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2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(新课标)潘学功全解解析


2011 年宁夏高考数学(理科)解析

石嘴山市光明中学

潘学功

2011 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 数学(理工农医类)
第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题有且只有一个选项是符合题目要求的. 1.复数

2?i 的共轭

复数是( 1 ? 2i 3 3 A. ? i B. i 5 5

) C. ?i D. i

【解析】 解法一: (直接法)分子分母同除以分母的共轭复数,利用 (a ? bi)(a ? bi) ? a2 ? b2 ( a , b ? R ) 。 因为

2?i 2 ? i (2 ? i)(1 ? 2i) (2 ? i)(1 ? 2i) 5i ? ? ? i ,所以复数 的共轭复数是 ?i ,选择 C。 ? 5 5 1 ? 2i 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i)

解法二: (间接法)利用共轭复数的性质 ( 复数

z1 z )? 1 。 z2 z2

2?i 2?i 2?i (2 ? i)(1 ? 2i) ?5i 的共轭复数为 ? ? ? ? ?i ,选择 C。 1 ? 2i 5 1 ? 2i 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i)
B. y ?| x | ?1
2

【点评】本题考察了复数的概念,共轭复数的概念及复数的乘法、除法运算,属容易题。 2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+ ? )单调递增的函数是( ) A. y ? x3 C. y ? ? x ? 1 D. y ? 2?|x|

【解析】 y ? x3 是奇函数且在(0,+ ? )单调递增,排除 A;

y ? ? x2 ? 1是偶函数,在(0,+ ? )单调递减,排除 C; y ? 2?|x| 是偶函数,当 x?(0,+ ? )时, y ? 2? x , 所以 y ? 2?|x| 在(0,+ ? )单调递减,排除 D; y ?| x | ?1 是偶函数,在(0,+ ? )上, y ? x ? 1 ,单调递增。综上选择 B。
【点评】本题考察初等函数的奇偶性与单调性。 3.执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是( A.120 B.720 C.1440 D.5040 【解析】 解法 1:本程序框图的功能是求 p ? N ! ,
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开始 输入 N

k ? 1, P ? 1

因为 N ? 6 ,所以 p ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 720 ,选择 B。 解法 2:按照算法的程序化思想,分步执行下面的计算可得:

p ? p?k

k ? 1, p ? 1 ; k ? 2, p ? 2 ; k ? 3, p ? 6 ; k ? 4, p ? 24 ; k ? 5, p ? 120 ; k ? 6, p ? 720 。
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k ? k ?1
k?N
否 输出 P 结束 是

2011 年 9 月 8 日

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此时,按终止条件结束,输出 p ? 720。选择 B。 【点评】本题考察程序框图,重点考察算法的基本逻辑结构中的循环结构,属中等题。 4.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同, 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
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A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

【解析】 因为甲乙两位同学参加同一个小组有 3 种方法,两位同学 各参加一个小组共有 3 ? 3 ? 9 种方法, 所 以甲乙两位同学参加同一个小组的概率为 P ?

3 1 ? ,选择 A。 3? 3 3


【点评】本题考察乘法原理,随机事件的概率的计算及分析问题、解决问题的能力。 5.已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? ? ( A. ? 【解析】 解法 1: (特殊值法)在直线 y ? 2 x 上任取一点 P(1,2) ,∵ x ? 1 y ? 2 , r ? 5 ,

4 5

B. ?

3 5

C.

3 5

D.

4 5

2 1 , cos ? ? , 5 5 2 2 2 2 以下可选择 cos 2? ? cos ? ? sin ? , cos 2? ? 2cos ? ? 1, cos 2? ? 1 ? 2sin ? 三个公式之一计算
∴根据三角函数定义得 sin ? ? 可得。

1 2 2 3 ) ? ( ) 2 ? ? ,只能选择 B。 5 5 5 3 2 2 解法 2: (分类讨论法) 若角 ? 的终边在第一象限,tan ? ? 2 ,sin ? ? ,cos 2? ? 1 ? 2sin ? ? ? ; 5 5 3 2 2 若角 ? 的终边在第三象限, tan ? ? 2 , sin ? ? ? , cos 2? ? 1 ? 2sin ? ? ? 。因此选择 B。 5 5
例如: cos 2? ? cos ? ? sin ? ? (
2 2

当然对于选择题来说,由第一种情况,就可心断定应该选择 B 了,作为题后反思,还是给出一个 完整解答。 解法 3: (万能公式法)在新课标教材中,万能公式在课本中已经不再出现了。对学有余力的同学,多掌 握一些公式,就会多一条解题的思路,而且这里应用万能公式,也可避免分类讨论。 不管角 ? 的终边在第一象限还是在第三象限,都有 tan ? ? 2 ,从而 cos 2? ? 附万能公式: sin 2? ?

1 ? tan 2 ? 3 ? ? ,选择 B。 2 1 ? tan ? 5

2 tan ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ? , cos 2? ? , tan 2? ? 。 2 2 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan ?

【反思】看到解法 3 ,我情不自禁地想到了 2010 年宁夏高考理科第 9 题,题目如下:

在大纲版教材中,有半角公式: tan

1 ? cos ? sin ? ? ,若知道此公式,这样解答也很精巧。 2 sin ? 1 ? cos ? 4 3 解答如下:因为 cos ? ? ? , ? 是第三象限的角,所以 sin ? ? ? 。 5 5 ?
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?

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潘学功

1 ? cos ? ? ?3 , 所以 tan ? 2 sin ?

?

1 ? tan

2 ? 1 ? 3 ? ? 1 ,选择 A。 ? 1? 3 2 1 ? tan 2

?

因此,在平时教学中,应鼓励学有余力的学生,不要拘泥于课本,视野应更开阔一些。 【点评】本题考察三角函数的定义,已知一个角的三角函数值,求这个角的其它三角函数值,直线的倾 斜角以及二倍角余弦公式、万能公式等知识点,思维入口比较多,解题时要充分抓住选择题的特点,小 题小做,小题巧做。 6.在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以为( )

(正视图)

(A)

(B)

(C)

(D)

【解析】由主视图和俯视图可知,原几何体是由后面是半个圆锥,前面是三棱锥 (俯视图) 的组合体,所以,左视图是 D。 【点评】本题考查三视图、直观图及它们之间的互化,同时也考查空间想象能力和 推理能力,要求有扎实的基础知识和基本技能。 7.设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直, l 与 C 交于 A 、 B 两点,| AB | 为 C 的 实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( A. 2 【解析】 B. 3 ) C.2 D.3

x2 y 2 解法 1: (特殊值法)设双曲线 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ,右焦点为 F (c, 0) , a b x2 y 2 b4 b2 2b 2 2 依题意直线 l 方程为 x ? c ,将 x ? c 代入 2 ? 2 ? 1 ,得 y ? 2 , | y |? ,所以 | AB |? 。 a a a b a 2b2 b2 ? 4a , 2 ? 2 ,从而 b ? 2a 。不妨设 a ? 1 ,则 b ? 2 , c ? 3 , 由已知得 a a 所以 e ? 3 ,选择 B。 x2 y 2 b 解法 2: 设双曲线 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 a ? 0 , ? 0 ) 右焦点为 F (c, 0) , ( , 依题意直线 l 方程为 x ? c , a b x2 y 2 b4 b2 2b 2 2b2 b2 2 | ? 4a , 2 ? 2 , 将 x ? c 代入 2 ? 2 ? 1 , y ? 2 , y |? 得 , 所以 | AB |? 。 由已知得 a a a a b a a 2 2 c b 2 从而 e ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 , e ? 3 ,故选择 B。 a a 2b2 ? 4a , 解法 3:由题意知, | AB | 为双曲线的通径,若知道双曲线的通径公式,可直接得 | AB |? a b2 b2 ? 2 ,所以 e ? 1 ? 2 ? 3 ,故选择 B。 a2 a
【点评】本题考察双曲线的标准方程及简单几何性质,通过已知得到

b2 ? 2 是本解本题的关键。 a2

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潘学功

8. ( x ?

a 1 )(2 x ? )5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为( x x
B.-20 C.20 D.40



A.-40

【解析】令 x ? 1 ,得 ( x ? )(2 x ? )

a 1 5 的展开式中各项系数的和为 1 ? a ,由已知 1 ? a ? 2 ,解得 a ? 1 。 x x a 1 1 1 1 ( x ? )(2 x ? )5 = ( x ? )(2 x ? )5 , (2 x ? )5 的通项公式为 x x x x x 1 Tr ?1 ? C5r (2 x)5? r (? ) r ? (?1) r C5r 25?r x 5? 2 r , x 3 2 因此该展开式中常数项为 (?1)3 ? C5 ? 22 ? (?1)2 ? C5 ? 23 ? 40 ,选择 D。

【点评】本题考察二项式定理,展开式的系数,展开式各项的系数和以及运算能力,正确地把握常数项 的来源和构成是解决本题的关键。

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为( 10 16 A. B.4 C. D.6 3 3 ?y ? x ?x ? 4 ? 【解析】如右图所示,点 A(0,-2) ,由 ? ,得 ? , ?y ? x ? 2 ?y ? 2 ?
9.由曲线 y ? 所以 B(4,2) ,因此所围成的图形的面积为



2 3 1 2 16 4 ?0 ( x ? x ? 2)dx ? ( 3 x 2 ? 2 x ? 2 x) |0 ? 3 。选择 C。
4

【点评】本题考查定积分的概念、几何意义、运算及解决问题的能力。 求曲线围成的图形的面积,就是要求函数在某个区间内的定积分。 10.已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题:

?

?

? ? ? ? ? ? 2? 2? ? p1 : | a ? b |? 1 ? ? ? [0, ) ; p2 : | a ? b |? 1 ? ? ? ( , ? ] ; p3 : | a ? b |? 1 ? ? ? [0, ) ; 3 3 3 ? ? ? ) p4 : | a ? b |? 1 ? ? ? ( , ? ] 。其中的真命题是( 3 A. p1 , p4 B. p1 , p3 C. p2 , p3 D. p2 , p4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 【解析】 (1) | a ? b |? 1 ?| a ? b |2 ? 1 ?| a |2 ?2a ? b? | b |2 ? 1 ? 2a ? b ? ?1 ? cos ? ? ? , 2 2? ∵ 0 ? ? ? ? ,∴ 0 ? ? ? ,因此 p1 是真命题。 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 (2) | a ? b |? 1 ?| a ? b |2 ? 1 ?| a |2 ?2a ? b? | b |2 ? 1 ? 2a ? b ? 1 ? cos ? ? , 2 ? ∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? ? ? ,因此 p4 是真命题。综上所述,选择 A。 3
【点评】本题考查平面向量的的概念、数量积运算以及三角不等式的解法,要熟练把握概念及运算。

| 11. 设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ? ? 0 , ? |? (
则( )

?
2

x fx ) 的最小正周期为 ? , f (? ) ? ( ) 且



? )单调递减 2 ? C. f ( x ) 在(0, )单调递增 2
A. f ( x ) 在(0,
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? 3? , )单调递减 4 4 ? 3? D. f ( x ) 在( , )单调递增 4 4
B. f ( x ) 在(
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潘学功

【解析】 f ( x) ?

2 sin(? x ? ? ? ) ,因为 f ( x) 的最小正周期为 ? ,所以 ? ? 2 , 4

?

f ( x) ? 2 sin(2 x ? ? ? ) , 4
又 f (? x) ? f ( x) ,所以 ? ? 因此 f ( x ) 在(0,

?

?
4

, f ( x) ?

? )单调递减,选择 A。 2

2 sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x , 2

?

【点评】本题主要考察三角函数的图象与性质以及三角恒等变换的知识。化三角函数式为 A sin(? x ? ? ) ? k 的形式是研究三角函数的图象与性质的基础。 12.函数 y ? A.2 【解析】

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x ( ?2 ? x ? 4 )的图像所有交点的横坐标之和等于( 1? x
B.4 C.6 D.8



因为函数 y ?

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x 的图像在区间[-2,4]上关于点(1,0)中心对称, 1? x

而且两函数图像在中心的左右两边各有 4 个交点,且分别关于点(1,0)对称,所以,每两个对应点的 横坐标的和都是 2,如图所示,因此 x1 ? x8 ? x2 ? x7 ? x3 ? x6 ? x4 ? x5 ? 2 ,因此所有交点的横坐标之 和等于 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ? x7 ? x8 ? 8 ,选择 D。 【点评】本题综合考察函数的图象和性质,特别是对称性,方程的根(零点) 。要注意对称性的把握与 运用。
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第Ⅱ卷
本试卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.若变量 x , y 满足约束条件 ? 【答案】-6。 【解析】

?3 ? 2 x ? y ? 9 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9

A

B

可行域如图所示,将 z ? x ? 2 y 化为 y ? ? 显然当直线 y ? ?

1 1 x ? z, 2 2

1 1 x ? z 过点 A 时, z 最大,过点 B 时, z 最小。 2 2 ?2 x ? y ? 3 ?x ? 4 联立 ? ,解得 ? ,∴点 B(4,-5) 。 ? y ? ?5 ?x ? y ? 9 因此,当 x ? 4 , y ? ?5 时, zmin ? 4 ? 2 ? (?5) ? ?6 。
【点评】本题考查线性规划问题,求最优解事先要准确画出可行域是关键。 14.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F , F2 在 x 轴上,离心率为 1 直线 l 交 C 于 A、B 两点,且△ ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为 【答案】

2 。过 F 的 1 2

x2 y 2 ? ? 1。 16 8

【解析】根据椭圆的定义可知△ ABF2 的周长为 4a ? 16 ,

a ? 4 。又离心率 e ?

c 2 ? ,c ? 2 2 , a 2 x2 y 2 b2 ? a 2 ? c 2 ? 8 ,因此椭圆 C 的方程为 ? ? 1。 16 8

【点评】本小题主要考查椭圆的定义、标准方程以及简单 的几何性质。 15.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,

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且 AB ? 6 , BC ? 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积为 【答案】 8 3 。 【解析】如图所示, OO1 ⊥平面 ABCD ,在 Rt ?OO1C 中,

1 1 AC ? AB 2 ? BC 2 ? 2 3 , OO1 ? OC 2 ? O1C 2 ? 16 ? 12 ? 2 , 2 2 1 1 所以 VO ? ABCD ? S ABCD ? OO1 ? ? 12 3 ? 2 ? 8 3 。 3 3 O1C ?
【点评】 本小题主要考查多面体和旋转体的有关概念和性质以及体积的计算。 关键是确定棱锥高的大小, 正确运用公式求解。 16.在△ ABC 中, B ? 60? , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为 【答案】 2 7 。 【解析】在△ ABC 中,由正弦定理得

AB BC AC 3 ? ? ? ? 2, sin C sin A sin B sin 60? ∴ AB ? 2sin C ? 2sin( A ? 60?) ? sin A ? 3 cos A , BC ? 2sin A 。
∴ AB ? 2 BC ? 5sin A ? 3 cos A ? 2 7 sin( A ? ? ) , 因此 AB ? 2 BC 的最大值为 2 7 。 【点评】本小题主要考查正弦定理的应用,利用三角恒等变换化简三角函数的方法。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 等比数列 {an } 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1 , a32 ? 9a2 a6 。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? log3 an ,求数列 { 【解析】 (Ⅰ)设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 2a1 ? 3a2 ? 1 , a32 ? 9a2 a6 ,得 ?

1 } 的前 n 项和。 bn

?2a1 ? 3a1q ? 1
2 4 2 6 ?a1 q ? 9a1 q



1 ? ? a1 ? 2 ? 3q ? 解得 ? 。因为等比数列 {an } 的各项均为正数,所以公比 q ? 0 , 1 ?q 2 ? ? 9 ? 1 1 1 从而得 a1 ? , q ? ,因此数列 {an } 的通项公式 an ? n 。 3 3 3 1 n(n ? 1) (Ⅱ)由(Ⅰ)得 log 3 an ? log 3 n ? ?n , bn ? (?1) ? (?2) ? ? ?(?n) ? ? , 3 2 1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ), ∴ bn n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 ) ∴数列 { } 的前 n 项和 Tn ? ?2(1 ? ) ? 2( ? ) ? ? ?2( ? 2 2 3 n n ?1 bn 1 1 1 1 1 1 2n ? ?2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ?( ? )] ? ?2(1 ? )?? 。 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 【考点定位】本小题主要考查等比数列的通项公式、性质,等差数列的前 n 项和,对数运算,利用裂项
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法求和的方法。解答过程要细心,公式性质要灵活运用 。 18. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ∠ DAB ? 60? , AB ? 2 AD , PD ⊥底面 ABCD 。 (Ⅰ)证明: PA ⊥ BD ; (Ⅱ)若 PD ? AD ,求二面角 A ? PB ? C 的余弦值。 【解析】 (Ⅰ)证明:设 AD ? a ,则 AB ? 2a , 在△ ABC 中,∠ DAB ? 60? ,
2 2 2 2

P

D A B

C

根据余弦定理,得 BD ? a ? 4a ? 2 ? a ? 2a ? cos 60? ? 3a , ∴ AD ? BD ? 4a ? AB ,∴ BD ⊥ AD 。 又 PD ⊥底面 ABCD , BD ? 底面 ABCD , ∴ PD ⊥ BD 。而 AD ? 平面 PAD , PD ? 平面 PAD , PD ? AD ? D , ∴ BD ⊥平面 PAD , ∵ PA ? 平面 PAD ,∴ PA ⊥ BD 。 (Ⅱ)解:如图,以点 D 为原点,DA、DB、DP 所在直线分别 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,
2 2 2 2

不妨设 PD ? AD =1,则 AB ? 2 , BD ? 3 , 则 D(0,0,0) ,A(1,0,0) ,B(0, 3 ,0) , C(-1, 3 ,0) ,P(0,0,1) 。 设平面 PAB 的法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 因为 AP ? (?1,0,1) , AB ? (?1, 3,0) , 由 n1 ⊥ AP , n1 ⊥ AB ,

z P

??

??? ?

??? ?

??

??? ?

??

??? ?

D x A B

? z1 ? x1 ? ? x1 ? z1 ? 0 ? ? 得? ,即 ? 3 , y1 ? x1 ? ? x1 ? 3 y1 ? 0 ? ? 3 ? ?? 令 x1 ? 3 , y1 ? 3 , z1 ? 3 ,∴ n1 ? (3, 3,3) 。 ?? ? 设平面 PBC 的法向量 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , ??? ? ??? ? 因为 BC ? (?1,0,0) , BP ? (0, ? 3,1) , ? ? ?? ??? ?? ??? ? ? 由 n2 ⊥ BC , n2 ⊥ BP ,
?? x2 ? 0 ? x2 ? 0 ? ? ,即 ? , ? ? 3 y2 ? z 2 ? 0 ? z 2 ? 3 y2 ? ? ?? ? 令 y2 ? 1 , z2 ? 3 ,∴ n2 ? (0,1, 3) 。
得?

C y

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 4 3 2 2 7 ? ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? = 。 = = |n1|?|n2 | 7 21 ? 2 7
显然二面角 A ? PB ? C 为钝角,因此二面角 A ? PB ? C 的的余弦值为-

2 7 。 7

【考点定位】本题考查空间内的两条直线垂直的证明,空间角的计算。考查定理的理解和运用,空间向 量的运用。同时也考察了空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。解题时要注意法向量的计算。

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19. (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品。现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并 测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表 [94,98) [98,102) 20 42 B 配方的频数分布表 [94,98) [98,102) 12 42

指标值分组 频数 指标值分组 频数

[90,94) 8 [90,94) 4

[102,106) 22 [102,106) 32

[106,110] 8 [106,110] 10

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y (单位:元)与其质量指标值 t 的

? ?2, t ? 94 ? 关系式为 y ? ? 2, 94 ? t ? 102 。 ? 4, t ? 102 ?
从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X (单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望。 (以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率) 【解析】 (Ⅰ)由试验结果知,使用 A 配方生产的产品的优质品率为 p1 ? 优质品率为 p2 ?

30 ? 0.3 ,使用 B 配方生产的产品的 100

42 ? 0.42 。 100

? ?2, t ? 94 ? (Ⅱ)由 y ? ? 2, 94 ? t ? 102 ,得随机变量利润 X 的取值为-2,2,4。 ? 4, t ? 102 ?
用 B 配方生产的 100 件产品中,其质量指标值落入区间[90,94) ,[94,102) ,[102,120]的频率分别为 0.04, 054,0.42,因此 P( X ? ?2) ? 0.04 , P( X ? 2) ? 0.54 , P( X ? 4) ? 0.42 ,因此 X 的分布列 为 2 4 -2 X 0.04 0.54 0.42 P 所以 X 的数学期望 EX ? ?2 ? 0.04 ? 2 ? 0.54 ? 4 ? 0.42 ? 2.68 。 【考点定位】本小题主要考查了概率和统计的相关内容,主要把握统计的结果对应的是随机变量及其概 率,运用概念求角,避免理解上的偏差。 20. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0, ?1) , B 点在直线 y ? ?3 上, M 点满 足 MB ∥ OA , MA · AB ? MB · BA ,M 点的轨迹为曲线 C 。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) P 为 C 上的动点, l 为 C 在 P 点处的切线,求 O 点到 l 距离的最小值。 【解析】

????

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

( Ⅰ ) 设 动 点 M ( x, y ) , B(t , ?3) , 则 MA ? ( ? x, ?1 ? y), MB ? (t ? x, ?3 ? y) , OA ? (0, ?1) ,

????

????

??? ?

? ???? ??? ???? ??? ???? ??? ? ? ??? ? ??? ? AB ? (t , ?2) , BA ? (?t , 2) ,因为 MB ∥ OA , MA · AB ? MB · BA ,
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所以 ?

?x ? t ? 0
2 ??tx ? 2 ? 2 y ? ?t ? tx ? 6 ? 2 y



1 2 x ?2。 4 1 2 1 1 (Ⅱ)∵ P 为 C 上的动点,∴设 P (t , t ? 2) ,∵ y ' ? x ,∴切线 l 的斜率为 t , 4 2 2 1 2 1 ∴切线 l 的方程为 y ? ( t ? 2) ? t ( x ? t ) ,即 2tx ? 4 y ? t 2 ? 8 ? 0 , 4 2 1 4 t2 ? 8 1 t2 ? 8 O 点到 l 距离 d ? 由点到直线的距离公式得 ? ( t2 ? 4 ? ) ? 2。 ? 2 2 2 t ?4 4t ? 16 2 t ? 4 2 4 2 当且仅当 t ? 4 ? ,即 t ? 0 , dmin ? 2 。 t2 ? 4 因此 O 点到 l 距离的最小值为 2。
化简得 x2 ? 4 y ? 8 ,即曲线 C 的方程为 y ? 【考点定位】本题主要考察平面向量的数量积,向量共线定理,求轨迹方程的方法,利用导数求切线方 程,点到直线的距离公式以及用不等式定理求最值。题(1)按照“建系、设点、列式、化简”求 轨迹方程;题(2)把点到直线的距离用动点坐标表示,然后化简,利用均值不等式定理求最值。 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 。 x ?1 x ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ? 【解析】

x ?1 ? ln x b x ? 1 ? x ln x b a ln x b ? 2 ? a? ? 2 , f ( x) ? ? ,得 f '( x) ? a ? x (Ⅰ)由 2 ( x ? 1) x x( x ? 1) 2 x x ?1 x ∵曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 , ? f (1) ? b ? 1 ?a ? 1 ? ∴? 。 1 1 ,解得 ? ?b ? 1 ? f '(1) ? 2 a ? b ? ? 2 ? ln x 1 ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? ,∴ f ( x) ? ( ? )? [2ln x ? ], (Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)知 f ( x ) ? x ?1 x x ?1 x 1 ? x2 x (k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x 考虑函数 h( x) ? 2 ln x ? (x ? 0) ,则 h '( x) ? 。 x x2 k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 ①设 k ? 0 ,由 h '( x) ? 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故 x2 1 h( x) ? 0 ; 当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得 1 ? x2 1 h( x) ? 0 ; 当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,可得 1 ? x2 ln x k ln x k ? ) ? 0 ,即 f ( x ) ? ? 。 从而当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x) ? ( x ?1 x x ?1 x 1 ) 时, (k ?1)( x2 ? 1) ? 2x ? 0 ,故 h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故 ②设 0 ? k ? 1 ,由于当 x ? (1, 1? k
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1 1 ) 时, h( x) ? 0 ,可得 h( x ) ? 0 ,与题设矛盾; 1? k 1 ? x2 ③设 k ? 1 ,此时 h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 , 1 h( x ) ? 0 ,与题设矛盾。 可得 1 ? x2 综合得, k 的取值范围是 (??, 0] 。
当 x ? (1,

ln x 1 ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? ,∴ f ( x) ? ( ? )? [2ln x ? ], x ?1 x x ?1 x 1 ? x2 x (k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x 考虑函数 h( x) ? 2 ln x ? (x ? 0) ,则 h '( x) ? 。 x x2 k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 ①设 k ? 0 ,由 h '( x) ? 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故 x2 1 h( x) ? 0 ; 当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得 1 ? x2 1 h( x) ? 0 ; 当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,可得 1 ? x2 ln x k ln x k ? ) ? 0 ,即 f ( x ) ? ? 。 从而当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x) ? ( x ?1 x x ?1 x ②设 0 ? k ? 1 ,令 g ( x) ? (k ?1)( x2 ? 1) ? 2x ? (k ? 1) x2 ? 2x ? k ?1, 1 1 2 2 k (2 ? k ) ) ? (k ? 1) ? ( ) ? ? k ?1 ? ? 0, 则 g (1) ? 2(k ? 1) ? 2 ? 2k ? 0 , g ( 1? k 1? k 1? k 1? k 1 ) 时, g ( x) ? (k ?1)( x2 ? 1) ? 2x ? 0 ,故 h '( x) ? 0 。 又 k ? 1 ? 0 ,所以当 x ? (1, 1? k 1 1 ) 时, h( x) ? 0 ,可得 h( x ) ? 0 ,与题设矛盾; 而 h(1) ? 0 ,故当 x ? (1, 1? k 1 ? x2 ③设 k ? 1 ,此时 h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 , 1 h( x ) ? 0 ,与题设矛盾。 可得 1 ? x2 综合得, k 的取值范围是 (??, 0] 。
解法 2:由(Ⅰ)知 f ( x ) ?

ln x 1 ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? ,∴ f ( x) ? ( ? )? [2ln x ? ], x ?1 x x ?1 x 1 ? x2 x (k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x 考虑函数 h( x) ? 2 ln x ? (x ? 0) ,则 h '( x) ? 。 x x2 k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1) 2 ①设 k ? 0 ,由 h '( x) ? 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故 x2 1 h( x) ? 0 ; 当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得 1 ? x2 1 h( x) ? 0 ; 当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,可得 1 ? x2 ln x k ln x k ? ) ? 0 ,即 f ( x ) ? ? 。 从而当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x) ? ( x ?1 x x ?1 x 2 2 ②设 0 ? k ? 1 ,令 g ( x) ? (k ?1)( x ? 1) ? 2x ? (k ? 1) x ? 2x ? k ?1,
解法 3:由(Ⅰ)知 f ( x ) ?

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1 k (2 ? k ) 2 1 )? ? 0, 时, g ( x) max ? g ( ? 1? k 1? k 2(k ? 1) 1 ? k 1 又 k ? 1 ? 0 ,所以一定在 附近存在区间( x1 , x2 ) ,当 x ? ( x1 , x2 ) 时, g ( x) ? 0 ,故 h '( x) ? 0 。 1? k 1 h( x ) ? 0 ,与题设矛盾; 而 h(1) ? 0 ,故当 x ? ( x1 , x2 ) 时, h( x) ? 0 ,可得 1 ? x2 ③设 k ? 1 ,此时 h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 , 1 h( x ) ? 0 ,与题设矛盾。 可得 1 ? x2 综合得, k 的取值范围是 (??, 0] 。
则当 x ? ? 【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义,导数的性质及导数的应用,第二问考察了分类讨论的 思想。 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分) 选修 4—1:几何证明选讲 如图, D , E 分别为△ ABC 的边 AB , AC 上的点,且不与△ ABC 的顶点重合。已知 AE 的长 为 m , AC 的长为 n , AD , AB 的长是关于 x 的方程 x ? 14 x ? mn ? 0 的两个根。
2

(Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若∠ A ? 90? ,且 m ? 4 , n ? 6 , 求 C , B , D , E 所在圆的半径。 【解析】 (Ⅰ)连接 DE, ∵ AD , AB 的长是关于 x 的方程 x ? 14 x ? mn ? 0 的两个根。
2

C E

∴ AD ? AB ? mn ,又 AE = m , AC = n , ∴ AD ? AB ? AE ? AC ,

A

D

B

AD AC ? ,而 ?DAE ? ?CAB ,∴ ?ADE ? ?ACB , AE AB ∴ ?C ? ?ADE , 从而 ?C ? ?BDE ? ?ADE ? ?BDE ? 180? , 因此 C , B , D , E 四点共圆。 (Ⅱ)解法 1:∵ m ? 4 , n ? 6 ,
即 ∴方程 x ? 14 x ? mn ? 0 为 x ? 14 x ? 24 ? 0 ,
2 2

∵ AD , AB 的长是关于 x 的方程 x ? 14 x ? mn ? 0 的两个根,
2

∴ AD ? 2 , AB ? 12 。 如图,连接 DE,BE,∵∠ A ? 90? ,AE=4, ∴ BE ? 16 ? 144 ? 160 ? 4 10 , DE ?

20 ? 2 5 ,

sin ?ADE ?

4 2 5

?

2 5 , 5
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在△DBE 中, sin ?BDE ? sin ?ADE ?

2 5 , 5

根据正弦定理得 2 R ?

BE 4 10 ? ? 10 2 ,解得 R ? 5 2 。 sin ?BDE 2 5 5

因此 C , B , D , E 所在圆的半径为 5 2 。 解法 2:当 m ? 4, n ? 6 时,方程 x ? 14x ? m n ? 0 的根 x1 ? 2, x2 ? 12,
2

因而, AD ? 2, AB ? 12 ,取 CE 中点 G,BD 中点 F, 分别过 G,F 做 AC,AB 的垂线,两垂线交于点 H, 连接 DH, 因为四点 C、B、D、E 共圆,所以 H 为圆心,半径为 DH。

? ?A ? 90? , GH // AB, HF // AC ,所以,

HF ? AG ? 5, DF ?

1 ? (12 ? 2) ? 5 , DH ? 5 2 。 2

点评:此题考查平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质。注意把握判定与性质的作用。 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) M 是 C1 上的动点, , ? y ? 2 ? 2sin ?

??? ? ???? ? P 点满足 OP ? 2OM , P 点的轨迹为曲线 C2 。
(Ⅰ)当求 C2 的方程; (Ⅱ) 在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 射线 ? ? 与 C2 的异于极点的交点为 B ,求 | AB | 。 【解析】解法 1: (1)∵曲线 C1 的参数方程为 ?

?
3

与 C1 的异于极点的交点为 A ,

? x ? 2cos ? ,∴ C1 的普通方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , ? y ? 2 ? 2sin ?

1 ? ??? ? ???? ? ? x0 ? 2 x ? 设 P( x, y) , M ( x0 , y0 ) ,∵ OP ? 2OM ,∴ ( x, y) ? 2( x0 , y0 ) ,即 ? 。 ?y ? 1 y ? 0 2 ?
∵ M 是 C1 上的动点,∴ (2)射线 ? ?

?
3

1 2 1 x ? ( y ? 2) 2 ? 4 ,因此曲线 C2 的方程为 x2 ? ( y ? 4)2 ? 16 。 4 2

的直角坐标方程为 y ? 3x ( x ? 0 ) ,

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由?

? y ? 3 x( x ? 0) ?
2 2 ? x ? ( y ? 2) ? 4 ?

,得 ?

? ?x ? 0 ?x ? 3 或? , ?y ? 0 ?y ? 3 ?

依题意 A( 3,3) 。 由?

? y ? 3x( x ? 0) ?
2 2 ? x ? ( y ? 4) ? 16 ?

,得 ?

?x ? 0 ?x ? 2 3 ? 或? , ?y ? 0 ?y ? 6 ?

依题意 B(2 3,6) 。 由两点间的距离公式得 | AB |? 3 ? 9 ? 2 3 。

1 ? ??? ? ???? ? ? x0 ? 2 x ? 解法 2: (1)设 P( x, y) , M ( x0 , y0 ) ,∵ OP ? 2OM ,∴ ( x, y) ? 2( x0 , y0 ) ,即 ? 。 ?y ? 1 y ? 0 2 ? ?x ? 2 ? 2 cos ? ? x ? 4cos ? x y ? ∴ M ( , ) ,∵ M 是 C1 上的动点,∴ ? ,即 ? , 2 2 y ? y ? 4 ? 4sin ? ? ? 2 ? 2 sin ? ?2 ?
因此曲线 C2 的参数方程为 ?

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) 。 ? y ? 4 ? 4sin ?

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? , 曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ? 射线 ? ?

? ?
3 3

与 C1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4sin 与 C2 的交点 B 的极径为 ?1 ? 8sin

?

?

3 3

?2 3, ?4 3。

所以 | AB |?| ?1 ? ?2 |? 2 3 。 【考点定位】本小题主要考查圆的参数方程,极坐标方程,参数方程与直角坐标方程的互化。 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | ?3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ?1} ,求 a 的值。

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【解析】 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ?| x ? 1| ?3x ,不等式 f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 。 ∴ x ? 1 ? ?2 或 x ? 1 ? 2 ,即 x ? ?1 或 x ? 3 , 因此不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? ?1 或 x ? 3} 。 (Ⅱ)函数 f ( x) ?| x ? a | ?3x 可化为 f ( x) ? ?

?4 x ? a, x ? a , ?2 x ? a, x ? a

a ? ?x ? 4 , x ? a ?4 x ? a ? 0, x ? a ? 令 f ( x) ? 0 得 ? ,解得 ? , ?2 x ? a ? 0, x ? a ?x ? ? a , x ? a ? ? 2 a ∵ a ? 0 ,∴不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ? } , 2 a 由已知不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ?1} ,∴ ? ? ?1 ,解得 a ? 2 。 2
【考点定位】本小题主要考查绝对值不等式的解法,分段函数的应用。解答时应注意过程的完整性,书 写的规范性。

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