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第2课时 算术平均数与几何平均数


第3课时 算术平均数与几何平均数
? 要点·疑点·考点

?课

前 热 身 ? 能力·思维·方法 ? 延伸·拓展
?误

解 分 析

要点·疑点·考点
1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数”的定理.了解它的变式: (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R);

a?b (2) (a,b∈R+); ? ab 2
2 2 2

b a (3) ? ? 2 (ab>0); a b

a ?b ?a?b? (4) ?? ? (a,b∈R). 2 ? 2 ?

以上各式当且仅当a=b时取等号,并注意各式中字母的取 值要求. 2ab +,则 ? ab 2.理解四个“平均数”的大小关系;a,b∈R a?b 2 2 a?b a ? b .其中当且仅当a=b时取等号. ? ?

2

2

3.在使用“和为常数,积有最大值”和“积为常数,和有 最小值”这两个结论时,应把握三点:“一正、二定、三 相等、四最值”.当条件不完全具备时,应创造条件.

4.已知两个正数x,y,求x+y与积xy的最值. (1)xy为定值p,那么当x=y时,x+y有最小值 2 p; 1 2 (2)x+y为定值s,那么当x=y时,积xy有最大值 s. 4 返回

课前热身
a?b ? ab ”成立的( A 1.“a>0且b>0”是“ 2
(A)充分而非必要条件 ) (B)必要而非充分条件

(C)充要条件

(D)既非充分又非必要条件

2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地,甲车一半时间的速 度为a,另一半时间的速度为b;乙车用速度a行走了一半路 程,用速度b行走了另一半路程,若a≠b,则两车到达B地的 情况是( ) A
(A)甲车先到达B地 (C)同时到达 (B)乙车先到达B地 (D)不能判定

3.下列函数中,最小值为4的是(

C )

4 (A) y ? x ? x 4 ?0 ? x ? ? ? (B) y ? sinx ? sinx (C)y ? 4e x ? e -x (D)y ? log 3 x ? log x 3?0 ? x ? 1?
5 2 4.已知lgx+lgy=1, ? 的最小值是______. 2 x y

5.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1 与仓库到车站的 距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成 正比,如果在距离车站10公里处建仓库,这两项费用y1和 y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小, 仓库应建在离车站( ) C

(A)5公里

(B)4公里

(C)3公里

(D)2公里

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能力·思维·方法
1.设a,b,c都是正数,求证:

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2a 2b 2c b ? c c ? a a ? b

【解题回顾】三项重新组合成三组后利用基本不等式,是 利用基本不等式证明不等式的一种常用技巧.若另加条件a, b,c不全相等,则等号不成立.

1 1 2.(1)若正数x、y满足x+2y=1.求 ? 的最小值; x y (2)若x、y∈R+,且2x+8y-xy=0.求x+y的最小值.

【解题回顾】第(1)题常有以下错误解法: ? x ? 2 y ? 2 2 xy, 1

平均不等式的时候取等号的条件矛盾.(第一次须x=2y,第二 次须x=y).
求条件极值的问题,基本思想是借助条件化二元函数为一 元函数,代入法是最基本的方法,代换过程中应密切关注字 母隐含的取值范围,也可用三角代换的方法.

1 1 1 1 ? 2 2, ? ? 2 ? ? 4 2错误的原因在两次运用 x y xy xy

3.已知正数a、b满足a+b=1.

1 (1)求ab的取值范围;(2)求 ab ? 的最小值. ab

【解题回顾】函数f(x)=x+a/x(a>0)是一个重要的函数,应 了解它的变化.f(x)=x+a/x(a>0)在(0,√a]上是减函数,在[a, +∞)上是增函数.在研究此函数的过程中,应先确定它的定义 域,若x=a/x成立,则可由极值定理求极值;若x=a/x不成 立,则应在定义域内研究f(x)的单调性.

4.如图,为处理含有某种杂质的矿水,要制造一底宽为2米 的无盖长方形沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流 出,设箱体的长度为a米,高度为b米,已知流出的水中该 杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平 方米,问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂 质的质量分数最小(A,B孔的面积忽略不计).

【解题回顾】用不等式解决有关实际 应用问题,一般先要将实际问题数学 化,建立所求问题的代数式,然后再 据此确定是解不等式,还是用不等式知识求目标函数式的最 值. 返回

延伸·拓展
5.设a、b为正数,求证:不等式√a+1>b ①成立的充要条 件是:对于任意实数x>1,有ax+x/(x-1)>b.②

【解题回顾】本题应用了命题的等价转化思想,即“如果A 是B成立的充要条件,那么B也是A成立的充要条件”.

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误解分析

(1)不能灵活使用充要条件的概念进行转化,造成证题混乱、 易错.

(2)不能把恒成立问题转化成最值问题,变形无方向、易错.

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