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湖北省黄冈中学2012年春季高二年级期末理科数学考试(含答案)


湖北省黄冈中学 2012 年春季高二年级期末考试 数学试题(理)
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.若复数 z ? ( x2 ?1) ? ( x ?1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为 ( A. ?1 B. 0 C. 1 ) D. ? ) D. ?1 或 1

2 2.设集合 A={ x y ? ln(1 ? x) },集合 B={ y y ? x },则 A ? B ? (

A. [0,1] 3. f ( x) ? ? A. 16

B. [0,1)

C. (??,1) )

?2? x , x ? ( ? ? , 1) ? ,则 f ? f ( ? 2 )? ? ( 2 ?x , x ?? 1 , ? ?? ?
B. 4 C.

1 4

D.

1 16

4.对于函数 y ? f ( x) , x ? R , y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称”是“ y ? f ( x) 是奇函数” “ 的 ( ) B.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

5.如图,ABCD 是边长为 l 的正方形,O 为 AD 的中点,抛物线的顶点为 O 且通过点 C,则 阴影部分的面积为 ( )

1 4 1 C. 3
A.

1 2 1 D. 6
B.

6.如图, AB 为 ? O 的直径,弦 AC , BD 交于点 P ,若 AB ? 3, CD ? 1 , 则 sin ?APD ? ( A. ) B.

6 3

3 3

1 C. 3
x ?1

2 2 D. 3

7.若直线 mx ? ny ? 2 ? 0( m ? 0, n ? 0) 和函数 f ( x) ? a 一个定点,则 A.10

? 1(a ? 0且a ? 1) 的图像恒过同

2 1 ? 的最小值为( m n
B.8

) C.4 D.2

8. 函数 f ( x ) 在定义域 R 内可导, f ( x) ? f (2 ? x) , 若 且当 x ? (??,1) 时,( x ? 1) f ?( x) ? 0,

数学(理科)试题

第 1 页 共 4页

1 设 a ? f (0), b ? f ( ), c ? f (5), 则 a, b, c 的大小顺序为( 2
A. b ? c ? a B. a ? c ? b

) D.b ? a ? c

C. c ? a ? b

9.定义域为 R 的偶函数 f ( x ) 满足对 ?x ? R,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) ,且当 x ? [2, 3] 时

( +? 上至少有三个零点,则 a 的取 f ( x) ? ?2( x ? 3)2 ,若函数 y ? f ( x) ? loga ( x ?1) 在 0, )
值范围为( A. (0, ) B. (0,

2 ) 2

3 ) 3

C. (0,

5 ) 5
x f(x)

D. (0,

6 ) 6

10.已知函数 f ( x ) 的定义域为 ??15? ,部分对应值如下表, ,

f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图象如图所示.
下列关于函数 f ( x ) 的命题: ① 函数 y ? f ( x) 是周期函数; ② 函数 f ( x ) 在 ?0, 是减函数; 2? ③ 如果当 x ?? ?1, t ? 时, f ( x ) 的最大值是 2,那么 t 的 最大值为 4; ④ 当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x) ? a 有 4 个零点. 其中真命题的个数是 ( A.4 个 ) B.3 个 C.2 个
y

x

D.1 个

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 已知命题 ?x ? R ,| x ? a | ? | x ? 1|? 2 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是___________. “ 12.若直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与曲线 ? 取值范围是____________. 13.已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 2 f ( x) ? f (1 ? x) ? 3x2 ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? f ( x) 在点

? x ? 1 ? cos? ( ? 为参数)没有公共点,则实数 m 的 ? y ? ?2 ? sin ?

(1, f (1)) 处的切线方程是

. .

? ? ? ? 2 2 2 14.设 a ? (1,1, ?2) , b ? ( x, y, z) ,若 x ? y ? z ? 16 ,则 a ? b 的最大值为
15.已知 2 ?

2 3

?2

2 3

, 3?

3 8

?3

3 8

, 4?

4 15

?4

4 15

, ? ,若 n ?

a t

?n

a t

(a,t,n 为正 . (结果用

实数, n ? 2 ) ,通过归纳推理,可推测 a,t 的值,则 a ? t ? n 表示)

数学(理科)试题

第 2 页 共 4页

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知命题 p :函数 y ? lg(ax2 ? ax ? 1) 的定义域为 R,命题 q :函数 y ? xa
2

?2a ?3



x ? (0, ??) 上是减函数,若“ p ? q ”为真命题,“ p ? q ”为假命题,求实数 a 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x)和g ( x) 的图象关于原点对称,且 f ( x) ? x 2 ? 2 x. (Ⅰ)求函数 g (x) 的解析式; (Ⅱ)如果对 ?x ? R,不等式 g ( x) ? c ? f ( x)? | x ? 1| 恒成立,求实数 c 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2ln( x ? a) ? x2 ? x 在 x ? 0 处取得极值. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? b ? 0 在区间 [?1,1] 上恰有两个不同的实数根,求实数 b 的取 值范围.

19. (本小题满分 12 分) 一座桥,两端的桥墩已建好,这两桥墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥 面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻桥墩之间的桥面 工程费用为 (2 ? x ) x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因 素,记余下工程的费用为 y 万元. .. (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小?
数学(理科)试题 第 3 页 共 4页

20. (本小题满分 13 分) 已知直三棱柱 ABC? A1 B1C1 的三视图如图所示,且 D 是 BC 的中点. (Ⅰ)求证: A B ∥平面 ADC1 ; 1 (Ⅱ)求二面角 C1 ? AD ? C 的余弦值; (Ⅲ)试问线段 A1B1 上是否存在点 E ,使 AE 与 DC1 成 60 角?若存在,确定 E 点位置, 若不存在,说明理由.
?

A1 B1 A B

C1 B

1

1

C B

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? e x ( e 为自然对数的底数), g n ( x) ? 1 ? x ? (Ⅰ)证明: f ( x ) ≥g1 ( x) ; (Ⅱ)当 x ? 0 时,比较 f ( x ) 与 gn ( x) 的大小,并说明理由;

x 2 x3 xn ? ? L ? ( n ? N? ) . 2! 3! n!

?2? ?2? ? 2? ? 2 ? g (Ⅲ)证明: 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? . ? ≤ n (1) ? e ( n ? N? ) ?2? ?3? ? 4? ? n ?1 ?

1

2

3

n

数学(理科)试题

第 4 页 共 4页

黄冈中学 2012 年春季高二期末数学(理)参考答案
? x2 ?1 ? 0 1. 【解析】由 ? ? x ? ?1 ,故选 A. x ?1 ? 0 ?
2. 【解析】A= x 1 ? x ? 0 = x x ? 1 ,B= y y ? 0 ,故选 B. 3. 【解析】 f (?2) ? 2 2 ? 4 , f ( f (?2)) ? f (4) ? 16 ,故选 A . 4. 【解析】若 y ? f ( x) 是奇函数,则 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称;反之不成立,比如偶 函数 y ? f ( x) ,满足 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称,但不一定是奇函数,故选 B. 5. 【解析】以 O 为原点建系,抛物线方程为 y ?

?

? ?

?

?

?

1 11 2 1 1 2 x , S ? ? ? x d x ? ,故选 C. 0 2 2 3 2

6.【解析】连结 AD ,则 sin ?APD ? AD ,又 ?CDP ? ?BAP ,

AP

从而 cos ?APD ?

1 2 2 PD CD 1 ,故选 D. ? ? ,所以 sin ?APD ? 1 ? ( )2 ? PA BA 3 3 3

7. 【解析】 f ( x) ? a x?1 ? 1 过定点 (?1, 2), 又点在直线上,? m ? 2n ? 2,

1 ? 2 1? 1? 4n m ? ? ? ? ? ? ( m ? 2n) ? ? 4 ? ? ? ? 2 ? 4 ? 4 (当 m ? 2n ? 1 时取等), 故选 C. 2 ?m n? 2? m n?
8. 【解析】 由题意知函数 f ( x ) 关于 x ? 1 对称,x ? (??,1) , f ( x ) 单调递增, f (5) ? f (?3) ,

1 ??3 ? 0 ? ,? c ? a ? b ,故选 C. 2 9. 【解析】由 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) 恒成立可知 f ( x ) 图像以 x ? 2 为对称轴,周期 T ? 2 , 作出 f ( x ) 的图像,? y ? loga ( x ? 1) 的图像与 f ( x ) 的图像至少有三个交点,即有

loga (2 ? 1) ? f (2) ? ?2 且 0 ? a ? 1 ,解得 a ? (0,

3 ) ,故选 B. 3

10. 【解析】画出原函数的大致图象,得: ①为假命题,[-1,0]与[4,5]上单调性相反,但原函数图象不一定对称. ②为真命题.因为在[0,2]上导函数为负,故原函数递减; ③为假命题,当 t=5 时,也满足 x∈ [-1,t]时, f ( x) 的最大值是 2; ④为假命题, y ? f ( x) ? a 可能有有 2 个或 3 个或 4 个零点.故选 D. 11. 【答案】 (??, ?3) ? (1, ??) 【解析】“ ?x ? R, ,| x ? a | ? | x ? 1|? 2 ”的否定“ ?x ? R, ,| x ? a | ? | x ? 1|? 2 ”为 真命题, | x ? a | ? | x ? 1|?| a ? 1|? 2 ,解得 a ? ?3或a ? 1 .

数学(理科)试题

第 5 页 共 4页

12. 【答案】 m ? 0 或 m ? 10 【解析】 曲线的普通方程是 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 , 圆心 ?1, ?2? 到直线 3x ? 4 y ? m ? 0 的 距离 d ?

3 ?1 ? 4(?2) ? m 3 ?4
2 2

?

m?5 5

,令

m?5 ? 1 ,得 m ? 10 或 m ? 0 . 5

13. 【答案】 2 x ? y ? 1 ? 0 【解析】由 2 f ( x) ? f (1 ? x) ? 3x2 ? 2 x ? 1 , ① 得 2 f (1 ? x) ? f ( x) ? 3(1 ? x)2 ? 2(1 ? x) ? 1 ? 3x2 ? 4x ? 2 , ② 即① ?2 ? ②得, f ( x) ? x2 ,∴ f ?( x) ? 2 x ,∴故所求的切线为 2 x ? y ? 1 ? 0 . 14. 【答案】 4 6 【解析】由柯西不等式, ?12 ? 12 ? ( ?2) 2 ? ( x 2 ? y 2 ? z 2 ) ? ( x ? y ? 2 z ) 2 , ? ? 知 a ? b ? x ? y ? 2 z ?[?4 6, 4 6]. 15. 【答案】 n ? n ? 1
2

? ?

【解析】通过归纳推理, a ? n, t =n2 ?1,? a ? t ? n2 ? n ?1 . 16. 【解答】命题 p : a ? 0 或 ?
2

?a ? 0
2 ? ? ? a ? 4a ? 0

,? 0 ? a ? 4 ;

命题 q : a ? 2a ? 3 ? 0 ,??1 ? a ? 3 ; 由题意知命题 p, q 有且只有一个是真命题,

?0 ? a ? 4 当 p 为真, q 为假时, ? ?3? a ? 4 , ?a ? ?1或a ? 3
当 p 为假, q 为真时, ?

?a ? 0或a ? 4 ??1 ? a ? 3

? ?1 ? a ? 0 ,

综上可得, ?1 ? a ? 0或3 ? a ? 4 . 17. 【解答】 (I)? 函数 f ( x)和g ( x) 的图象关于原点对称,
2 故 g ( x) ? ? x ? 2x. ? g ( x) ? ? f (? x) ? ?( x2 ? 2x), 2 (II)由 g ( x) ? c ? f ( x)? | x ? 1| 可得: c ? 2x ? x ?1 ,

令 F ( x)= ?

?2 x 2 ? x ? 1,x ? 1 ? , 2 ?2 x ? x ? 1,x ? 1 ?

当 x ? 1 时, F ( x)min ? 2 ;

数学(理科)试题

第 6 页 共 4页

当 x ? 1 时, F ( x) min ? F ( ? ) ? ? ,因此,实数 c 的取值范围为 (??, ? ] . 18. 【解答】 (Ⅰ) f ?( x) ?

1 4

9 8

9 8

2 ? 2 x ? 1 ,当 x ? 0 时, f ( x) 取得极值, x?a ? f ?( x) ? 0 ,解得 a ? 2 ,检验 a ? 2 符合题意.
(Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? b ? 2ln( x ? 2) ? x2 ? x ? b, 则 g ?( x) ? 当 x ? (?2, 0) 时, g ?( x) ? 0,? g ( x) 在 (?2, 0) 上单调递增; 当 x ? (0, ??) 时, g ?( x) ? 0,? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递减, 要使 f ( x) ? b ? 0 在区间 [?1,1] 上恰有两个不同的实数根,

2 ? 2 x ? 1( x ? ?2), x?2

? g (?1) ? 0 ? 只需 ? g (0) ? 0 ? g (1) ? 0 ?

?b ? 0 ? 即 ?2 ln 2 ? b ? 0 , ??2 ln 2 ? b ? 2 ? 2 ln 3. ?2 ln 3 ? 2 ? b ? 0 ?

19. 【解答】 (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, ( n ? 1) x ? m,即n= 所以 y ? f ( x)=256n+(n+1)(2+ x )x =256(

m ? 1, x

m m -1)+ (2 ? x ) x x x

?

256m ? m x ? 2m ? 256. x
256m x2 ? 1 2
?
1 2

(Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)知, f ?( x) ? ?
3

mx

?

m 2x2

3

( x 2 ? 512) ,

令 f ?( x) ? 0 ,得 x 2 ? 512 ,所以 x =64 当 0< x <64 时, f ?( x ) <0, f ( x ) 在区间(0,64)内为减函数; 当 64 ? x ? 640 时, f ?( x ) >0, f ( x ) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x ) 在 x =64 处取得最小值,此时, n ? 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小. 方法二: y ?

m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. x 64
x 2 x 2

256m x

? m x ? 2m ? 256 ? m(

256 x

?

?

) ? 2m ? 256

? 3m 3 6 4? 2 ? 2 5 6 m 4? (当且仅当 m ? 1 256

256 x ? , 即 x ? 64 取等) x 2

20 . 解 答 】 Ⅰ ) 证 明 : 根 据 三 视 图 知 : 三 棱 柱 ABC? A1 B1C1 是 直 三 棱 柱 , 【 ( , A B ? B C 2 A1A ?ABC ? 90? , ?
数学(理科)试题 第 7 页 共 4页

连结 AC , AC1 交于点 O ,连结 OD . 1 由 ABC? A1 B1C1 是直三棱柱, 得四边形 ACC1 A1 为矩形, O 为 AC 的中点. 1 又 D 为 BC 中点,? OD 为 △A1BC 中位线,? A B ∥ OD , 1 因为 OD ? 平面 ADC1 , A1B ? 平面 ADC1 , 所以 A B ∥平面 ADC1 . 1 (Ⅱ)由 ABC? A1 B1C1 是直三棱柱,且 ?ABC ? 90 ,故 BA, BC, BB1 两两垂直. 如图建立空间直角坐标系 B ? xyz .
?

? BA ? 2 ,则 B(0,0,0),C(2,0,0), A(0,2,0), C1 (2,0,1), D(1,0,0) .
所以 AD ? (1, ?2,0) , AC1 ? (2, ?2,1)

??? ?

???? ?

? ???? ?n ? AD ? 0 ? , 设平面 ADC1 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ? ???? ? ?n ? AC1 ? 0 ?
所以 ?

? x ? 2 y ? 0, 取 y ? 1 ,得 n ? (2,1,?2) . ?2 x ? 2 y ? z ? 0.

易知平面 ADC 的法向量为 v ? (0, 0,1) . 由二面角 C1 ? AD ? C 是锐角,得 cos? n, v ? ? 即二面角 C1 ? AD ? C 的余弦值为 (Ⅲ)假设存在满足条件的点 E . 因为 E 在线段 A1 B1 上, A1 (0,2,1) , B1 (0,0,1) ,故可设 E (0, ? ,1) ,其中 0 ? ? ? 2 . 所以 AE ? (0, ? ? 2,1) , DC1 ? (1,0,1) .

| n?v | 2 ? , n v 3

2 . 3

??? ?

???? ?

??? ???? ? ? AE ? DC1 1 因为 AE 与 DC1 成 60 角,所以 ??? ???? ? . ? ? 2 AE DC1
?



1 (? ? 2) ? 1 ? 2
2

?

1, 2

? 解得 ? ? 1 ,舍去 ? ? 3 , 所以当点 E 为线段 A1 B1 中点时, AE 与 DC1 成 60 角.
x x 21. 【解答】 (Ⅰ)证明:设 ?1 ( x) ? f ( x) ? g1 ( x) ? e ? x ?1 ,所以 ?1? ( x ) ? e ? 1 .

当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, ?1? ( x) ? 0 . 即函数 ?1 ( x) 在 (??, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增, 在 x ? 0 处取得唯一极小值,
数学(理科)试题 第 8 页 共 4页

因为 ?1 (0) ? 0 ,所以对任意实数 x 均有

?1 ( x)≥?1 (0) ? 0 .

即 f ( x) ? g1 ( x)≥0 ,所以 f ( x ) ≥g1 ( x) . (Ⅱ)当 x ? 0 时, f ( x) ? gn ( x) . 用数学归纳法证明如下: ①当 n ? 1 时,由(1)知 f ( x ) ? g1 ( x) ; ②假设当 n ? k ( k ? N? )时,对任意 x ? 0 均有 f ( x) ? gk ( x) , 令 ?k ( x) ? f ( x) ? gk ( x) , ?k ?1 ( x) ? f ( x) ? gk ?1 ( x) ,

? 因为对任意的正实数 x , ? ?k ?1 ( x) ? f ? ? x ? ? g k ?1 ? x ? ? f ( x) ? g k ( x) ,
由归纳假设知, ? ?k ?1 ( x) ? f ( x) ? g k ( x) ? 0 , 即 ?k ?1 ( x) ? f ( x) ? gk ?1 ( x) 在 (0, ? ?) 上为增函数,亦即 ?k ?1 ( x) ? ?k ?1 (0) , 因为 ?k ?1 (0) ? 0 ,所以 ?k ?1 ( x) ? 0 . 从而对任意 x ? 0 ,有 f ( x) ? gk ?1 ( x) ? 0 ,即对任意 x ? 0 ,有 f ( x) ? gk ?1 ( x) , 这就是说,当 n ? k ? 1 时,对任意 x ? 0 ,也有 f ( x) ? g k ?1 ( x) . 由①,②知,当 x ? 0 时,都有 f ( x) ? gn ( x) . (Ⅲ)证明 1:先证对任意正整数 n , gn ?1? ? e . 由(Ⅱ)知,当 x ? 0 时,对任意正整数 n ,都有 f ( x) ? gn ( x) . 令 x ? 1 ,得 gn ?1? ? f ?1? = e .所以 gn ?1? ? e . 再证对任意正整数 n ,

1 1 1 ?2? ? 2? ? 2? ? 2 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? gn ?1? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? . 2! 3! n! ?2? ? 3? ? 4? ? n ?1 ?

1

2

3

n

1 ? 2 ? 要证明上式,只需证明对任意正整数 n ,不等式 ? ? ? 成立. ? n ? 1 ? n!
即要证明对任意正整数 n ,不等式 n ! ? ? 方法 1(数学归纳法) :
数学(理科)试题 第 9 页 共 4页

n

? n ?1 ? ? (*)成立. ? 2 ?
n

①当 n ? 1 时, 1! ? ?

? 1?1 ? ? 成立,所以不等式(*)成立. ? 2 ?
1

②假设当 n ? k ( k ? N? )时,不等式(*)成立,即 k ! ? ?

? k ?1 ? . ? ? 2 ?
k

? k ?1 ? ? k ?1 ? . 则 ? k ? 1? ! ? ? k ? 1? k ! ? ? k ? 1? ? ? ? 2? ? ? 2 ? ? 2 ?
k

k ?1

?k?2? k ?1 ? ? ? 2 ? ??k ?2? ? ? ? k ?1 ? k ?1 ? ? k ?1? ? ? ? 2 ?
? ? k ? 1? ! ? 2 ?

k ?1

? ?1 ?

? ?

1 ? ? k ?1?

k ?1

? C k ?1 ? C k ?1
0 1

1 k ?1

? ? ? C k ?1 ?

k ?1

? 1 ? ? ? k ?1?

k ?1

? 2,

? k ?1? ? ? 2 ?

k ?1

??

? k ? 2 ? ,这说明当 n ? k ? 1 时,不等式(*)也成立. ? ? 2 ?

k ?1

由①,②知,对任意正整数 n ,不等式(*)都成立.

?2? ?2? ? 2 ? 综上可知,对 ?n ?N? ,不等式 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? gn ?1? ? e 成立. ?2? ?3? ? n ?1 ?
方法 2(基本不等式法) : 因为 n ?1 ?

1

2

n

n ?1 , 2

? n ? 1? ? 2 ?

n ?1 n ?1 ,??, 1 ? n ? , 2 2
n

? n ?1 ? 将以上 n 个不等式相乘,得 n ! ? ? ? .所以对任意正整数 n ,不等式(*)都成立. ? 2 ?
?2? ?2? ? 2 ? 综上可知,对 ?n ?N? ,不等式 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? gn ?1? ? e 成立. ?2? ?3? ? n ?1 ?
1 2 n

数学(理科)试题

第 10 页 共 4 页


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