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上课2.2.2椭圆的简单几何性质第2课时(修订版)


2.2.2椭圆的简 单几何性质(2)
高二数学 选修1-1

第二章

圆锥曲线与方程

标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b |x|≤ a,|y|≤ b

关于x轴、y轴成轴对称;关于原点

成 中心对称

(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. c e ? a a>b

离心率
a、b、c的关 系

a2=b2+c2

口诀: 一个框,四个点,注意 光滑和圆扁,莫忘对称要体现

例1: 点M ( x, y )与定点F (4, 0)的距离和它到直线 25 4 l:x? 的距离的比是常数 ,求点M 的轨迹。 4 5 25
4 的距离,根据题意,
y l M o d H x

解:设d是点M到直线l : x ?

? ? MF 4 ? ? 点M的轨迹就是集合P ? ?M ? ?, d 5? ? ? ? 2 ( x ? 4) ? y 4 由此得 ? . 25 5 ?x 4

F

将上式两边平方,并化简,得9 x 2 ? 25 y 2 ? 225,

x2 y 2 即 ? ?1 25 9

所以,点M的轨迹是长半轴a=5、短半轴长b=3的椭圆。

a ? 5, b ? 3
c ? 4 ? 定点:F (4, 0) 25 定直线l : x ? 与c和a什么关系? 4 4 比值: 与c和a又有什么关系? 5

这是巧合吗?

若点M ( x, y )与定点F (c, 0)的距离和它到定直线 探究:

a2 c l : x ? 的距离的比是常数 (a ? c ? 0),求点M的轨迹。 c a

思考上面探究问题,并回答下列问题:
1)用坐标法如何求出其轨迹方程,并说出轨迹 2)尝试给椭圆下一个新的定义

3)若点M ( x, y)与定点F ?(?c,的距离和它到定直线 0)
轨迹还是同一个椭圆吗 ?

a2 c l ? : x ? ? 的距离的比是常数 (a ? c ? 0),此时点M的 c a

a2 4)当定点改为F ?(0, ? c),定直线改为l ? : y ? ? 时,对应 c 的轨迹方程又是怎样呢 ?

探究、点M(x,y)与定点F (c,0)的距离和它到定直线 l:x=a2/c 的距离的比是常数c/a(a>c>0),求点M 的轨迹。 解:设 d是M到直线l 的距离,根 据题意,所求轨迹就是集合 I’
y M l

MF c P={M| d ? a
由此得

}
? y2 c ? a

F’

o

F

x

? x ? c ?2

a2 ?x c

将上式两边平方,并化简,得 设 a2-c2=b2,就可化成

?a

2

?c x ?a y ? a a ?c
2 2 2 2 2 2

?

?

2

?

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

这是椭圆的标准方程,所以点M的轨迹是长轴、 短轴分别为2a,2b 的椭圆

I’

y

l

F’

o

F

x

由探究可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直 c 线的距离 的比是常数 e ? ?0 ? e ? 1? 时,这个点的轨 a 迹 就是椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线, 常数e是椭圆的离心率。 此为椭圆的第二定义.

x2 y2 ? 2 ? 1,相应于焦点F(c,0) 对于椭圆 2 a 2 b a 准线方程是 x ? , 根据椭圆的对称性,相应于
焦点F‘(-c.0) 准线方程是
所以椭圆有两条准线。

c

a2 , x ?? c

椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的。
定义 1
平面内与

图形

定义 2
平面内与
一 个定 点的 距

两个定点F1、
F2的距离的和
等于常数(大
焦点:F1 (?c,0)、F2 (c,0)
a2 准线:x ? ? c

离 和它 到一 条 定 直线 的距 离 的比是常数
c (0 ? e ? 1) a

于 F1F2 )的点
的轨迹。
焦点:F1 (0,?c )、F2 (0, c )
a2 准线:y ? ? c

e?

的点的轨迹。

由椭圆的第二定义可得到椭圆的几何性质如下:
x2 y 2 a2 (1)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的准线方程为x ? ? a b c
y 2 x2 a2 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的准线方程为y ? ? a b c

2a 2 b2 (2)两准线间的距离为 ,焦点到相应准线的距离为 c c (3)椭圆的第二定义隐含着条件“定点在定直线外”,

否则其轨迹不存在。
(4)由椭圆的第二定义得,椭圆离心率的几何意义: “椭圆上一点到焦点的距离与相应准线的距离之比”

相应

课堂练习
x2 y2 11 ? ?1 x ? ? 上一点到准线 11 7 2 与到焦


1、椭圆 点(-2,0)的距离的比是
2 ( A) 11 11
11 ( B) 2

2 (C ) 11

A)

7 ( D) 11

2、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分,则这个椭圆 的离心率是( C )

? A?

3

?B ?

3 2

?C ?

3 3

?D ?

3 4

3.已知点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的 比为0.8,则动点M的轨迹是( B) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.无法确定

第3课时 直线与椭圆的位置关系

回忆:直线与圆的位置关系

1.位置关系:相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0?直线与圆相交?有两个公共点; (2)△=0 ?直线与圆相切?有且只有一个公共点; (3)△<0 ?直线与圆相离?无公共点.

通法

直线与椭圆的位置关系

种类: 相切 相离 相交 (( 没有交点 一个交点 二个交点 )) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)

直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
? Ax ? By ? C ? 0 消元 2 ? 2 由方程组 ? x y2 ? mx ? nx ? p ? 0(m ? 0) ? 2 ? 2 ?1 b ?a

△=n2 ? 4mp

△? 0

方程组有两解 方程组有一解 方程组无解

两个交点 一个交点 无交点

相交 相切 相离

△=0 △? 0

知识点1.直线与椭圆的位置关系 1.位置关系:相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0?直线与椭圆相交?有两个公共点; (2)△=0 ?直线与椭圆相切?有且只有一个公 共点; (3)△<0 ?直线与椭圆相离?无公共点.

通法

题型一:直线与椭圆的位置关系
x2 y 2 例1:判断直线3x-y +2=0与椭圆 ? ?1 位置关系,若相交求出交点坐标。 16 4
?x ? 0 ? ?y ? 2 48 ? x?? ? ? 37 ? ? y ? ? 70 ? 37 ?



题型一:直线与椭圆的位置关系

x2 2 ? y ?1 练习1.m为何值时,直线y=2x + m和椭圆 4

有一个公共点?有两个公共点?没有公共点?

当m= ? 17 时有一个交点 当- 17 ? k< 17时有两个交点 当k> 17或k<- 17时无交点

题型一:直线与椭圆的位置关系
x 2 y2 ? ? 1 恒有 练习2:直线y=kx+1与椭圆 5 m

公共点,求m的取值范围。

? y ? kx ? 1 ? 2 2 2 2 ? ( m ? 5 k ) x ? 10kx ? 5 ? 5m ? 0 解: ? x y ?1 ? ? ?5 m
2 △? ( 10k) ? 4(m ? 5k 2( ) 5 ? 5m) ? 0 ? m2 ? (5k 2 ?1)m ? 0

? m ? 0,?5k ? 1 ? m恒成立,
2

?1 - m ? 0 ? m ? 1, 且m ? 5

x y 补充:点P ? x0 , y0 ? 与 2 ? 2 ? 1的位置关系 a b (与点和圆的位置关系类似)
x0 y0 x y 点P ? x0 , y0 ? 在 2 ? 2 ? 1上 ? 2 ? 2 ? 1 a b a b x0 2 y0 2 x2 y 2 点P ? x0 , y0 ? 在 2 ? 2 ? 1外 ? 2 ? 2 ? 1 a b a b 2 2 2 2 x0 y0 x y 点P ? x0 , y0 ? 在 2 ? 2 ? 1内 ? 2 ? 2 ? 1 a b a b
2 2 2 2

2

2

解法二? 直线y ? kx ? 1恒过定点( 0,1 ), 且与椭圆总有公共点, ? 定点必在椭圆上或或者 椭圆内 1 ? 0 ? ? 1,? m ? 1且m ? 5 m

x y ? ? 1 , 直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 , 椭圆 例 2: 已知椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?

2

2

分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 的距离的表达式.

4 ?5 尝试遇到困难怎么办?
2 2

d?

4 x0 ? 5 y0 ? 40

?

4 x0 ? 5 y0 ? 40 41
l


m

x0 2 25

?

y0 2 9
m

?1

作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.

题型一:直线与椭圆的位置关系
2 2

x y ? ? 1 , 直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 , 椭圆 例 2: 已知椭圆 25 9 y 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少 ?
解:设直线m平行于l,

则l可写成: 4x ? 5 y ? k ? 0

?4 x ? 5 y ? k ? 0 ? 2 2 2 2 消去y,得25x ? 8kx ? k ? 225 ? 0 由方程组 ? x y ?1 ? ? ? 25 9 由? ? 0,得64k 2 - 4 ? 25 (k 2 - 225) ?0
解得k1 =25,k 2 =-25

o

x

由图可知k ? 25.

题型一:直线与椭圆的位置关系
2 2

x y ? ? 1 , 直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 , 椭圆 例 2: 已知椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少 ? y
?直线m为: 4 x ? 5 y ? 25 ? 0

直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 15 且d ? ? 41 42 ? 52 41 40 ? 25

o

x

dmax

思考:最大的距离是多少?

65 ? ? 41 42 ? 52 41

40 ? 25

1 练习3:已知直线y=x- 与椭圆x2 + 4y2 = 2 , 2 判断它们的位置关系。
解:联立方程组
y? x?
5 1 ? x1 ? x2 ? ? 5 ? 所以,方程(1)有两个根, 则原方程组有两组解 ….

1 2

消去y
2

x2+4y2=2
因为

由韦达定理 5x ? 4x ? 1?0 ?

4 ? ----- (1) x ? x ? 2 ? 1

?>0

那么,相交所得的弦的弦长是多少?
6 AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? 2 5
2 2 2 2

题型二:弦长公式

可推广到任意二次曲线

设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,直线P1P2的斜率为k.

弦长公式:

1 | AB |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? 2 | y1 ? y2 | k
2

当直线斜率不存在时,则 AB ? y1 ? y2 .

题型二:弦长公式
例3:已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A,B两点,求弦AB之长.
解 :由椭圆方程知 : a ? 4, b ? 1, c ? 3.
2 2 2

的右焦点,

右焦点F ( 3,0).
?y ? x ? 3 ? 2 ?x 2 ? y ?1 ? ?4

直线l方程为: y ? x ? 3. 消y得: 5x2 ? 8 3x ? 8 ? 0
设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
8 ? 2 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 5

8 3 8 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 5 5
? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2

题型二:弦长公式

x2 y2 例 4:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? ? 1 的左、右 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点, 4 求 △F1 AB 的面积.

分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,

要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组

x2 y2 例 4:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? ? 1 的左、右 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线,求 △F1 AB 的面积. 4 x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点坐标 F1 (?1, 0), F2 (1, 0) 解:∵椭圆 2 ∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
? y ? x ?1 ? 由 ? x2 消去 y 并化简整理得 2 ? y ?1 ? ? 2
2

3x ? 4x ? 0

4 2 ? 2 ∴ AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2( x1 ? x2 )2 ? 2 ? = ( x ? x ) ? 4 x x 2 1 2? ? 1 3

4 ∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 0 3
0 ? ( ?1) ? 1 2

∵点 F1 到直线 AB 的距离 d ?
∴ S F1 AB

= 2

1 1 4 4 4 ? ? d ? AB = ? 2 ? 2= . 答: △F1 AB 的面积等于 2 2 3 3 3

变式、如图,已知椭圆 ax

2

? by ? 1与直线x+y-1=0交
2

于A、B两点, AB ? 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的 2 斜率是 ,试求a、b的值。 2 y ?ax 2 ? by 2 ? 1 2 消y得:(a ? b) x ? 2bx ? b ?1 ? 0 解:? A ?x ? y ?1 ? 0

=4b -4(a ? b)(b ?1) ? 0 ? ab ? a ? b
2

M

设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

o
B

x

2b b ?1 b a ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? ? AB中点M ( , ) a?b a?b a?b a?b 2 2 a 2 又 AB ? 1 ? k ( x ? x ) ? 4 x1 x2 ? k MO ? ? 1 2 ?b ? 2a b 2 1 2 2b 2 b ?1 ?a ? ,b ? ?2 2 ? 2 ( ) ?4 a?b a?b 3 3

题型三:中点弦问题
例6:已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程. 解:

韦达定理→斜率

韦达定理法:利用韦达定理及中点坐标公式来构造

题型三:中点弦问题
例 6: 已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程.

点 作差

点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造 出中点坐标和斜率.

由b ( x ? x2 ) ? a ( y ? y ) ? 0
2 2 1 2 2 2 1 2 1

y ?y b2 即 ?? 2 x ?x a
2 1 2 1 2 1 2 2

? k AB

2 y1 ? y1 b2 x1 ? x2 x0 b ? ?? 2 x1 ? x2 a y1 ? y1 ? ? a 2 y 0

直线和椭圆相交有关弦的中点问题,常用设而不求的 思想方法.

题型三:中点弦问题
例6已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程.

所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2,整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条 解后反思:中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件,灵活运用中点坐标公式及韦达定理,

练习巩固: x2 y2 ? ?1 4 、如果椭圆被 的弦被(4 ,2 )平分, 36 9 那么这弦所在直线方程为(x ? 2y - 8 ? 0 ) x2 y2 5. 椭圆 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 最大距离 16 4 是________.

10

6、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为 30 度的直线, 16 则弦长 |AB|= _______ ,

5

小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法; 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 2、弦长的计算方法: 弦长公式:
2 |AB|= 1 ? k 2 · (x1 ? x2) ? 4 x1 x2

相交

=

1 1? 2 · (y1 ? y2) ? 4 y1 y2 k

(适用于任何曲线)

3、弦中点问题的两种处理方法: (1)联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理; (2)设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率。


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