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高中数学:向量法解立体几何总结


向量法解立体几何
1、直线的方向向量和平面的法向量
??? ?

⑴.直线的方向向量: 若 A、B 是直线 l 上的任意两点,则 A B 为直线 l 的一个方向向量;
??? ?

与 A B 平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量.
?

⑵.平面的法向量: 若向量 n 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作
? ? ? n ? ? ,如果 n ? ? ,那么向量 n 叫做平面 ? 的法向量.

⑶.平面的法向量的求法(待定系数法) : ①建立适当的坐标系. ②设平面 ? 的法向量为 n ? ( x , y , z ) . ③求出平面内两个不共线向量的坐标 a ? ( a1 , a 2 , a 3 ) , b ? ( b1 , b 2 , b3 ) .
? ? ?n ? a ? 0 ? ④根据法向量定义建立方程组 ? ? ? . ?n ?b ? 0 ?
?

?

??

⑤解方程组,取其中一组解,即得平面 ? 的法向量.

2、用向量方法判定空间中的平行关系
b ⑴线线平行。设直线 l1 , l 2 的方向向量分别是 a 、 ,则要证明 l1 ∥ l 2 ,只需证明 a ∥ b ,即 ? ? a ? k b(k ? R ) . ? ?

?

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⑵线面平行。设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 的法向量是 u ,则要证明 l ∥ ? ,只需证明
? ? ? ? a ? u ,即 a ? u ? 0 .

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⑶面面平行。若平面 ? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为 v ,要证 ? ∥ ? ,只需证 u ∥ v , 即证 u ? ? v .
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3、用向量方法判定空间的垂直关系
b ⑴线线垂直。设直线 l1 , l 2 的方向向量分别是 a 、 ,则要证明 l1 ? l 2 ,只需证明 a ? b ,即 ? ?

?

?

? ? a ?b ? 0 .

⑵线面垂直 ①(法一)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 的法向量是 u ,则要证明 l ? ? ,只需证明 a
? ? ?

∥ u ,即 a ? ? u . ②(法二)设直线 l 的方向向量是 a ,平面 ? 内的两个相交向量分别为 m 、n ,若
? ?? ?a ? m ? 0 ? ,则 l ? ? . ?? ? ?a ? n ? 0 ?

?

?

?

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?? ?? ?

⑶面面垂直。 若平面 ? 的法向量为 u ,平面 ? 的法向量为 v ,要证 ? ? ? ,只需证 u ? v , 即证 u ? v ? 0 .
? ?

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?

?

4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角
已知 a , b 为两异面直线,A,C 与 B,D 分别是 a , b 上的任意两点, a , b 所成的角为 ? ,
???? ???? AC ? BD 则 co s ? ? ???? ???? . AC BD

⑵求直线和平面所成的角 求法: 设直线 l 的方向向量为 a , 平面 ? 的法向量为 u , 直线与平面所成的角为 ? ,a 与 u 的夹角为 ? , 则 ? 为 ? 的余角或 ? 的补角
? ? ? ?

? ? a ?u . 的余角.即有: s in ? ? co s ? ? ? a u

⑶求二面角 二面角的平面角是指在二面角 ? ? l ? ? 的棱上任取一点 O, 分别在两个半平面内作射 线 AO ? l , BO ? l ,则 ? AOB 为二面角 ? ? l ? ? 的平面角. 如图: A

B
O

l B

O

A
?? ?

n n 求法:设二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面的法向量分别为 m 、 ,再设 m 、 的夹角为 ? , n 二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,则二面角 ? 为 m 、 的夹角 ? 或其补角 ? ? ? .

??

?

??

?

根据具体图形确定 ? 是锐角或是钝角:

?? ? m ?n 如果 ? 是锐角,则 co s ? ? co s ? ? ?? ? , m n

?? ? m ?n 即 ? ? a rc c o s ?? ? ; m n

?? ? ? m ?n 如果 ? 是钝角,则 co s ? ? ? co s ? ? ? ?? ? , 即 ? ? a rc c o s ? ? ? m n ?

?? ? m ?n ? ?? ? ? . m n ? ?

5、利用法向量求空间距离 ⑴点 Q 到直线 l 距离
h ? 1 ? |a |

若 Q 为直线 l 外的一点, P 在直线 l 上, a 为直线 l 的方向向量, b = P Q ,则点 Q 到直线 l 距离为 ⑵点 A 到平面 ? 的距离 若点 P 为平面 ? 外一点,点 M 为平面 ? 内任一点,平面 ? 的法向量为 n ,则 P 到平面 ? 的距离就等于 M P 在法向量 n 方向上的投影的绝对值.
???? ? ????? 即 d ? M P co s n , M P
? ???? ???? n ? M P ? M P ? ? ???? n MP ? ???? n ?MP ? ? n
????

?

?

????

? ? 2 ? ? 2 (| a || b |) ? ( a ? b )

?

?

⑶直线 a 与平面 ? 之间的距离 当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平面的距离相等。由此可知,直线到平面
? ???? n ?MP . 的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离。 即 d ? ? n

⑷两平行平面 ? , ? 之间的距离
? ???? n ?MP d ? . ? n

利用两平行平面间的距离处处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即

⑸异面直线间的距离 设向量 n 与两异面直线 a , b 都垂直, M ? a , P ? b , 则两异面直线 a , b 间的距离 d 就是
? ???? n ?MP ? ???? M P 在向量 n 方向上投影的绝对值。 即 d ? . ? n

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