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§2.6 正态分布


§2.6正态分布
f(X)

m

X

回顾
1两点分布: 2.超几何分布:
X P 0
0 n CM CN ?M n CN

X P … …

0 1-p k
k n ?k CM CN ?M n CN

1 p … … n
n 0 CM CN ?M n CN

1
1 n ?1 CM CN ?M n CN

3.二项分布:
X P 0 1 … …
k n

k
C p q
k n ?k



n

0 0 n Cn p q C 1 p 1q n-1 n

n n 0 C … n p yq

4.由函数y ? f ( x) 及直线 x b? a, x ? b, y ? 0 围成的曲边梯形的面积S=_________ f ( x)dx ;

?

a

O

a

b

第一步:根据样本数据列出频率分布表
区间 号 1 2 区间 [85,90] (90,95] 频数 2 7 频率 0.02 0.07 频率/组距 0.004 0.014

3
4 5 6

(95,100]
(100,105] (105,110] (110,115]

11
15 25 20

0.11
0.15 0.25 0.20

0.022
0.030 0.050 0.040

7
8 9

(115,120]
(120,125] (125,130]

12
6 2

0.12
0.06 0.02

0.024
0.120 0.004

第二步:根据频率分布表画出频率分布直方图
y 频率/组距
- - - - - -

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

0

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

x

各小长方形的面积表示相应各组的频 率,各小长方形面积的总和等于1

第三步:得到总体密度曲线

若数据无限增多且组距无限缩小,那么频率 分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲 线,我们称此曲线为总体密度曲线. 密度曲线

频率 组距

在区间 (a , b) 内取值的频率

a

b

正态分布密度曲线(简称 正态曲线)
Y

正态曲线

“钟形”曲线 函数解析式为:
2 ( x ? m ) ?

X 正态密度函数
2? 2

0

1 f ( x) ? e ? 2?

, x ? R (? ? 0)
m,? 为参数

思考:你能否求出小球落

在(a, b]上的概率吗?
0 a b

X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率(阴影部分 的面积)为:

P(a ? X ? b) ? ? f ( x)dx
b a

m ,?

1.正态分布定义
一般地,如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足:

P(a ? X ? b) ? ?a f ( x)dx
b
m ,?

则称随机变量X服从正态分布. 正态分布由参数m、?唯一确定, m、 ?分别表示总体的平均数与标准差.正态分布记作N( m,?2).其 图象称为正态曲线. 如果随机变量X服从正态分布,则记作:X~N(m,?2) 。

(EX= m
y

DX= ? 2)

0

a

b

x

2.正态曲线的性质

f( x ) ?
y
μ= -1 σ=0.5

1

? 2?

e

?

( x ? m )2 2? 2

, x ? ( ??, ?? )
y
μ=1

y
μ=0

σ=1

σ=2

-3 -2 -1 0

1 2

x

-3 -2 -1 0

1 2

3

x

-3 -2 -1 0

1

2 3

4x

具有两头低、中间高、左右对称的基本特征

2.正态曲线的性质

f( x ) ?
y μ= -1 σ=0.5

1

? 2?

e

?
y

( x ? m )2 2? 2

, x ? ( ??, ?? )
y μ=1

μ=0 σ=1

σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

-3 -2 -1 0

x=m

1 2

x

-3 -2 -1 0

x=m

1 2 3 x

(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交. (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. 1 (3)曲线在x=μ处达到峰值(最高点) σ 2π (4)曲线与x轴之间的面积为1。

x=m

(5)方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ=-1 μ=1

σ=0.5

若? 固定, 随m 值 的变化而 沿x轴平 移, 故 m 称为位置 参数;

m3

m1

m2

(6)均数相等、方差不等的正态分布图示
?=0.5

μ=0

?=1

若 固定, ? 大 时, 曲线“矮而 胖”; ? 小时, 曲线 “瘦而高”, 故 称 ? 为形状 参数。
?=2

m

m

σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散; σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.

正态总体的密度函数表达式

当μ= 0,σ=1时称连续型随 机变量X服从标准正态分布

1 f ( x) ? e 2??

?

( x?m )2 2?2

x ? (??,??)
y

μ=0 σ=1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

标准正态总体的密度函数表达式

f ( x) ?

1 ?2 e x ? (??,??) 2?

x2

标准正态曲线

例1:给出下列三个正态总体的函数表达 式,请找出m和?的值.

1 (1)f ( x ) ? e 2?

x2 ? 2 2?

,x?R

(1)m ? 0,? ? 1

1 (2)f ( x ) ? e , x ? R (2)m ? 1,? ? 2 2 2? 1 2 ? 2 ( x?1) (3) m ? 1, ? ? (3)f ( x) ? e ,x? R 2 2?
2

( x ?1) 2 ? 8

1 f ( x) ? e 2? ?

?

(

x?m ) 2 2? 2

, x ? R (? ? 0)

1、若一个正态分布的概率函数是一个偶函 1 数且该函数的最大值等于 4 2? ,求该正态 分布的概率密度函数的解析式。
1 解: ? f ( x) ? e ? 2?
( x?m )2 ? 2? 2

偶函数

1 1 ? m ? 0, f ( x) max ? f (0) ? ? ? 2? 4 2? x ? 1 ?? ? 4,? f ( x) ? e 32 4 2?
2

2 2.设两个正态分布N(μ 1, ? 12 )(σ 1>0)和N(μ 2, ? 2 ) (σ 2>0)的密度函数图象如 图所示,则有 ( A )

A.μ 1<μ 2,σ 1<σ C.μ 1>μ 2,σ 1<σ

2 2

B.μ 1<μ 2,σ 1>σ D.μ 1>μ 2,σ 1>σ

2 2

解析

由正态分布N(μ ,σ 2)性质知,x=μ 为正态密

度函数图象的对称轴,故μ 1<μ 2.又σ 越小,图象越

高瘦,故σ 1<σ 2.

正态曲线下的面积规律(重要) 概率
?X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。
? 对称区域面积相等。

S(-?,-X)

S(X,?)=S(-?,-X)

X=m

正态曲线下的面积规律(重要) 概率
? 对称区域面积相等。

S(-x1, -x2)

S(-x1,-x2)=S(x2,x1)

-x1 -x2

X=m

x2

x1

3.特殊区间的概率:
若X~N

( m , ? 2 ),则对于任何实数a>0,概率
P( m ? a ? x ≤ m ? a ) ? ?
x=μ
m ?a m ?a

f( x )dx

m-a

m+a

P( m ? ? ? X ? m ? ? ) ? 0.683, P( m ? 2? ? X ? m ? 2? ) ? 0.954, P( m ? 3? ? X ? m ? 3? ) ? 0.997.

我们从上图看到,正态总体在 ?m ? 2? , m ? 2? ? 以外取值的概率只有4.6%,在?m ? 3? , m ? 3? ?以外 取值的概率只有0.3 %。
当 a ? 3? 时正态总体的 X 取值几乎总取值于区 由于这些概率值很小(一般不超过 5 % ), 间 之内 , 其他区间取值几乎不可能 . 在 ( m ? 3 ? , m ? 3 ? ) 通常称这些情况发生为小概率事件。 实际运用中就只考虑这个区间 ,称为 3? 原则.

例2:若X~N(5,4),求 (1) P(3<X<7) (2) P(1<X<9) (3)P(-1<X<11) (4) P(7<X<9) (5) P(X>9)

例3 某设备正常运行时,产品的质量服从正态分布,其 m?500 g, ? 2?1 为了检查设备运行是否正常, 参数为: 质量检验员需要随机地抽取产品,测量其质量.当检验 员随机地抽取一个产品,测得其质量为504 g,他立即 要求停止生产,检查设备.他的决定是否有道理呢??

解 如果设备正常运行,产品质量服从正态分布.根据 题意和正态分布的性质可知,产品质量在500-3=497 g 和500+3=503 g之间的概率为0.997,而质量超过这个范 围的概率只有0.003,这是一个几乎不可能出现的事件. 但是确实抽出了504 g的产品,说明设备的运行极可能 不正常,所以检验员的决定是有道理的.

例4:在某次数学考试中,考生的成绩 ? 服从一个 正态分布,即 ? ~N(90,100). (1)试求考试成绩 多少? 0.954

? 位于区间(70,110)上的概率是

(2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩 在(90,100)间的考生大约有多少人?

0.3415*2000=683

练一练:
1、已知X~N (0,1),则X在区间 (??, ?2)内取值的概率 A、0.9544 B、0.0456 C、0.9772 D、0.023 , D

2、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X ? 0)= 0.5

P(?2 ? X ? 2) =

0.954

.

3、若已知正态总体落在区间 (0.3, ?? ) 的概率为0.5,则 0.3 相应的正态曲线在x= 时达到最高点。

4、已知正态总体的数据落在(-3,-1)里的概率和落 在(3,5)里的概率相等,那么这个正态总体的数学 1 期望是 。

5.设随机变量X服从正太分布N(3,4),若 P(X<2a-3)=P(X>a+2),则a的值为____
6、已知一次考试共有60名同学参加,考生的成绩 X~ (100,52 ) ,据此估计,大约应有57人的分数在 下列哪个区间内?( C ) A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]

归纳小结
1.正态曲线及其特点; 2.正态分布及概率计算; 3.3?原则。


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