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数列的概念与简单表示法


第二章
2.1

数列

数列的概念与简单表示法

【重点】由数列的前 n 项和 Sn 求数列的通项;由数列的递推关系求数列的通项公式;数列的单调性;数列的周期性. 【难点】由数列的前几项求数列的通项;数列的周期性;由数列的前 n 项和 Sn 求数列的通项. 【高频考点】由数列的前 n 项和 Sn 求数列的通项. 【知识点】 1.数列的定义 按照排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做数列的. 2.数列的分类 分类原则 按项数分类 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 按项与项间的大小关 系分类 递减数列 常数列 有界数列 按其他标准分类 摆动数列 满足条件 项数__________ 项数__________

an?1 _____ an
其中

an?1 _____ an an?1 ? an
存在正数 M,使 | an |? M

n? N?

从第二项起,有些项大于它的前一项,有些 项小于它的前一项的数列

3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是______________、______________和______________. 4.数列的通项公式 如果数列 {an } 的第 n 项__________之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,则 an ? ?

? _______(n ? 1) ? _______(n ? 2) .

【典型题】 题型一 由数列的前几项求数列的通项 思路: 1.先统一项的结构,如都化成分数、根式等. 2.分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系式. 3.对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用 (?1) 或 (?1)
n n ?1

来调控.

4.对于复杂数列的通项公式,将数列的各项分分解成若干个常见数列对应项的“和” , “差” , “积” , “商”后再进行 归纳. 基本数列: ① 数列 ?1,1, ?1,1, L 的通项公式是________________________;
1

② 数列 1, 2,3, 4,L 的通项公式是________________________; ③ 数列 1,3,5, 7, L 的通项公式是________________________; ④ 数列 2, 4, 6,8, L 的通项公式是________________________; ⑤ 数列 1, 4,9,16,L 的通项公式是________________________; ⑥ 数列 1, 2, 4,8,L 的通项公式是________________________; ⑦ 数列 1, , , , L 的通项公式是________________________. 例 1.写出下面各数列的一个通项公式: (1) ?1, , ? , , ? , , L

1 1 1 2 3 4

3 2

1 3 3 4

1 1 5 2

(2) 0.9,0.99,0.999,0.9999,L

(3) 3,3, 15, 21,3 3,L

(4) 1, , ,

1 1 1 ,L 3 7 13

题型二

由数列的前 n 项和 Sn 求数列的通项

例 2.已知下列各数列 {an } 的前 n 项和 Sn 的公式,求数列 {an } 的通项公式. (1) Sn = 2n2 - 3n (2) Sn = 2n + 1

题型三

由数列的递推关系求数列的通项公式

累加法:当 an ? an?1 ? f (n) 满足一定条件时,常用 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? L ? (a2 ? a1 ) ? a1 累加来求通项

an .
累乘法:当

an a a a ? g (n) 满足一定条件时,常用 an ? n ? n?1 ?L 2 ? a1 累乘来求通项 an . an?1 an?2 a1 an?1

例 3.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? an ?1 ?

1 (n ? 2) ,则 an ? __________. n(n ? 1)
2

题型四 数列的单调性 方法:①转化成对应的函数;②作差比较法. 例 4.已知数列 an =

nn-

79 (n ? N * ) ,则数列的最大项是第_________项. 80
10 n ) (n ? N * ) 11

例 5.在数列 {an } 中, an = (n + 1)(

(1)求证:数列 {an } 先递增,后递减. (2)求数列 {an } 的最大项.

题型五

数列的周期性

例 6.若数列 {an } 满足 a1 =

1 1 (n 澄2, n , a2 = - 3, an = 3 an+ 3

N * ) ,则 a1004 = ____________.

例 7.已知数列 {an } 中, a1 = 3, a2 = 6 ,且 an+ 2 = an+ 1 - an ,则 a2012 = __________. 【练习题】 1.下列命题正确的有_____________________. ① 数列 1,2,3,4,5 和数列 5,4,3,2,1 是相同的数列 ② 已知 {an } 是一个数列,则 {an+ 1 - an } 也是一个数列 ③ {0,1, 2,3, 4} 是有穷数列 ④ 所有的自然数只要按照一定的顺序排列,就能构成数列 ⑤ 数列 a, b, c 和数列 c, b, a 一定不是同一个数列 2.下列形式的的数是否能构成数列?在能构成数列的当中,哪些是有穷数列?哪些是无穷数列?哪些是递增数列? 哪些是递减数列?哪些是摆动数列?哪些是常数列? (1) 1,0.84,0.84 ,0.84 ,L
2 3

(2) , ,

1 1 1 1 , ,L 3 9 27 81

(3) 0,10, 20,30,L ,1000

(4) 1, - 1,1, - 1,L

3

(5)无理数

(6)当 n 取 1, 2,3,L 时, (- 1)n 的值排列的一列数

3.根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式 (1)

4 1 4 2 , , , ,L 5 2 11 7

(2) 3,5,9,17,L

(3) 1,3,6,10,L

(4) 2, 5, 2 2, 11,L

(5) 9,99,999,9999,L

(6) 1, - 1,1, - 1,L

(7) - 1, , -

8 5

15 24 , ,L 7 9

(8) 5,55,555,5555,L

4.数列 7,9,11, L , 2 n - 1 的项数是______________项. 5.已知数列 3,3, 15,L , 3(2n - 1),L 那么 9 是此数列的第______________项. 6.已知数列 {an } 的前四项分别 1,0,1,0, 则下列通项公式可以作为数列 {an } 的通项公式的有________________. (1) an =

(- 1)n+ 1 + 1 2

2 (2) an = sin

np 2

(3) an =

1- cos np 2

ì ? 1, n为正奇数 (4) an = ? í ? ? ? 0, n为正偶数

(- 1)n+ 1 + 1 + (n - 1)(n - 2) (5) an = 2

9n 2 - 9n + 2 (n ? N * ) 7.已知数列 {an } 的通项公式为 an = 2 9n - 1
(1)求这个数列的第 10 项. (2)

98 是不是该数列中的项,为什么? 101

(3)求证:数列中的各项都在区间 (0,1) 内. (4)在区间 ( , ) 内,有无数列中的项?若有,有几项?若没有,请说明理由.

1 2 3 3

4

8.已知数列 {an } 的通项公式为 an = n2 - 5n + 4 . (1)数列中有几项是负的? (2) n 为何值时, an 有最小值?并求出最小值.

n 9.若数列 {n(n + 4)( ) } 中的最大项是第 k 项,则 k = __________.

2 3

10.数列 {an } 中,若 an =

n ,则 an 与 an+ 1 的大小关系为__________. n+ 2

11.已知数列 {an } 是递增数列,且其通项公式为 an = n2 + l n ,则实数 l 的取值范围是__________. 12.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 log2 (Sn + 1) = n + 1,求 an .

13.已知数列 {an } 满足 a1 = 1 , an = a1 + 2a2 + 3a3 + L (n - 1)an- 1 (n ? 2) ,求数列 {an } 的通项公式.(提示:如果

n ? N * ,那么 n! = n? (n 1)? (n

2)创 L

3创 2 1).

5

2 2 * 14.设数列 {an } 是首项为 1 的正项数列,且 (n + 1)an + 1 - nan - an+ 1an = 0(n ? N ) ,求此数列的通项公式.

15.已知数列 {an } 中 a1 = 1 , an+ 1 =

2an (n ? N * ) ,则 a5 = _____________. an + 2

16.已知数列 {an } 中 a1 = 1 ,对任何 n ? 2 的自然数 n 都有 an = an- 1 + n ,则 a10 = ____________. 17.如果数列 {an } (an ? R) 对任意 m, n ? N * 满足 am+ n = am ?an ,且 a3 = 8 ,那么 a8 = ____________.

6

【答案】 【知识点】 1.一定顺序 项 2.有限 无限 3. 4.与序号 n 5. S1

?

?

Sn ? Sn?1

【典型题】 ① an ? (?1)n ② an ? n ③ an ? 2n ? 1 ④ an ? 2n ⑤ an ? n2 ⑥ an ? 2n?1 ⑦ an ?

1 n
n

例 1.(1) an ? (?1) (3) an ? 6n ? 3

2 ? (?1) n n

(2) an ? 1 ?

1 10n

(4) an ?

1 n ? n ?1
2

例 2.(1) an ? 4n ? 5(n ? N ? ) 例 3.

(2) an ? ?

?5, n ? 1
n ?1 ?2 , n ? 2

2n ? 1 (n ? N ? ) n

例 4.9 例 5.(1)略 (2) a9 ? a10 ?

1010 119

例 6. ?3 例 7.6 【练习题】 1.②④ 2(1)能构成数列;无穷数列;递减数列 (3)能构成数列;有穷数列;递增数列 (5)不能构成数列 3.(1) an ?

(2)能构成数列;无穷数列;递减数列 (4)能构成数列;无穷数列;摆动数列 (6)能构成数列;无穷数列;摆动数列

4 3n ? 2

(2) an ? 2n ? 1 (3) an ?

n(n ? 1) 2

(4) an ? 3n ?1

7

(5) an ? 10 ?1
n

(6) an ? (?1)

n?1

(n ? 1) 2 ? 1 5 n (7) an ? (?1) (8) an ? (10 ? 1) 9 2n ? 1
n

4. n ? 3 5.14 6.(1) (2) (3) (4) 7.(1)

28 3 3 4 ? 1 ,故结论成立.(4) a2 ? (2)不是(3) an ? 1 ? ,又 n ? N ? ,则 0 ? 3n ? 1 3n ? 1 7 31

8.(1)两, n ? 2,3 (2) n ? 2,3 , ?2 9.4 10. an?1 ? an 11. ? ? ?3 12. an ? ?

?3, n ? 1
n ?2 , n ? 2

?1, n ? 1 ? 13. an ? ? n ! ,n ? 2 ? ?2
14. an ? 15.

1 (n ? N ? ) n

1 3

16.55 17.256

8


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