系?
答 当 k=0 时,α=0; π 当 k>0 时,0<α< ; 2 π 当 k 不存在时,α=2; π 当 k<0 时,2<α<π.

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Δy 问题 6 直线的斜率 k= (k>0)与倾斜角 α 有怎样的关系? Δx Δy 答 由图可知,k= =tan α. Δx

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2.1.1

问题 7 当 k<0 时, 直线的斜率 k 与倾斜角 α 有怎样的关系? 答 如图所示,当 k<0,直线的倾斜角 α 为钝角时,
α=180° -θ,

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Δy BN 此时,k=Δx= =-tan θ -AN =-tan(180° -α). 规定:当 α 为钝角时,tan α=-tan(180° -α). 所以 k=tan α.
小结 当直线与 x 轴不垂直时,直线的斜率 k 与倾斜角 α 之间满足 k=tan α.

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2.1.1

例 2 如图,已知 A(3,2),B(-4,1),C(0, -1),求直线 AB,BC,CA 的斜率,并 判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. 1-2 1 解 直线 AB 的斜率 kAB= = ; -4-3 7 -1-1 1 直线 BC 的斜率 kBC= =- ; 2 0-?-4?
-1-2 直线 CA 的斜率 kCA= =1. 0-3 由 kAB>0 及 kCA>0 知,直线 AB 与 CA 的倾斜角均为锐角; 由 kBC<0 知,直线 BC 的倾斜角为钝角.

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小结

应用斜率公式表示直线斜率时,一定注意 x1≠x2 的条

件,遇到参数时要根据参数的取值进行讨论.

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2.1.1

跟踪训练 2 已知直线 l 经过两点 A(2,-1),B(t,4),求直线 l 的斜率.
解 (1)当 t=2 时,x1=x2=2,直线 l 与 x 轴垂直,

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∴直线 l 的斜率不存在. 4-?-1? 5 (2)当 t≠2 时,直线 l 的斜率 k= = . t-2 t-2 ∴综上所述,当 t=2 时,斜率不存在; 5 当 t≠2 时,k= . t-2

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2.1.1

1.已知过点 P(1,1+a)和 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则
(-∞,1) . 实数 a 的取值范围是__________

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2a-1-a a-1 解析 由 k= <0,即 2 <0,得 a<1. 3-1

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2.1.1

2.已知点 P(- 3,1),点 Q 在 y 轴上,直线 PQ 的倾斜角 为 120° ,则 Q 点的坐标为________ (0,-2) .
解析 因为点 Q 在 y 轴上,则可设其坐标为(0,b). 直线 PQ 的斜率 k=tan 120° =- 3, b-1 ∴k= =- 3, 0-?- 3? ∴b=-2,即 Q 点的坐标为(0,-2).

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2.1.1

3. 求经过下列两点直线的斜率, 并判断其倾斜角是锐角还是 钝角. (1)(1,1),(2,4); (2)(-3,5),(0,2); (3)(2,3),(2,5); (4)(3,-2),(6,-2).
4-1 解 (1)k= =3>0,所以倾斜角是锐角; 2-1 2-5 (2)k= =-1<0,所以倾斜角是钝角; 0-?-3? (3)由 x1=x2=2 得:k 不存在,倾斜角是 90° ;
-2-?-2? (4)k= =0,所以倾斜角为 0° . 6-3

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2.1.1

y2-y1 y1-y2 1.斜率公式:k= (或 k= ), x2-x1 x1-x2 直线的倾斜角定义及其范围:0° ≤α<180° . 2.直线的斜率:k=tan α (α≠90° ) 3.斜率 k 与倾斜角 α 之间的关系: ?k=tan 0° =0 ? ?α=0° ?0° <α<90° ?k=tan α>0 ? ?tan α不存在?k不存在 ?α=90° ? <α<180° ?k=tan α<0 ?90°

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