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江苏省江浦高级中学2012-2013学年高一上学期阶段性检测数学试题


江苏省江浦高级中学高一年级第一学期阶段性检测 数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题, 共 70 分.不写解答过程,将答案写在答题纸的 ......... 指定位置上. .....
1、等差数列 {an } 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 a1 ?a2 ? ? ? a7 ? 2、不等式 ▲

2? x ? 0 的解集是

x?4

▲ ▲

3、两平行直线 l1 : 3x ? 4 y ? 6 ? 0 , l 2 : (a ? 1) x ? 2ay ? 1 ? 0 间的距离为 4、在△ ABC 中,三边 a, b, c 所对的角分别为 A, B, C ,若 A ? 30 , a ? 1, b ?
?

2 ,则 B =

▲ 5、若直线 (a2 ? 2a) x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为钝角,则实数 a 的取值范围是 6、已知 sin( ▲

?

1 2? ? ? ) ? , 则 cos( ? 2? ) 的值是 6 3 3



7、已知等比数列 {an } 中,公比 q ? 1 ,且 a1 ? a4 ? 9, a2 a3 ? 8 ,则 8、经过点 M (?2,3) 且到原点距离为 2 的直线方程为 ▲

a2011 ? a2012 ? a2009 ? a2010



9、正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AB ? 2 , P 是 B1C1 的中点,则四棱锥 P ? A BCD1 的 1 1 体积为 ▲

? 10、 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , a, b, c 成等比数列, c ? 2a , cos B ? 若 且 则
▲ 11、设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列命题: (1)若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n ; (2)若 ? // ? , m ? ? , n // ? ,则 m ? n ; (3)若 ? ? ? , m ? ? , n // ? ,则 m // n ; (4)若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n . 上面四个命题中,正确的命题序号为 .. ▲ (请写出所有正确命题的序号)

12、已知数列 {an } 的通项公式为 an ? 23? 4n ,S n 是其前 n 项之和,则使数列 { 项和最大的 正整数 n 的值为 ▲

Sn } 的前 n n

13、若三个正数 a, b, c 成等比数列,且 a ? b ? c ? 1 ,则 a ? c 的取值范围是



1

14、△ ABC 中, S 为 △ ABC 的面积, a, b, c 为 A, B, C 的对边, S ? ▲

1 2 (b ? c 2 ) ,则 B ? 4

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程 或演算步骤,请将答案写在答题纸的指定区域内.
15、(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且(a+b+c)(b+c?a)=3bc. (1)求角 A 的度数; (2)若 2b=3c,求 tanC 的值.

16、 (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ⊥ 底面 ABCD , PC ⊥ AD .底面 ABCD 为梯形, AB // DC , AB ? BC , AB ? BC ,点 E 在棱 PB 上,且 PE ? 2 EB . (1)求证:平面 PAB ⊥ 平面 PCB ; P (2)求证: PD ∥ 平面 EAC .
E A B

D

C

2

17、 (本小题满分 14 分) 已知等差数列 {an } 中, a3 ? a6 ? 17 , a1 a8 ? ?38,且 a1 ? a8 (1)求 {an } 的通项公式; (2)调整数列 {an } 的前三项 a1 , a2 , a3 的顺序,使它成为等比数列 {bn } 的前三项,求 {bn } 的前 n 项和.

18、 (本小题满分 16 分) 已知 A(0,3), B(?1,0), C (3,0) , D 点的坐标, 求 使四边形 ABCD 为直角梯形 A, B, C , D ( 按逆时针方向排列).

3

19、 (本小题满分 16 分) 如图,△ABC 为一个等腰三角形形状的空地,腰 CA 的长为 3(百米), 底 AB 的长为 4(百米). 现决定在该空地内筑一条笔直的小路 EF(宽度不计), 将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长 相等,面积分别为 S1 和 S2 (1) 若小路一端 E 为 AC 的中点,求此时小路的长度; S1 (2) 求 的最小值。 S2

20、 (本小题满分 16 分) 已知数列 {an } 的奇数项是公差为 d1 的等差数列, 偶数项是公差为 d2 的等差数列, n 是 S 数列 {an } 的前 n 项和, a1 ? 1, a2 ? 2 . (1)若 S5 ? 16, a4 ? a5 ,求 a10 ; (2)已知 S15 ? 15a8 ,且对任意 n ? N ,有 an ? an?1 恒成立,求证:数列 {an } 是等差数列; (3)若 d1 ? 3d2 (d1 ? 0) ,且存在正整数 m 、 n(m ? n) ,使得 am ? an .求当 d1 最大时, 数列 {an } 的通项公式。
?

4

江苏省江浦高级中学高一年级第一学期阶段性检测 数学试卷
一、填空题:本大题共 14 小题, 共 70 分.不写解答过程,将答案写在答题纸的指定位置上. ..... 1、等差数列 ?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 a1 ? a2 ? ... ? a7 ? 28 2、不等式 ▲ .

2? x ? 0 的解集是 x?4

(? 4 , 2 ]

. .

3、两平行直线 l1 : 3x ? 4 y ? 6 ? 0 , l2 : (a ? 1) x ? 2ay ? 1 ? 0 间的距离为 1 4、在△ABC 中,三边 a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,若 A ? 30 , a ? 1, b ?
?

2 ,则 B =

? 4



3? 4

.

2 5、若直线 (a ? 2a) x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为钝角,则实数 a 的取值范围是 (?2, 0)

.

6、已知 sin(

?

1 2? ? ? ) ? , 则 cos( ? 2? ) 的值是 6 3 3

?

7 9



7、已知等比数列 {an } 中,公比 q ? 1 ,且 a1 ? a4 ? 9, a2 a3 ? 8 ,则

a2011 ? a2012 ? a2009 ? a2010

4



8、经过点 M(-2,3)且到原点距离为 2 的直线方程为 x=2 或 5 x ? 12y ? 26 ? 0 9、正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AB ? 2 , P 是 B1C1 的中点,则四棱锥 P ? A BCD1 的体 1 1 积为_

8 _. 3

5

? 10、 ABC 的内角 A、 C 的对边分别为 a, b, c , a, b, c 成等比数列, c ? 2a , cos B ? B、 若 且 则
3/4 . 11、设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,给出下列命题: (1)若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n ; (2)若 ? // ? , m ? ? , n // ? ,则 m ? n ; (3)若 ? ? ? , m ? ? , n // ? ,则 m // n ; (4)若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n . 上面命题中,所有正确的命题序号为 .. (2) (4) .

12、已知数列{an}的通项公式为 an=23-4n,Sn 是其前 n 项之和,则使数列{ 最大的 正整数 n 的值为 10 .

Sn } 的前 n 项和 n

2 [ ,1) 13、若三个正数 a, b, c 成等比数列,且 a ? b ? c ? 1 ,则 a ? c 的取值范围是 3 . 1 2 2 14、在 △ ABC 中, S 为 △ ABC 的面积,a, b, c 为 ?A, ?B, ?C 的对边, S ? (b ? c ) , 4 ? 则 ?B ? 45
二、 解答题: 本大题共 6 小题, 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 共 请将答案写在答题纸的指定区域内. 15、(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且(a+b+c)(b+c?a)=3bc. (1)求角 A 的度数; (2)若 2b=3c,求 tanC 的值.

6

16. (本小题满分 14 分) 解析: (1)∵ PA⊥ 底面 ABCD,∴PA ? BC , 又 AB⊥ BC, PA ? AB ? A ,∴BC ⊥ 平面 PAB . 又 BC ? 平面 PCB , ∴ 平面 PAB ⊥ 平面 PCB . (2)∵ PA⊥ 底面 ABCD,∴ 为 PC 在平面 ABCD 内的射影. AC 又∵ PC⊥ AD,∴ AC⊥ AD. 在梯形 ABCD 中,由 AB⊥ BC,AB=BC,得 ?BAC ? ∴?DCA ? ?BAC ? ∴DC ?

?
4



?

2 AC ? 2

?

4

.又 AC⊥ AD,故 ?DAC 为等腰直角三角形.

2 AB ? 2 AB .
DM DC ? ? 2. MB AB

?

P

连接 BD ,交 AC 于点 M ,则 在 ?BPD 中,

E A M D C B

PE DM ? ? 2, EB MB

∴PD // EM 又 PD ? 平面 EAC,EM ? 平面 EAC, ∴ PD∥ 平面 EAC.

17、 (本题满分 14 分) 已知等差数列{an}中, a3 ? a6 ? 17,

a1a 8 ? ?38且a1 ? a8 .

(1)求{an}的通项公式; (2)调整数列{an}的前三项 a1、a2、a3 的顺序,使它成为等比数列{bn}的前三项,
7

求{bn}的前 n 项和.

(i)当数列{bn}的前三项为 b1=1,b2=-2,b3=4 时,则 q=-2 .

b1 (1 ? q n ) ? Sn ? 1? q 1 ? [1 ? (?2) n ] 1 ? ? [1 ? (?2) n ] 1 ? (?2) 3
1 q?? . 2

.………………………………11 分

(ii)当数列{bn}的前三项为 b1=4,b2=-2,b3=1 时,则

b (1 ? q n ) ? Sn ? 1 ? 1? q

1 4[1 ? (? ) n ] 8 1 2 ? [1 ? (? ) n ] …………………14 分 1 3 2 1 ? (? ) 2

18、已知 A(0,3) 、B(-1,0) 、C(3,0) ,求 D 点的坐标,使四边形 ABCD 为直角梯形(A、 B、C、D 按逆时针方向排列). 解 设所求点 D 的坐标为(x,y) ,如图所示,由于 kAB=3,kBC=0, ∴kAB·kBC=0≠-1, 即 AB 与 BC 不垂直,故 AB、BC 都不可作为直角梯形的直角 边. …………2 分 ①若 CD 是直角梯形的直角边,则 BC⊥CD,AD⊥CD, ∵kBC=0,∴CD 的斜率不存在,从而有 x=3. 又 kAD=kBC,∴
y ?3 =0,即 y=3. x

此时 AB 与 CD 不平行. ………………7 分

故所求点 D 的坐标为(3,3). ②若 AD 是直角梯形的直角边, 则 AD⊥AB,AD⊥CD, kAD=
y ?3 y ,kCD= . x x?3 y ?3 ·3=-1. x

由于 AD⊥AB,∴ 又 AB∥CD,∴

y =3. x?3

8

18 ? ?x ? 5 , ? 解上述两式可得 ? ?y ? 9 , ? 5 ?

此时 AD 与 BC 不平行. 故所求点 D 的坐标为 ? ?
18 9 ? , ?, ? 5 5?

…………………………………………12 分
18 9 ? , ? .………14 分 ? 5 5?

综上可知,使 ABCD 为直角梯形的点 D 的坐标可以为(3,3)或 ? ?

19、(2011 年 3 月苏、锡、常、镇四市高三数学教学情况调查一)(3. (本小题满分 14 分) 如图, △ABC 为一个等腰三角形形状的空地, CA 的长为 3(百米), AB 的长为 4(百米). 腰 底 现 决定在该空地内筑一条笔直的小路 EF(宽度不计), 将该空地分成一个四边形和一个三角形, 设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为 S1 和 S2. (1) 若小路一端 E 为 AC 的中点,求此时小路的长度; S1 (2) 求 的最小值. S2 3 解:(1) ∵E 为 AC 中点,∴AE=CE= . 2 3 3 ∵ +3< +4,∴F 不在 BC 上.(2 分) 2 2 若 F 在 AB 上,则 AE+AF=3-AE+4-AF+3,∴AE+AF=5. 7 ∴AF= <4.(4 分) 2 2 在△ABC 中,cosA= .(5 分) 3 9 49 3 7 2 15 2 在△AEF 中,EF =AE2+AF2-2AE· AFcosA= + -2× × × = , 4 4 2 2 3 2 30 30 ∴EF= .(6 分) 即小路一端 E 为 AC 的中点时小路的长度为 (百米).(7 分) 2 2 (2) 若小道的端点 E、F 点都在两腰上,如图,设 CE=x,CF=y, 则 x+y=5, S1 S△CAB-S△CEF S△CAB = = -1(8 分) S2 S△CEF S△CEF 1 CA· CBsinC 2 = -1 1 CE· CFsinC 2 9 = -1≥ xy

9 ?x? y? ? ? ? 2 ?
2

-1 =

11 5 (当 x=y= 时取等号);(10 分) 25 2

若小道的端点 E、F 分别在一腰(不妨设腰 AC)上和底上, 设 AE=x,AF=y,则 x+y=5, 12 S1 S△ABC-S△AEF S△ABC 12 23 5 = = -1=xy -1≥ -1= (当 x=y= 时取等号).(13 分) 2 S2 S△AEF S△AEF 25 2

?x? y? ? ? ? 2 ?

11 答:最小值是 .(14 分) 25

9

20. (本小题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 的奇数项是公差为 d1 的等差数列, 偶数项是公差为 d2 的等差数列, n 是 S 数列 ?an ? 的前 n 项和, a1 ? 1, a2 ? 2 . (1)若 S5 ? 16, a4 ? a5 ,求 a10 ; (2)已知 S15 ? 15a8 ,且对任意 n ? N ,有 an ? an?1 恒成立,求证:数列 ?an ? 是等差数列;
?

(3)若 d1 ? 3d2 (d1 ? 0) ,且存在正整数 m 、 n(m ? n) ,使得 am ? an .求当 d1 最大时, 数列 ?an ? 的通项公式。

10


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