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福建省三明市第一中学2015-2016学年高二数学上学期第一次月考试题 理(实验班)


三明一中 2015~2016 学年上学期月考 1 试卷 高二(理科特保班) 数学

(总分 150 分,时间:120 分钟) (注意:请将所有题目的解答都写到“答题卷”上) 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 , ? , x n 的标准差
s? 1? 2 2 2 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? ? ? xn ? x ? ?

? ? n

其中 x 为样本平均数

一、选择题(本题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题只有一个选项符合题意,请将正确 答案填入答题卷中。) 1.将两个数 a=8,b=17 交换,使 a=17,b=8,下面语句正确一组是( )

2.从装有红球、白球和黑球各 2 个的口袋内一次取出 2 个球,则与事件“两球都为白球”互 斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球;②两球恰有一白球;③两球至少有一 个白球”中的哪几个?( ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 3.设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 b ? m , 则“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的( ) INPUT x IF x>=0 THEN y= x ELSE y=-x END IF PRINT y ) END
(第 4 题图)

( A) 充分不必要条件 (C ) 充要条件

( B ) 必要不充分条件 ( D ) 即不充分又不必要条件

4.给出程序如右图所示,若程序执行的结果是 3,则输入的 x 值是( A.3 B.-3 C.3 或-3 D.0

???? ? ???? 5.已知两点 M(-2,0),N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点,满足| MN |·| MP |+

-1-

???? ? ???? MN · NP =0,则动点 P(x,y)的轨迹方程为
A. y 2 =8x B. y 2 =-8x C. y 2 =4x

(

)

D. y 2 =-4x

6.如果在一次实验中,测得(x,y)的四组数值分别是 A(1,3),B(2,3.8),

C(3,5.2),D(4,6),则 y 与 x 之间的回归直线方程是(

)

? =x+1.9 A. y ? =0.95x+1.04 C. y

? =1.05x-0.9 B. y ? =1.04x+1.9 D. y
)

7.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为( A.-1 B.0 C.1 D.3

8.过椭圆 + =1 内的一点 P(2,-1)的弦,恰好被 P 点平分,则这条弦 6 5 所在的直线方程是 A.5x-3y-13=0 C.5x-3y+13=0 ( )

x2 y2

B.5x+3y-13=0 D.5x+3y+13=0

12.下列命题中真命题的个数是 ( ①? x∈R,x >x
4 2

)

②若 p∧q 是假命题,则 p、q 都是假命题 ③命题“? x∈R,x +2x +4≤0”的否定为“? x0∈R,x0+2x0+4>0” A.0 B.1 C.2 D.3
3 2 3 2

二、填空题(本题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知三个数 12(16),25(7),33(4),将它们按由小到大的顺序排列为________. 14.已知椭圆 周长为
x2 a2 ? y2 ? 1 (a>5)的两个焦点为 F1、F2,且|F1F2|=8,弦 AB 过点 F1,则△ABF2 的 25

.
2

15.若命题“? x∈R,使得 x +(a-1)x+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是

.
-2-

16.给定下列命题: ①若 k>0,则方程 x +2x-k=0 有实数根; ②“若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题; ③“矩形的对角线相等”的逆命题; ④“若 xy=0,则 x、y 中至少有一个为 0”的否命题. 其中真命题的序号是 .
2

三、解答题(共 6 题,70 分) ,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 10 分) 用秦九韶算法求多项式 f ( x) ? 8x 7 ? 5x 6 ? 3x 4 ? 2 x ? 1 当 x ? 2 时的值.(要写出详细 步骤) 18.(本题满分 12 分) 设命题 p:(4x-3) ≤1;命题 q:x -(2a+1)x+a(a+1)≤0,若 ? p 是 ?q 的必要不充
2 2

分条件,求实数 a 的取值范围. 19.(本题满分 12 分) 某产品的广告支出 x(单位:万元)与销售收入 y(单位:万元)之间有下表所对应的数据: 广告支出 x(单位: 万元) 1 2 3 4 销售收入 y(单位: 万元) 12 28 42 56 (1)画出表中数据的散点图; (2)求出 y 对 x 的回归直线方程; (3)若广告费为 9 万元,则销售收入约为多少万元? 20.(本题满分 12 分) 汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如 下表(单位:辆): 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (1)求 z 的值; (2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体, 从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; (3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6, 9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2 .把这 8 辆轿车的得分看成一个样本,从中任取一个数, 求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 21.(本题满分 12 分) 从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛,由成绩得到如下的频率分布直方图.

-3-

试利用频率分布直方图求: (1)这 50 名学生成绩的众数与中位数. (2)这 50 名学生的平均成绩. (答案精确到 0.1) 22.(本题满分 12 分) 已知椭圆
x2 a
2

?

y2 b2

=1(a>b>0)的离心率为

1 3 ,直线 y= x+1 与椭圆相交于 A、B 两点, 2 2

点 M 在椭圆上, OM =

1 3 OA + OB ,求椭圆的方程. 2 2



稿



三明一中 2015—2016 学年上学期月考 1 试卷 高二(理科特保班) 数学 参考答案 一、选择题(共 12 小题,每题 5 分,共 60 分) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号 答 B A A C B D B A D A 案 二、填空题(共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. 33(4)<12(16)<25(7) ; 14. 4 41 ; 15. (-∞,-1)∪(3,+∞); 三、解答题(6 题,共 70 分) 17.(10 分) 解: f ( x) ? 8x ? 5x ? 3x ? 2 x ? 1
7 6 4

11 C

12 B

16. ①②④.

? (((((( 8x ? 5) x ? 0) x ? 3) x ? 0) x ? 0) x ? 2) x ? 1.
而 x ? 2 ,所以有

v0 ? 8 ; v1 ? 8 ? 2 ? 5 ? 21; v2 ? 21? 2 ? 0 ? 42; v3 ? 42 ? 2 ? 3 ? 87 ;

v4 ? 87 ? 2 ? 0 ? 174; v5 ? 174? 2 ? 0 ? 348; v6 ? 348? 2 ? 2 ? 698;
v7 ? 698? 2 ? 1 ? 1397 . ∴ f (2) ? 1397 .
18.(12 分) 解:设 A={x|(4x-3) ≤1},
2

B={x|x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0},

-4-

1 易知 A={x| ≤x≤1}, 2

B={x|a≤x≤a+1}.
由 p 是 ?q的必要不充分条件,从而 p 是 q 的充分不必要条件,即 A ? B,
?

1 1 ? ? ?a ≤ ?a < , 2 或? 2 ? ? ? ? a ? 1 > 1. ? a ? 1 ≥ ?1
1 故所求实数 a 的取值范围是[0, ]. 2

19. (12 分) 解:(1)作出的散点图如图所示

(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近,列出下表: 序号 x y x2 xy 1 1 12 1 12 2 2 28 4 56 3 3 42 9 126 4 4 56 16 224 ∑ 10 138 30 418 5 69 易得 x = , y = , 2 2 4 5 69 418-4× × ∑ x y iyi-4 x 2 2 73 69 73 5 i=1 所以 = = = , = y - x = - × =-2. 4 5 2 5 2 2 2 ?5?2 ∑xi-4 x 30-4×? ? i=1 2 ? ? 73 故 y 对 x 的回归直线方程为 = x-2. 5 73 (3)当 x=9 时, = ×9-2=129.4. 5 故当广告费为 9 万元时,销售收入约为 129.4 万元. 20. (12 分) 50 10 解 (1)设该厂这个月共生产轿车 n 辆,由题意得 = ,所以 n=2 000. n 100+300 则 z=2 000-(100+300)-(150+450)-600=400. 400 a (2)设所抽样本中有 a 辆舒适型轿车,由题意得 = ,即 a=2. 1 000 5

-5-

因此抽取的容量为 5 的样本中,有 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车. 用 A1,A2 表示 2 辆舒适型轿车,用 B1,B2,B3 表示 3 辆标准型轿车,用 E 表示事件“在该 样本中任取 2 辆,其中至少有 1 辆舒适型轿车” , 则基本事件空间包含的基本事件有: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1, B3),(B2,B3)共 10 个.事件 E 包含的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1, 7 7 B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3)共 7 个.故 P(E)= ,即所求概率为 . 10 10 1 (3)样本平均数 x = ×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9. 8 设 D 表示事件“从样本中任取一数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5” ,则基 本事件空间中有 8 个基本事件,事件 D 包括的基本事件有: 6 3 3 9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共 6 个,所以 P(D)= = ,即所求概率为 . 8 4 4 21. (12 分) 解:(1)由众数的概念可知,众数是出现次数最多的数.在直方图中高度最高的小长方 形框的中间值的横坐标即为所求,所以众数应为 75. 由于中位数是所有数据中的中间值,故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数 应相等,即频率也相等,从而就是小矩形的面积和相等.因此在频率分布直方图中将频率分 布直方图中所有小矩形的面积一分为二的直线所对应的成绩即为所求. ∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3, ∴前三个小矩形面积的和为 0.3.而第四个小矩形面积为 0.03×10=0.3,0.3+0.3>0.5, ∴中位数应位于第四个小矩形内.设其底边为 x,高为 0.03, ∴令 0.03x=0.2 得 x≈6.7,故中位数约为 70+6.7=76.7. (2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心” ,即所有数据的平均值,取每个小矩形底边的 中点值乘以每个小矩形的面积即可. ∴平均成绩为 45×(0.004×10)+55×(0.006×10)+65×(0.02×10)+75×(0.03×10)+85 ×(0.021×10)+95×(0.016×10)≈73.7. 22. (12 分) 解:由 e=
1 2
2 2 2 2 2 3 得 a =4b ,椭圆可化为:x +4y =4b . 2 2 2

将 y= x+1 代入上式,消去 y 并整理得:x +2x+2-2b =0.
1 2
2


2 . 2

∵直线 y= x+1 与椭圆交于 A、B 两点,∴Δ =4-4(2-2b )>0,∴b>

1 ? x ? ( x1 ? 3 x 2 ) ? 1 3 ? 2 OB ,得 ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则由 OM = OA + . 2 2 ?y ? 1 (y ? 3y ) 1 2 ? 2 ?

∵M 在椭圆上,∴ (x1+ 3 x2) +(y1+ 3 y2) =4b ,∴x1x2+4y1y2=0.
1 ? ?1 ? ∴x1x2+ ? ? x1 ? 1? ? x 2 ? 1? ·4=0,即 x1x2+(x1+x2)+2=0 ?2 ? ?2 ?

1 4

2

2

2



又由①知 x1+x2=-2,x1·x2=2-2b , 代入②中得 b =1,满足 b> ∴椭圆方程为
2 x2 +y =1. 4 2

2

2 . 2

-6-


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