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高数B上课程期末练习试卷(一)


高等数学 B(上)课程期末练习试卷(一)

一、单项选择题
1、设 f ?x ? ?

1 ,则其定义域为( lg x ? 5

).

(A) ?? ?,5? ? ?5,??? (B) ?? ?,6? ? ?6,??? (C) ?? ?,4? ? ?4,??? (D) ?? ?,4? ? ?4,5? ? ?5,6? ? ?6,??? 2、当 x ? ? 时, arctan x 的极限( (A) ? ).

?
2

(B) ? ?

?
2

(C) ? ? (D)不存在,但有界

3、设函数 f ?x ? ? ? (A)连续但不可导 4、 lim
x ?1

? ln x x ? 1 ,则 f ?x ? 在点 x=1 处( ?x ? 1 x ? 1

).

(B)连续且 f ??1? ? 1 (C)连续且 f ??1? ? 0 (D)不连续 ). (C)0 (D)

sin ? x ? 1? ?( x2 ?1
(B)2

(A)1

5、函数 f ?x ? 在点 x0 处连续是在该点处可导的(

1 2
).

(A)必要但不充分条件 (B)充分但不必要条件 (C)充要条件 (D)无关条件 x ? 0 6、当 时,与 x 等价的无穷小量是() ;
x A. 1 ? e

B. ln( 1 ? x)

C. 1 ? x ? 1

D.1 ? cos x

7、下列各极限中正确的是() ;
1 1 x ?0

A. lim(1 ? x) x ? 1
x ?0

B. lim(1 ? x) x ? 1 C. lim

x sin x ? 1 D. lim ? 1. x ? 0 sin x x ?? x

8、 设函数 f (x) ? ? A.连续且可导 C.不连续也不可导 9、设曲线 y ? x ? A.1 B.2

1 ? ?xsin x ? 0, 则 f ( x) 在点 x ? 0 处() ; x ? x ? 0, ?0
B.可导不连续 D.连续但不可导 ; x 2 ? x ? 1 ,则其渐近线的条数为() C.3 D.4

10、若 f ( x) 的一个原函数是 sin x ,则

? f ?( x)dx ? ().

A. cos x ? C B. ? sin x ? C C. sin x ? C D. ? cos x ? C 11、设 f ( x ) ? x ? 1 ,则 f ( f ( x) ? 1) =( A. x B.x + 1 C.x + 2 ) . D.x + 3 ) 。

12、当 x ? 0 时, 1 ? cos x 与 x 2 相比较(

A.是低阶无穷小量 B. 是同阶无穷小量 C. 是等阶无穷小量 D. 是高阶无穷小量 13、在区间[-1,1]上满足罗尔定理的条件的函数是( A.

)。

sin x x

B. (1 ? x) 2

3

C. x 2

D. x 2 ? 1 ) 。

14、函数 f ?x ? 在点 x0 处连续是在该点处可导的( A. 必要但不充分条件 C. 充要条件 B. 充分但不必要条件 D. 无关条件

15、 ? sin x cos xdx (
A. ?

)
1 2 sin x 2 1 cos 2 x D. 2
B. ).

1 2 sin x 2

C. cos 2 x 16、设 (A) (C)

f ( x) ? lg ? 4 ? x 2 ? ,则其定义域为(
(B) (D)

? ?2, 2?

? ??, ?2? ? ? 2, ???

? ??, ?2? ??2, ???
x ? x0

??2, 2?
). (D) 3

17、若 lim (A) 0 18、 lim(1+
x ??

? ?? ? ?( ? 2 ,则 lim x ? x0 ? ?
(B) –1 (C) 1 ). (C)

1 -9x ) ?( 3x
(B) ∞

(A) 1

e3

?3 (D) e

19、 x ? ?3 为函数 f ( x) ? (A) 可去

x2 ? 9 的( x?3

)间断点. (D) 无穷 )

(B) 跳跃

(C) 振荡

20、若函数 f ( x) ?

2x ,则 lim f ( x ) ? ( x?0 x
( C)、2

(A)、0

( B)、 ?2

(D)、不存在

21、下列函数在 [?1, 1] 上满足罗尔定理条件的是( A、 y ? 1 ? x ? 1 B、 y ?

) D、 y ? x 2

1 x2

C、 y ?| x | )

22、当 n ? ? 时, n ? arctan A、无穷大

2 是一个( n

B、无穷小

C、有界变量

D、无穷变量 )

23、若在区间 (a, b) 内, f ' ( x) ? 0, f ' ' ( x) ? 0 ,则函数 f ( x) 在此区间内是( A、单调减少,曲线是凸的 C、单调增加,曲线是凹的 24、当 x ? 0 时, 下列不等式正确的是( A、 e x ? 1 ? x B、 ln(1 ? x) ? x B、单调减少,曲线是凹的 D、单调增加,曲线是凸的 ). C、 e x ? ex D、 x ? sin x ). D、 ?

25、若 f ( x) 的一个原函数是 e ?2 x , 则 A、 e ?2 x ? C B、 ? 2e ?2 x

? f ?( x)dx ? (

C、 ? 2e ?2 x ? C

1 ?2 x e ?C 2

二、填空题
1、若 f ? x ? ? x sin x ,则 f
2

? x ? 为(奇偶性)函数.
。 。

2、复合函数 y ? lg sin x 可分解为
2

3、曲线 y ? x ? 2x ? 5 在 x ? 0 处的切线方程为

?3x ? 1 x ? 1 ? x ? 1 的第 4、点 x ? 1 是函数 f ( x) ? ? 1 ?3? x x ?1 ?
2 x 5、 ( x ? e )dx ?

类间断点.

?



6、. 函数 y ? 7、 f ( x ) ? 8、 lim
x ?0

3 ? x ? arcsin

1 的定义域为 x



x ? x3 的可去间断点的个数是 sin x
。 。
2



sin 2 x ? ex ?1 1 ? cos x dx ? 9、 ? x ? sin x

10、已知 f ( x) ? x arctanx ,则 f ?(1) ?



11、 y ?

1 ? x 2 ? 1 的定义域为 ln ? x ? 1?
1 ?2



12、 lim(1 ? x ) x
x ?0

=___________

x ?1 x?0 ? sin 13、 f ( x) ? ? x 在 x ? 0 处连续,则 a ? 3 ? x?0 ?a
14、曲线 y ? x 3 在点(1,1)处的切线方程为 。 。 (奇偶性)函数



15、若 ? f ( x)dx ? x 2 ? C , 则 ? x f ( x 2 )dx =
16、若

f ? x ? ? x3 sin x ,则 f ? x ? 为
h ?0

17、设 f ? ? x0 ? =1 ,则 lim

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 2h) ? 3h
.

.

18、曲线 y ? e3 x 在 x ? 0 处的切线方程为 19、函数 f ( x) ? x2 ? x ? 6 在 ?-2,3? 上满足罗尔定理的点 ? =
?

.

20、函数 f ( x) ? ?

?4 x ? 1, 0 ? x 在点 x ? 0 处连续,则 a ? ?a ? 2 x, x ? 0

.

21、当 x ? 0 时, 1 ? cos x 与 a sin 2 x 是等价无穷小, 则 a = 22、函数 f ( x) ? e 在
1 x



间断, 且为第

类间断点。 , 垂直渐近线方程

x2 23 、 已 知 曲 线 y ? 2 , 则其水平渐近线方程是 x ?1
是 24、设 ? 。

? x ? t ? sin t dy ? _______________________。 ,则 dx ? y ? 1 ? cost
x ?0

25、 f ( x) 在 x ? 0 处可导,且 f (0) ? 0 ,则 lim

f ( x) ? _____________。 x

三、计算题
1、 lim
x ?0

x?4 ?2 sin 2 x

e x ? e? x ? 2x 2、 x?0 1 ? cos x lim
3、已知 f ( x) ? e (sin x ? cos x) ,求 f ?(0) .
x

4、 5、

? sin

3

x cos xdx

? x sin xdx

ln(1 ? x 2 ) 6、求 lim x ?0 sec x ? cos x
7、已知 f ( x) ? ln(x ? 1 ? x 2 ) ,求 f ?( x) . 8、求由方程 y ? x ln y ? 1 所确定的隐函数 y ? y ( x) 的导数及 dy . 9、计算

?
?

dx ex ?1

10、计算 ( x ? ln x)dx

11、求 lim 12、求 lim
x ?0

3n 2 ? n n ?? 5n 2 ? 2
x ? sin x x3
2

13、设 y ? ln sin x ,求 dy
2 ?x 14、求 x e dx

?

15、 x x ? 1dx

?

16、 lim

x2 ? x ? 6 x ??3 x 2 ? 2 x ? 3
5

17、 lim
x ?0

1 ? 10 x3 ? 1 sin x3
x ? sin x x3
y 2

18、 lim
x ?0

19、设 y ? xe ? x ,求 y? .
20 20、 x (2 x ? 1) dx

?

21、求极限 lim n?ln( n ? 3) ? ln n ? ;
n ??

22、已知 y ? (1 ? 2x) sin x ,求 y' 。
2 2x 2 23、已知方程 sin y ? e ? 1 ? y ? 0 ,求 y ??

24、求不定积分

? (x

2

x dx ? 1)(x ? 2)

25、求不定积分

?x

dx
2

1? x2

四、综合题
1、证明:方程 x
5

? 3x ? 1在 1 和 2 之间至少存在一个实根.

2、求常数 a, b, c, d ,使函数

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 在 x ? 0 处有极大值

1 ,在

x ? 2 处有极小值 0.
3、试确定 a、b、c 的值,使曲线 y ? x 3 ? ax2 ? bx ? c 在(1,-1)为一拐点,在 x ? 0 处 有极值,并求曲线的凹凸区间. 4、在平面上过点 P(1,4) 引一条直线,使其在两坐标轴上的截距都是正的,并且截距之和为 最小,求此直线方程. 5、隐函数 y ? y ( x) 由方程 y ? x ? ln y 确定,求 y? 。
2

6、证明:当 x ? 0 时,
2

x ? ln(1 ? x) ? x 。 x ?1

7、 求曲线 y ? x , y ? 0 与 x ? 1 所围图形的面积。 8、求函数 f ? x ? ?

x3 ? x 2 ? 2 的单调区间、极值和曲线的凸性区间、拐点。 3
1 , ( x ? 1) 。 x

9、证明不等式 2 x ? 3 ?

10、 一房产公司有 50 套公寓要出租,当月租金定为 1000 元时,公寓会全部租出去。 当月租金每增加 50 元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费 100 元的维修费。试问房租定为多少可获得最大收入? .

高等数学 B(上)课程期末练习试卷(一)答案
一、选择题
1-5 DABDA 6-10 BCDBA 11-15 DBDAB 16-20 ABDAD 21-25 DCBDC

二、填空题
1、奇 2、 y ? lg u,

u ? sin x

3、 y ? ?2 x ? 5

4、一

5、

6、 (??,0) ? (0,3] 11、 ?1,2? ? ? 2, ???
16、偶 17、 ?1

7、1
12、 e ?1

8、2

9、 ln x ? sin x ? C

10、

?
4

1 3 x ? ex ? C 3

?1 1 15、 x 4 ? c 2
22、 x ? 0 ,

13、1/3

14、 y ? 1 ? 3( x ? 1)

18、 y

? 3x ? 1
24、

19、
1 ?1 ln 2

1 2

20、1 21、 a ? 25、 f ' (0)

1 2

第二类 23、 y ? 1 , x ? ?1

sin t 1 ? cos t

三、计算题
1、解:原式== lim
x?0

?

x?4 ?2 x?4 ?2 2分 sin 2 x x ? 4 ? 2

?

??

?

?

== lim

x x ?0 2 x x?4?2

?

?4分
6分

== lim

1 x ?0 2 x?4?2

?

?

==

1 8

8分

(e x ? e ? x ? 2 x)? 2、解:原式== lim 2分 x ?0 (1 ? cos x)?
e x ? e? x ? 2 == lim 4分 x ?0 sinx

== lim ==0

e x ? e? x x ?0 cos x
x x

6分 8分 3分 6分 7分 8分

3、解: f ?( x) ? (e )?(sin x ? cos x) ? e (sin x ? cos x)? == e (sin x ? cos x) ? e (cosx ? sin x)
x x

== 2e cos x

x

f ?(0) ? 2
3 4、解:原式= sin xd sin x 4 分

?

=

1 4 sin x ? C 8 分 4

5、解:原式= ? xd cos x 3 分 = ? x cos x ? cos xdx 6 分 = ? x cos x ? sin x ? C 8 分

?

?

6、解 lim

ln(1 ? x 2 ) x 2 cos x ? lim ? 1. x ?0 sec x ? cos x x ?0 1 ? cos2 x

1?
7、解 f ?( x) ?

x 1? x2
2

x ? 1? x

?

1 1? x2

8、两边对 x 求导 y ? ? ln y ?

x y? , y

所以 y ? ?

y ln y , y?x y ln y dx y?x
2tdt , 1? t2

所以 dy ?

2 x 9、解令 t ? e ? 1 ,则 x ? ln(1 ? t ), dx ?

?

dx e ?1
x

??

2tdt 2dt ?? ? 2 arctant ? C ? 2 arctan e x ? 1 ? C 2 2 t (1 ? t ) 1? t

10、解 ( x ? ln x)dx ? 11、解:

?

? xdx ? ? ln xdx ? 2 x

1

2

? x ln x ? x ? C

1 3? 3n 2 ? n n lim 2 ? lim n ?? 5n ? 2 n ?? 2 5? 2 n 1 lim(3 ? ) n ?? n ? 3. ? 2 lim(5 ? 2 ) 5 n ?? n
12、解: lim

(5 分)

(8 分)

x ? sin x 1 ? cos x ? lim 3 x ?0 x ?0 x 3x 2 sin x ? lim x?0 6 x 1 ? . 6

(3 分) (6 分) (8 分)

13、解: ? y? ?

1 .cos x 2 .2 x ? 2 x cot 2 x 2 sin x

(5 分) (8 分)

?dy ? 2x cot 2 xdx

14、解:

?x e

2 ?x

dx ? ? ? x 2 de ? x

(2 分) (4 分) (6 分)

? ? x 2 e ? x ? ? e ? x dx 2 ? ? x 2e ? x ? 2? xe ? x dx
? ? x 2 e ? x ? 2? xde ? x ? ? x 2e ? x ? 2 xe ? x ? 2? e ? x dx

? ?e? x ( x2 ? 2x ? 2) ? c
15、解: x x ? 1dx

(8 分)

?

t ? x ?1

? (t

2

? 1)t 2tdt

(3 分)

? 2 ? (t 4 ? t 2 )dt

1 1 ? 2( t 5 ? t 3 ) ? C 5 3
5 3 2 2 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? C 5 3

(6 分) (8 分)

16、解: lim

x2 ? x ? 6 ? x ? 3?? x ? 2? = lim 2 x ??3. x ? 2 x ? 3 x ??3 ? x ? 3?? x ? 1?

2分

x?2 x ??3 x ? 1 5 = 4
= lim
5

4分 5分

17、解:

lim
x ?0

1 ? 10 x3 ? 1 2 x3 ? lim x ?0 x 3 tan x3
=2

4分 5分

1 2 x x ? sin x 1 ? cos x 1 2 18、解: lim = lim ? lim 2 ? 3 2 x ?0 x ?0 x ?0 3x x 3x 6
19、解:

y ? xe y ? x2
两边同时对 x 求导

y' ? e y ? xe y y ' ? 2x

3分

20、解:

? (2 x ? 1)

20

dx ?
?

1 20 ? 2 x ? 1? d ? 2 x ? 1? ? 2
1 21 ? 2 x ? 1? ? c 42 3 3 3 ) ? lim ln(1 ? ) n ? ln lim(1 ? ) n ? 3 x ?0 x ?0 n n n

(过程 3 分,结果 2 分) 21、解: lim n?ln( n ? 3) ? ln n ? ? lim n ln(1 ?
n ??

x ?0

22、解: y ? (1 ? 2x) sin x ? e sin x?ln(1? 2 x )

2 sin x ? ? y' ? (1 ? 2 x) sin x ?cos x ? ln(1 ? 2 x) ? 1 ? 2x ? ? ?
23、解:两端对 x 求导

2 sin y cos y ? y'?2e 2 x ?
2 1 ? y 2 e2x

? y ? y' 1? y2

?0

y' ?

2e 2 x sin 2 y ? y 1? y2

?

1 ? y 2 sin 2 y ? y

24、解:原式 ?

? 1 ? d ( x 2 ? 5 x ? 6) dx ? 5? 2 ?? 2 ? 2 ? x ? 5x ? 6 x ? 5x ? 6 ?

?
?

1 5 ? 1 1 ? ln | x 2 ? 5 x ? 6 | ? ? ? ? ?dx 2 2 ? x ?3 x ?2?
1 5 ln | x 2 ? 5 x ? 6 | ? ?ln | x ? 3 | ? ln | x ? 2 |? ? c 2 2

?

1 1 x ?3 ln | x 2 ? 5 x ? 1 | ? ln ?c 2 2 x?2
t ? ( , ) ,则 dx ? sec2 tdt 2 2

25、解:设 x ? tan t 原式 ?

? ?

sec 2 tdt ? tan2 t sec t
cos t dt sin 2 t 1 ?c sin t

??

? ? sin ? 2 td sin t ? ?

??

1? x2 ?c x

四、综合题
1、 证明:令 则

f ( x) ? x5 ? 3x ? 1 ,
f ( x) 在 [1, 2] 上连续. f (1) ? ?3 ? 0,f (2) ? 25 ? 0 , ? (1, 2) ,

2分

又因为

6分 8分 10 分 2分

所以由零点定理可得,至少存在一点 ? 使得 2、 解:

f (? ) ? 0 ,即 ? 5 ? 3? ? 1.

本题得证.

f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,
由题可得, 又,

f ?(0) ? c ? 0 , f ?(2) ? 12a ? 4b ? c ? 0 ,
8分

f (0) ? d ? 1, f (2) ? 8a ? 4b ? 2c ? d ? 0 ,
1 3 ? , b ? ? , c ? 0, d ? 1 . 4 4

联立各式,得 a

10 分

3、解 y? ? 3x 2 ? 2ax ? b,

y?? ? 6x ? 2a
0 ? b, 0 ? 6 ? 2a .

由题设条件知: ? 1 ? 1 ? a ? b ? c, 由此可解得 a ? ?3,

b ? 0, c ? 1 .

所以 y ? x 3 ? 3x 2 ? 1,

y?? ? 6x ? 6 ? 0 ,

当 x ? (??,1)时,有y ?? ? 0,

x ? (1,??)时,有y?? ? 0, 所以曲线的

凸区间为 (??,1] ,凹区间为 [1,??) . 4、解设直线方程为 y ? kx ? b ,和两个坐标轴的截距分别为 ? (1,4) ,所以 k ? 4 ? b , 设截距之和为 f (b) ? ? 由 f ?(b) ? ?

b ? 0, b ? 0 . 因为直线过 k

4 ?b, 4?b

b 4 ? 1 ? 0 ,可解得 b1 ? 2, b2 ? 6 ,由 ? ? 0, b ? 0 知, b1 ? 2 舍 2 k (4 ? b)

去,所以直线方程为 y ? ?2 x ? 6 . 5、解:方程两边对 x 求导,得 2 yy ? ? 1 ?

y? , (8 分) y
(10 分)

解出 y? ,得 y ? ?

y 2 y ?1
2

.

6、证明: 令函数 f (t ) ? ln t 当 x ? 0 时, f (t ) 在区间 [1,1 ? x] 上满足拉氏定理条件 存在 ? ? (1,1 ? x) ,使得

(2 分) (4 分)

f (1 ? x) ? f (1) ? f ?(? ) (1 ? x) ? 1

(7 分)



ln(1 ? x) 1 ? x ?
1 ln(1 ? x) ? ?1 1? x x
( x ? 0 ) 成立。 (10 分)

由于 1 ? ? ? 1 ? x , 即

x ? ln(1 ? x) ? x x ?1

7、 解: 画图

(略)

1分 3分

? y ? x2 ?x ? 0 ?x ?1 ? x ?1 ? 由 ? y ? 0 解得 ? ,? ,? ?y ? 0 ?y ?1 ?y ? 0 ? x ?1 ?
所求面积 S ?

?

1

0

x 2dx

5分

1 1 ? x3 ? 3 0 3
8、解: 定义域为 ? ??, ???

1

8分 1分

f ?( x) ? x2 ? 2x , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0, x2 ? 2

f ?? ? x ? ? 2x ? 2 ,令 f ?? ? x ? ? 0 ,得 x3 ? 1
列表

3分

x

? ??,0?
+

0

? 0,1?
?

1

?1, 2?
?

2

? 2, ???
+ +

f ? ? x?

0

0 + 极 小

f ?? ? x ?
f ? x?

?
? ?

?
极大

?
? ?

0 拐 点 6分

+

? ?

? ?

由表得:单增区间为 ? ??,0?, ?2, ??? ,单减区间为 ?0,1?, ?1, 2? 。极小值点 f ? 2 ? ?

2 ,极 3

大 值 点 为 f ? 0? ? 2 , 下 凸 区 间 为 ?1,2? , ? 2, ??? , 上 凸 区 间 为 ? ??,0? , ? 0,1? , 拐 点 为

f ?1? ?

4 3

8分

9、证明:设 f ( x) ? 2 x ? 3 ? 则 f (1) ? 0

1 x

( x ? 1)

f ' ( x) ?
?

1 1 x2 ? x ? ? 2 x x2 x x

当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0

?

当 x ? 1 时, f ( x) 单调递增

f ( x) ? 2 x ? 3 ? 2 x ? 3?

1 ? f (1) ? 0 x

1 , ( x ? 1) 。 x

10、解:设房租定为 x 元, x ? 1000

f ( x) ? x(50 ?

x ? 1000 x ? 1000 x ) ? 100 (50 ? ) ? ( x ? 100 )( 70 ? ) 50 50 50 ( x ? 100 ) x ? 70 ? ? 0 得 x ? 1800 令 f ' ( x) ? ? 50 50
因为唯一驻点具有最值,所以房租为 1800 时收益最大


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