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高中数学必修5寒假补习资料


寒假补习卷一
1.内角和定理:

高中数学必修 5——解三角形复习
★ 知 识 梳理 ★

在 ?ABC 中 , A ? B ? C ?? ; sin( A ? B) ? sin C ; cos( A ? B) ? ? cos C
cos A? B C ? sin 2 2 1 1 1 ab sin C ? bc

sin A = ca sin B 2 2 2

2.面积公式: S?ABC ?

3.正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一:
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

(解三角形的重要工具)

?a ? 2R sin A ? 形式二: ?b ? 2 R sin B ?c ? 2R sin C ?

(边角转化的重要工具)

4.余弦定理: 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们 夹角的余弦的积的两倍.. 形式一: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B (解三角形的重要工具)
c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C

形式二: cos A ?

b2 ? c2 ? a2 c2 ? a2 ? b2 ; cos B ? ; 2bc 2ca
★例题分析★

cosC=

a2 ? b2 ? c2 2ab

1

在△ABC 中,

,则

等于(



A

B

C

D

2. 在△ABC 中,若 C ? 900 , a ? 6, B ? 300 ,则 c ? b 等于( A
1



B

?1

C

2 3

D

?2 3
D. 60?或120?

3.在 ?ABC 中,若 a =1,C= 60 ? , c = 3 则 A 的值为 A. 30 ? B. 60 ? C. 30?或150? 4. 在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于(
1 / 16



A

300 或600

B

450 或600

C

1200 或600

D

300 或1500

5.在 ?ABC 中, a , b , c 分别为角 A , B , C 所对边,若 a ? 2b cos C ,则此三 角形一定是( A.等腰直角三角形 ) B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形

6.在△ABC 中,A=60° ,B=75° ,a=10,则 c 等于_________. 7.在△ABC 中,a= 3,b=1,c=2,则 A 等于________. 8. △ ABC 中 , 若 ∠ B=30 ° ,AB=2 ___. 9.根据所给条件,判断△ABC 的形状.?
a b c ? ? . cos A cos B cos C c sin A c sin B ,b ? 解:由正弦定理得: a ? 代入已知等式: sin C sin C

3 ,AC=2, 则 △ ABC 的 面 积 为 ___

c sin A c sin B c ? ? cos A sin C cos B sin C cosC sin A sin B sin C ? ? ? cos A cos B cosC

? 即 tanA=tanB=tanC ∵A、B、C∈(0,π )? ∴A=B=C ? ∴△ABC 为等边三角形.? 10.已知△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,其中 c ? 2 , 又向量 m ? (1 , cosC ) ,n ? ( cosC , 1) ,m·n=1. (1)若 A ? 45? ,求 a 的值; (2)若 a ? b ? 4 ,求△ ABC 的面积. 解: ∵mn ? cosC ? cosC ? 2cosC ? 1 (1)
cos C ? 1 2

?0? ? C ? 180?

∴ C ? 60?

2 2 2 6 a 2 a? ? ? 3 , (2)∵ c ? 2 , 3 由正弦定理得, sin 45? sin 60? , ∴

?C ? 60? , ?a2 ? b2 ? 2ab cos60? ? 4 ,∴ a 2 ? b 2 ? ab ? 4 ,
又∵ a ? b ? 4 , a ? b ? 2ab ? 16 , ab ? 4 , ∴ ∴ ∴
2 2

S ?ABC ?

1 ab sin C ? 3 2 .

2 / 16

★ 练习 ★ cosA b 1 在△ABC 中,若cosB =a ,则△ABC 的形状是.(

)

A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰或直角三角形 D.等边三角形

2、 在?ABC中, A ? 30?, a ? 8, b ? 8 3, 则S?ABC ? ______. 1 4. 在△ABC 中,a=3 2,b=2 3,cos C=3,则△ABC 的面积为________. 5、在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45° .求角 A,C 和边 c

6.根据所给条件,判断△ABC 的形状.? (1)acosA=bcosB; 解:由余弦定理得:acosA=bcosB ? a ? (
b2 ? c2 ? a2 a2 ? b2 ? c2 ) ? b?( ) 2bc 2ac

? a 2c 2 ? a 4 ? b2c 2 ? b4 ? 0
? ( a 2 ? b 2 )(c 2 ? a 2 ? b 2 ) ? 0 ? a 2 ? b 2 ? 0或c 2 ? a 2 ? b 2 ? 0 ? a ? b或 c 2 ? a 2 ? b 2

∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形 7.已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、 b 、 c ,若 1 cos B cos C ? sin B sin C ? . 2 (Ⅰ )求 A ; (Ⅱ )若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.
1 1 ? cos( B ? C ) ? 2 2

解: (Ⅰ)? cos B cos C ? sin B sin C ?

??????2 分
2? 3

又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?

?

3

? A ? B ? C ? ? ,? A ?

(Ⅱ)由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A 得 (2 3 ) 2 ? (b ? c) 2 ? 2bc ? 2bc ? cos
? bc ? 4
2? 3 1 即: 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) , 2

∴ S ?ABC ? 寒假补习卷二

1 1 3 bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3 2 2 2

高中数学必修 5——数列复习
★数列基础复习★

1.等差等比数列 等差数列
3 / 16

等比数列

定义

an ? an?1 ? d ( n ? 2 )
a n ? a1 ? (n ? 1)d , an ? am ? (n ? m)d ,(n ? m)

an?1 ? q(n ? N * ) an
, 如果 a, G, b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与

通项

如果 a, A, b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中 中项

a?b 项. A ? 。 2
等差中项的设法:
n(n ? 1) n (a1 ? a n ) , S n ? na1 ? d 2 2

b 的等比中项.
等比中项的设法:

a , a , aq q

前n 项和 性 质

Sn ?

am ? an ? ap ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)
2m ? p ? q ,则



若 m ? n ? p ? q ,则

若2m ? p ? q, 则有a2m ? ap ? aq ,( p, q, n, m ? N * )

Sn 、 S2n ? Sn 、 S3n ? S2n 为等差数列
函数 看数 列

Sn 、 S2n ? Sn 、 S3n ? S2n 为等比数列
an ? a1 n q ? Aq n q a a sn ? 1 ? 1 q n ? A ? Aq n (q ? 1) 1? q 1? q

an ? dn ? (a1 ? d ) ? An ? B sn ? d2 2 d n ? (a1 ? )n ? An 2 ? Bn 2 2

(1)定义法:证明

(1)定义法:证明 an?1 ? an (n ? N * ) 为一个常数; 判定 方法 (2) 等差中项: 证明 2an ? an?1 ? an?1 (n ? N * , ? 2) n (3)通项公式: an ? kn ? b(k , b 为常数)( n ? N )
*

a n ?1 (n ? N * ) 为一个常数 an

(2) 中项: 证明 an

2

? an?1 ?an?1 (n ? N * , n ? 2) ? cqn (c, q 均是不为 0 常

(3)通项公式: an 数)

(4) sn ? An ? Bn ( A, B 为常数)( n ? N )
2
*

( 4 )

sn ? Aqn ? A ( A, q

为 常 数 ,

A ? 0,q ? 0,1)

2.Sn 与 an 的关系:an ? ?

(n ? 1) ? S1 ? , 已知 S n 求 an , 应分 n ? 1 时 a1 ? ? Sn ? Sn ?1 (n ? 1) ?
两步,最后考虑 a1 是否满足后面的 an .



n ? 2 时, an =

3.数列通项公式求法。 (请参照试卷“数列通项公式求法专题” ) 4.数列求和(请参照求和专题试卷) (1)公式法; (2)分组求和法; (3)错位相减法; (4)裂项求和法; (5)倒序相加 法。
4 / 16

5. Sn 的最值问题:在等差数列 ?an ? 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求 解:

?a m ? 0 的项数 m 使得 S m 取最大值. ?a m?1 ? 0 ?a ? 0 的项数 m 使得 S 取最小值。 (2)当 a1 ? 0, d ? 0 时,满足 ? m m ?a m?1 ? 0
(1)当 a1 ? 0, d ? 0 时,满足 ? ★例题分析★ 1.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前 4 项和为( A.81 B.120 C.168 ) D. 5 ). D.
1 2

). D.192

2.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? ( D A. 8 B. 7 C. 6
S a5 5 = ,则 9 =( S5 a3 9

3.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 A.1 B.-1

C.2

答案 A

9(a1 ? a9 ) 9 ? a5 S9 9 5 2 解析:∵ = = = · =1,∴选 A. 5(a1 ? a5 ) 5 ? a3 S5 5 9 2
a2 ? a1 的 b2

4.已知数列-1,a1,a2,-4 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,则 值是( A.
1 2

). B.-
1 2

C.-

1 1 或 2 2

D.

1 4

答案 A

解析:设 d 和 q 分别为公差和公比,则-4=-1+3d 且-4=(-1)q4,

∴d=-1,q2=2, ∴
a2 ? a1 d 1 = = . b2 ? q2 2

5. ?an ? 是公差为正数的等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,a1a2a3 ? 80 , a1 ?a ?1 ? 设 若 则 a 1 2 3 (B ) A. 120 B. 105 C. 90 D. 75

【解析】 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 ,则 a2

? 5,

a1a3 ? (5 ? d )(5 ? d ) ? 16 ,∴d=3, a12 ? a2 ? 10d ? 35 , a11 ? a12 ? a13 ? 105 ,选 B.

6.若数列{an}是等差数列,首项 a1>0,a2

003+a2 004>0,a2 003·a2 004<0,则使前

n 项和

5 / 16

Sn 最大的自然数 n 是 7.在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列前 13 项之和为 答案 26. 解析:∵a3+a5=2a4,a7+a13=2a10, .

∴6(a4+a10)=24,a4+a10=4,

13 a1+a13 ) 13 a4+a10 ) 13? 4 ( ( = = =26. 2 2 2 8 27 8.在 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为 2 3
∴S13=



答案 216.解析:本题考查等比数列的性质及计算,由插入三个数后成等比数列,因而中间
8 27 8 27 27 8 ? 数必与 , 同号,由等比中项的中间数为 =6,? 插入的三个数之积为 × × 3 2 2 2 3 3

6=216. 9.在数列 {an } 中, an ?
1 n ? n ?1

,且 S n ? 9 ,则 n ?

.答案 99

10.如果等差数列 ?an ? 的前 4 项的和是 2,前 9 项的和是-6,求其前 n 项和的公式。

11.(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n,求证数列{an}成等差数列. 分析: 判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第 2 项开始每项与其前一项差为 常数. 证明: (1)n=1 时,a1=S1=3-2=1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5, n=1 时,亦满足,∴an=6n-5(n∈N*). 首项 a1=1,an-an-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6(常数)(n∈N*), ∴数列{an}成等差数列且 a1=1,公差为 6. 15.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= 求证:数列{
Sn }是等比数列. n

n?2 Sn(n=1,2,3?). n

证明:∵an+1=Sn+1-Sn,an+1= +1) Sn,

n+2 Sn,∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),整理得 nSn+1=2(n n

6 / 16

所以

S n+1 2S S = n .故{ n }是以 2 为公比的等比数列. n+1 n n

练习检测 1.{an}是首项 a1=1,公差为 d=3 的等差数列,如果 an=2 005,则序号 n 等于( A.667 B.668 C.669 D.670 ).

答案 C 解析: 由题设, 代入通项公式 an=a1+(n-1)d, 2 005=1+3(n-1), 即 ∴n=699. 2.下列四个数中,哪一个是数列{ n(n ? 1) }中的一项 (A)380 答案 A 3.已知等差数列{an}的公差为 2,若 a1,a3,a4 成等比数列, 则 a2=( A.-4 B.-6 C.-8 ). D. -10 (B)39 ( ) (D)23

(C)35

答案 B 解析:∵{an}是等差数列,∴a3=a1+4,a4=a1+6, 又由 a1,a3,a4 成等比数列, ∴(a1+4)2=a1(a1+6),解得 a1=-8, ∴a2=-8+2=-6. 4.如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么( (A)b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 ) (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9

解:由等比数列的性质可得 ac=(-1)×(-9)=9,b×b=9 且 b 与奇数项的符号相同, 故 b=-3,选 B 5.在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 = ( A ) A. 81 B. 27 5 27 C.

3

D. 243

解:因为数列{an}是等比数列,且 a1=1,a10=3,所以 a2a3a4a5a6a7a8a9= (a2a9) 3a8) 4a7) 5a6)=(a1a10)4=34=81,故选 A (a (a (a 二、填空题 6..等差数列 8,5,2,…的第 20 项为___________. 7.在等差数列中已知 a1=12, a6=27,则 d=___________ 8.等差数列-10,-6,-2,2,…前___项的和是 54 9..数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn= n ? n2 ,则 an =__________ 3 10. 若数列 ?a n ? 满足: a1 ? 1, a n ?1 ? 2a n .n ? 1 ,2,3?.则 a1 ? a 2 ? ? ? a n ?
7 / 16

.

解:数列 ?a n ? 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an , n ? 1 ,2,3…,该数列为公比为 2 的等比数列,∴
a1 ? a 2 ? ? ? a n ?

2n ? 1 ? 2n ? 1 . 2 ?1

11.已知数列 ?an ?的通项公式 an=3n-50, 则当 n=___时, n 的值最小, n 的最小值是_______。 S S 12.在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则 a4+a5+?+a10= 答案.-49.解析:∵d=a6-a5=-5,∴a4+a5+?+a10 = .

7(a4+a10 ) 7(a5-d+a5+5d ) = =7(a5+2d)=-49. 2 2

三、解答题 13.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式是 Sn ? 5n2 ? 3n ,求它的前 3 项,并求它的通项公式

14.数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ? 1? n ? 1? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 等差数列 ?bn ? 的各项为正, 其前 n 项和为 Tn , T3 ? 15 , a1 ? b , a ?2b , a ? b 且 又 1 2 3 3 成等比数列,求 Tn 本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及推理能力与运算能力。满分 12 分。 解 : ( Ⅰ ) 由 an?1 ? 2Sn ? 1 可 得 an ? 2Sn?1 ? ? n ? 1

? 2,

两 式 相 减 得

an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an ? n ? 2? 又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1
比为 3 得等比数列 ∴ an ? 3n?1

故 ?an ? 是首项为1 ,公

(Ⅱ)设 ?bn ? 的公差为 d ,由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3 ? 解得 d1 ? 2, d2 ? 10
2

∵等差数列 ?bn ? 的各项为正,∴ d ? 0 ∴ d ? 2
8 / 16

∴ Tn ? 3n ?

n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n 2

寒假补习卷三

高中数学必修 5——不等式(1) 一元二次不等式及其解法
★基础知识★

1、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:

9 / 16

判别式 ? ? b 2 ? 4ac

??0

??0

??0

二次函数 y ? ax2 ? bx ? c

? a ? 0? 的图象
有两个相异实数根 一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0

x1,2 ?

? a ? 0? 的根
ax2 ? bx ? c ? 0
一元二次 不等式的 解集

?b ? ? 2a

有两个相等实数根

x1 ? x2 ? ?

? x1 ? x2 ?

b 2a

没有实数根

? a ? 0?
ax2 ? bx ? c ? 0

? a ? 0?
2. 分式不等式:

A ?0? B

A ?0? B A ?0? B
f ? x ? ? a 转化为: f ? x ? ? a 或

A ?0? B
3.

f ? x? ? a

? a ? 0? 转化为: ?a ? f ? x ? ? a ;

f ? x ? ? ?a
4. 不等式组的解法:先解各个不等式,然后利用数轴找各解集的公共部分 ★例题分析★ 1. 不等式 ( x ? 2)(1 ? x) ? 0 的解集是( A. {x | x ? ?2或x ? 1} C. {x | x ? ?1或x ? 2
2 2. 若 ax ? 5 x ? c ? 0 的解集是 {x |

) B. {x | ?2 ? x ? 1} D. {x | ?1 ? x ? 2}

A. 7

B. 5

1 1 ? x ? },则 a ? c 的值为( 3 2 C. ? 7


) D. ? 5

2 3.若不等式 x ? mx ? 1 ? 0 的解集为 R ,则 m 的取值范围是(

10 / 16

A. R

B. ? ?2, 2 ?

C. ? ??, ?2? ? ? 2, ??? ) B. {x | ?18 ? x ? 24} D. {x | ?2 ? x ? } ( )

D. ? ?2, 2?

4. 不等式

1 x ? 1 ? 7 的解集为( 3

A. {x | x ? ?18 或 x ? 24} , C. {x | x ? 24} 5.函数 y ?

4 3

x 2 ? 2 x ? 3 ? log 2 ? x ? 3? 的定义域为
B、? ?3, ?1?

A、? ??, ?1? ? ?3, ??? 6.解下列不等式
2 (1) ? x ? 4 x ? 4 ? 0

C、? ??, ?1? ??3, ???

D、? ?3, ?1? ? ?3, ???

(2)

x ?1 ?2 x

?5 x ? 1 ? 3( x ? 1) ? (3) ? 1 3 ? 2 x ?1 ? 7 ? 2 x ?

(4) ?1 ?

3x ? 4 ?2 5

2 (5) 0 ? x ? 4 x ? 3 ? 8.

2 7. 若关于 x 的不等式 ax ? 2ax ? 3 ? 0 对一切实数 x 都成立,求 a 的取值范围.

★练习检测★
2 1.设一元二次不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集为 ? x ?1 ? x ? ? ,则 ab 的值是(

? ?

1? 3?



11 / 16

A. ?6 2. 若方程组 ?

B. ?5

C. 6 )

D. 5

?x 2 ? y 2 ? 8 有实数解,则实数 k 的取值范围是( x? y ?k ?
B. k ? ?4或k ? 4 C. k ? ?4 )

A. ? 4 ? k ? 4

D. k ? 4

3.不等式 ? x ?1?? 2 ? x ? ? 0 的解集是( A .

? x 1 ? x ? 2?

B .

? x x ? 1或x ? 2?

C .

? x 1 ? x ? 2?

D. x x ? 1或x ? 2

?

?

4.不等式 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是___________________________. 5. 函数 y ?

?2 x 2 ? 12 x ? 18 的定义域是

2 2 6. 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 的 解 集 为 x 2 ? x ? 3 , 则 不 等 式 ax ? bx? c?0 的 解 集 是

?

?

________________________.
2 7. 已知不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ? x ?

? ?

1 1? ? x ? ? ,求 a 、 b 的值. 2 3?

8. 解下列不等式

(1)(x-1)(3-x)<5-2x

(2)x(x+11)≥3(x+1)2

9. 已知函数 f ? x ? ? x ? 5x ? 2 ,为使 ?4 ? f ? x ? ? 26 的 x 的取值范围。
2

10. 已知集合 ? ? x x ? 9 ? 0 , ? ? x x ? 4 x ? 3 ? 0 ,求 ? ? ? , ? ? ? .
2 2

?

?

?

?

寒假补习卷四

高中数学必修 5——不等式(2)
★基础知识★

线性规划及基本不等式
1 ?x ? ?y ? C (? 0) ( ? 0) 或 2 不等式组表示的平面区域
12 / 16

(? 0 ) 表示的平面区域及判断

3、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条 件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? .可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. ★例题分析★ 1.不等式 2 x ? y ? 6 ? 0 表示的平面区域在直线 2 x ? y ? 6 ? 0 的( A.上方且包含坐标原点 C.下方且包含坐标原点 B.上方且不含坐标原点 D.下方且不含坐标原点 )

?y ? x ? 2.不等式组 ? x ? y ? 1 ,表示的区域为 D ,已知点 ?1 ? 0, ?2? ,点 ?2 ? 0,0? ,则( ?y ? 3 ?
A. 1 ? D , 2 ? D ? ? B. 1 ? D , 2 ? D ? ? C. 1 ? D , 2 ? D ? ?



D. 1 ? D , 2 ? D ? ?

?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 3.不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0 表示的平面区域的面积是( ?y ? 2 ?
A. 4 B. 1 C. 5



D.无穷大

4.在直角坐标系中,满足不等式 x2 ? y 2 ? 0 的点 ? x, y ? 的集合(用阴影部分来表示)的是 ( )

A.

B.

C.

D. )

5.5、已知点 ? ? x0 , y0 ? 和点 ? ?1, 2 ? 在直线 l : 3x ? 2 y ? 8 ? 0 的异侧,则( A.3x0 ? 2 y0 ? 0 B.3x0 ? 2 y0 ? 0 C.3x0 ? 2 y0 ? 8 )

D.3x0 ? 2 y0 ? 8

6.目标函数 z ? 3x ? 2 y ,将其看成直线方程时, z 的意义是( A.该直线的横截距 C.该直线纵截距的一半的相反数 7.x+3y-2=0,则 3x+27y+1 的最小值为 (
13 / 16

B.该直线的纵截距 D.该直线纵截距的两倍的相反数 )

A.7

B.3 3 9

C.1+2 2

D.5

4 8.已知 0<x< ,求 x(4-3x)的最大值; 3

解 已知 0<x< ,∴0<3x<4.∴x(4-3x)= (3x)(4-3x)≤
2 3 2 3

4 3

1 3

1 ? 3x ? 4 ? 3x ? 4 ? ? = 2 3 ? 3 ? 4 3

2

当且仅当 3x=4-3x,即 x= 时“=”成立.∴当 x= 时,x(4-3x)的最大值为 .

? x ? 4 y ? ?3 ? 9.已知 x 、 y 满足 ?3 x ? 5 y ? 25 ,分别确定 x 、 y 的值,使 z ? 2 x ? y 取得最大值和最小 ?x ? 1 ?
值.

10. 已知,a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1.求证:

1 1 1 + + ≥9. a b c 1 1 1 a?b?c a?b?c a?b?c b a c a c b 解 + + = + + =3+ ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? ≥3+2+2+2=9. ? ? ? ? ? ? a b c a b c ?a b? ?a c ? ?b c? 1 当且仅当 a=b=c= 时取等号. 3

11.<x<1,求 解

x 2 ? 2x ? 2 的最大值. 2x ? 2

?x ? 1?2 ? 1 = 1 ??x ? 1? ? 1 ? =- 1 ?? ?x ? 1? ? 1 ? x 2 ? 2x ? 2 1 = · ? 2 2 ? 2 ? 2x ? 2 x ?1 x ? 1? ? ?x ? 1? ? ? ? ?
∵-4<x<1,∴-(x-1)>0, 所以 1 2

? 1 1 ? >0.从而 ?? ?x ? 1? ? ? ≥2 ? ?x ? 1? ? ?x ? 1? ? ?

? 1 ? ?? ?x ? 1? ? ? ≤-1, ? ?x ? 1? ? ?
? x 2 ? 2x ? 2 ? 1 ? ,即 x=2(舍)或 x=0 时取等号.即 ? ? 2x ? 2 ? ? ?x ? 1? ? ?

当且仅当-(x-1)=

=-1.
max

★练习检测★ 1.不等式 x ? 4 y ? 9 ? 0 表示直线 x ? 4 y ? 9 ? 0 ( A.上方的平面区域 C.上方的平面区域(包括直线本身) )

B.下方的平面区域 D.下方的平面区域(包括直线本身) ) C. ? 0, 2 ? D. ? 2, 0 ?

2.不在 3x ? 2 y ? 6 表示的平面区域内的点是( A. ? 0, 0 ? B. ?1,1?

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? 3.不等式组 ?3 x ? 5 y ? 25 ,所表示的平面区域图形是( ?x ? 1 ?
A.四边形



B.第二象限内的三角形
14 / 16

C.第一象限内的三角形 4.不等式组 ?

D.不能确定 )

?x ? 3y ? 6 ? 0 表示的平面区域是( ?x ? y ? 2 ? 0

A.

B.

C. )

D.

5.点 ? ?2,t ? 在直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 的上方,则 t 的取值范围是( A. t ?

2 3

B. t ?

2 3

C. t ? ?

2 3
) C.7+2 3 )

D. t ? ?

2 3

6.已知 a>0,b>0, A.7+2 6 D.14

1 3 + =1,则 a+2b 的最小值为( a b

B.2 3

7.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值为(
1 A. 3 1 B. 2

3 C. 4

D.

2 3

?x ? y ? 1 ? 8.设 x , y 满足约束条件 ? y ? x ,求 z ? 2 x ? y 的最大值 ?y ? 0 ?

9.点(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,求 2x+4y 的最小值. 解 已知点(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,所以 x+2y=3.∴2x+4y≥2 2 x 4 y =2 2 x?2 y =2 23 =4
2 .

当且仅当 ?

?2 x ? 4 y 3 3 3 3 ? , x= ,y= 时 即 “=” 成立.∴当 x= ,y= 时, x+4y 的最小值为 4 2 . 2 2 4 2 4 ?x ? 2 y ? 3 ?
1 9 + =1,求 x+y 的最小值; x y

10. (1)已知 x>0,y>0,且 解 ∵x>0,y>0, 当且仅当

? 1 9 ? y 9x 1 9 + =1,∴x+y=(x+y) ? ? ? = + +10≥6+10=16. ?x y? x x y y ? ?

y 9x 1 9 = 时,上式等号成立,又 + =1,∴x=4,y=12 时,(x+y)min=16. x x y y

1 的最大值; 4x ? 5 5 1 1 ? 解 ∵x< ,∴5-4x>0,∴y=4x-2+ =- ? 5 ? 4 x ? ? ? +3≤-2+3=1, 4x ? 5 4 5 ? 4x ? ?

(2)已知 x< ,求函数 y=4x-2+

5 4

当且仅当 5-4x=

1 ,即 x=1 时,上式等号成立,故当 x=1 时,ymax=1. 5 ? 4x

15 / 16

11. 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 162 平方米的三级污水处理池, 池的深度一 定(平 面图如图所示) ,如果池四周围墙建造单价为 400 元/米,中间两道隔墙建造单价
2

为 248 元/米,池底建造单价为 80 元/米 ,水池所有墙的厚度忽略不计.试设计污水处理池 的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; 解 设污水处理池的宽为 x 米,则长为 则总造价 f(x)=400× ? 2x ? ?
162 米. x

? 1 296 ? 100 100 ? ? +12 960=1 296 ? x ? ? +12 960 x x ? ?

2 ? 162 ? ? +248×2x+80×162=1 296x+ x ?

≥1 296×2 x ? 当且仅当 x=

100 +12 960=38 880(元) , x

100 (x>0),即 x=10 时取等号. x

∴当长为 16.2 米,宽为 10 米时总造价最低,最低总造价为 38 880 元.

16 / 16


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