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【数学】2.5《等比数列前n项和》课件(新人教A必修5)1


§2.5

等比数列的前n项和

好消息:高二(24)班受到表扬啦!
假如这个消息首先由班长在早上7点知 道,并用一个小时告诉了另外两位同学; 这两位同学又用一个小时分别告诉未知此 消息的另外两位同学。如此下去,则到下 午5点,全段同学是否都已知道这个消息? (全段同学共1701人)

【分析】 时 间

7:00 7:00-8:00 8:00-9:00 9:00-10:00 …… 16:00-17:00 该时段知道消息人数

1 1 2 ?2 4 ?2 3 8 ?2
2

? ?2 根据题意即求 1 ? 2 ? 22 ? ? ? 210 ? ?
10

……

§3.5 等比数列的前n项和
①好消息传播问题: S11 ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2
2 10

? S11 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 相? 2 10 11 减 ? 2S ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 2 11
2 10




(2 ? 1) S11 ? 2 ? 1
11 11

错位相减

S11 ? 2 ? 1 ? 2047? 1701

②若 ?an ? 是公比为 q的等比数列,则其前 n 项和:

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? ?
? Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ?? a1q 相 2 n?1 n 减?qS ? a1q ? a1q ? ?? a1q ? a1q ? n
2 n?1

(1 ? q) Sn ? a1 ? a1q n a1 (1 ? q ) q (1) ? 1 时 S n ? 1? q q (2) ? 1 时 Sn ? na1

n

【等比数列前n项和公式】

(q ? 1) ? na1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q (q ? 1) ? 1? q ? 1? q ?

【公式的应用】

1 1 1 , , , ?? . 例1、已知等比数列 2 4 8
(1)求前8项之和;
(2)求第5项到第10项的和; (3)求此数列前2n项中所有偶数项的和。

【公式的应用】

1 1 1 , , , ?? . 例1、已知等比数列 2 4 8
(1)求前8项之和;
1 1 因为 a1 ? q ? 2 2
n ? 8

? ? 1 ?8 ? 1 ? ?1 ? ? ? ? a1 (1 ? q 8 ) 2 ? ? 2 ? ? 255 ? ?? S8 ? ? 1 1? q 256 1? 2

【公式的应用】

1 1 1 , , , ?? . 例1、已知等比数列 2 4 8
(2)求第5项到第10项的和;
1 a5 ? a1q ? 32 ? ? 1 ?6 ? 1 ? ?1 ? ? ? ? 6 32 ? ? 2 ? ? ? 1 ? 4 ? 1 ?10 a5 (1 ? q ) ? ?? S? ? ? ? ?? ? 1 1? q ? 2? ? 2? 1? 2
4

还可以: S ? S10 ? S4

【公式的应用】

1 1 1 , , , ?? . 例1、已知等比数列 2 4 8
(3)求此数列前2n项中所有偶数项的和。
1 1 1 偶数项: 4 , 16 , 64 , ?? 1 确定项数为n,公比为 4

1 , 首项为 a 2 ? 4 n 1? ?1? ? 所以 ?1 ? ? ? ? 4? ? 4? ? ? ? S ? a2 ? a4 ? ? ? a2n ? 1 1? 4

【公式的应用】
例2、已知等比数列 ?an ?;

(1)若 a1

? 2 , S3 ? 3 2

,求公比 q ;

(2)若 a1 ?

2 , an ? 16 2 , Sn ? 11 2,

求 n与 q 。 解: (2)因为 an ? a1 ,所以 q ? 1 . a1 ? an q 所以由公式 S n ? ,代入已知条件 1? q 又由 an ? a1q n?1 得 n ? 5 . 得 q ? ?2 ;

【延伸与拓展】
1、公式的推导; 2、公式的应用

(q ? 1) ? na1 ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q (q ? 1) ? 1? q ? 1? q ?

②若 ?an ? 是公比为 q的等比数列,则其前 n 项和:

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ? ?
相? Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ?? a1q 2 n?1 n 减?qSn ? a1q ? a1q ? ?? a1q ? a1q ?
2 n?1

(1 ? q) Sn ? a1 ? a1q n a1 (1 ? q ) q (1) ? 1 时 S n ? 1? q q (2) ? 1 时 Sn ? na1

n

若Sn

? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ?? n ? 2
2 3

n

呢?

【课后作业】
1、课本P69:习题32.5/1、2;

?an ?前n项和满足 Sn ? m(q n ? 1), 2、若数列 是等比数 (m ? 0, q ? 1, q ? 0) 的形式,则 ?an ?
列吗? 3、思考:若等差数列 ?an ? 首项为 a 1 ,公差为
d ;等比数列 ?bn ?首项为 b1 ,公比为 q .数列

?c n ?满足 cn ? an ? bn ,试求 ?c n ? 前n项和.


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