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高中数学必修5练习题--等差数列原创新人教


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高中数学必修⑤练习题(2)----等差数列(B) 班级__________ 姓名_________ 学号____ 评分_______

一,选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设数列 2 , 5 ,2 2 , 11 ,……则 2 5 是这个数列的 A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项 ( )

2.若 a≠b,数列 a,x1,x 2 ,b 和数列 a,y1 ,y2 , y3,b 都是等差数列,则 A. 2 3 B. 3 4 D. 4 3

x 2 x1 = y 2 y1

(

)

C.1

3. 等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450 ,则前9项和S9= A.1620 B.810 C.900 D.675 ( D. a=-2,b=-5

(

)

4.在-1 和 8 之间插入两个数 a,b,使这四个数成等差数列,则 A. a=2,b=5 B. a=-2,b=5 C. a=2,b=-5

)

5.首项为 24 的等差数列,从第 10 项开始为正数,则公差 d 的取值范围是 A. d >

(

)

8 3

B. d >3

C.

8 ≤ d <3 3

D.

8 < d ≤3 3

6.等差数列 {a n } 共有 2n 项,其中奇数项的和为 90,偶数项的和为 72,且 a 2 n a1 = 33 ,则该 数列的公差为 A.3 B.-3 C.-2 D.-1 ( ) ( )

7.在等差数列 {a n } 中, a10 < 0, a11 > 0, 且 a11 >| a10 | ,则在 S n 中最大的负数为 A. S17 B. S18 C. S19 D. S 20

8.等差数列{an}中,a1=-5,它的前11项的平均值是5,若从中抽取1项,余下的10项的平均值是4, 则抽取的是: A.a11 B.a10 C.a9 D.a8 ( D.192 ) ( )

9.设函数 f(x)满足 f(n+1)= A.95 B.97

2 f (n) + n * (n∈N )且 f(1)=2,则 f(20)为 2
C.105

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10.已知无穷等差数列{a n},前 n 项和 S n 中,S 6 <S 7 ,且 S 7 >S 8 ,则 A.在数列{a n }中 a7 最大; C.前三项之和 S 3 必与前 11 项之和 S 11 相等; B.在数列{a n }中,a 3 或 a D.当 n≥8 时,a n <0.
4

( 最大;

)

二,填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.集合 M = m m = 6n, n ∈ N * , 且 m < 60

{

} 中所有元素的和等于_________.

12,在等差数列 {an } 中, a3 + a7 a10 = 8, a4 a11 = 14. 记 S n = a1 + a2 + a3 + L + an ,则 S13 = _____ 13,已知等差数列 {an } 中, a7 + a9 = 16, a4 = 1 ,则 a16 的值是 , 与 的前 n 项和分别记为 Sn, n, n, n. T P Q 14. 等差数列 n}{bn}{cn} {dn} {a , .

S n 5n + 1 a = , f ( n) = n ; Tn 3n 1 bn

cn 5n 2 P f ( n) = , g ( n) = n .则 的最小值= d n 3n 2 Qn g ( n)
三,解答题: 15.(12 分)(1)在等差数列 {an } 中, d = , a7 = 8 ,求 an 和 Sn ; (2)等差数列 {an } 中, a 4 =14,前 10 项和 S10 = 185 .求 a n ;

1 3

16.(13 分)一个首项为正数的等差数列{an},如果它的前三项之和与前 11 项之和相等,那么该数 列的前多少项和最大?

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17.(13 分)数列{an}中, a1 = 8 , a4 = 2 ,且满足 an + 2 2an +1 + an = 0 (1)求数列的通项公式;(2)设 S n =| a1 | + | a2 | + L + | an | ,求 Sn .

18.(14 分)一种设备的价值为 a 元,设备维修和消耗费用第一年为 b 元,以后每年增加 b 元,用 t 表示设备使用的年数,且设备年平均维修,消耗费用与设备年平均价值费用之和为 y 元,当 a=450000,b=1000 时,求这种设备的最佳更新年限(使年平均费用最低的 t)

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19.(14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=

1 . 2

(1)求证:{

1 }是等差数列;(2)求 an 表达式; Sn
2 2 2

(3)若 bn=2(1-n)an(n≥2),求证:b2 +b3 +…+bn <1.

20.(14 分)已知数列 a1 , a 2 , L , a 30 ,其中 a1 , a 2 , L , a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列;

a10 , a11 , L , a 20 是公差为 d 的等差数列; a 20 , a 21 , L , a 30 是公差为 d 2 的等差数列( d ≠ 0 ).
(1)若 a 20 = 40 ,求 d ;(2)试写出 a 30 关于 d 的关系式,并求 a10 + a20 + a30 的取值范围; (3)续写已知数列,使得 a 30 , a 31 , L , a 40 是公差为 d 3 的等差数列,……,依次类推,把已知数列推 广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例), 并进行研究, 你能得到什么样的结论?

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高中数学必修⑤练习题(2)----等差数列(B)参考答案 BDBA DBCA BD 11.270 12.286 13.22 14. 15 11

15. (1) an = n +

1 3

31 1 61 , Sn = n 2 + 3 6 6
a1 + 3d = 14, 1 10a1 + 2 10 9 9d = 185,

a = 14 (2)由 4 ∴ S10 = 185

a1 = 5 d = 3

∴ a n = 3n + 2

16.由 S3 = S11 ,得 d =

2 a1 ,知{ an}是递减的等差数列. 13

∵S3=S11,∴ a4+a5+…+a11=0.又∵ a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8, ∴4(a7+a8)=0,即 a7+a8=0.由此必有 a7>0,a8<0.故前 7 项和最大. 17.(1) an + 2 2an +1 + an = 0 ∴ an + 2 an +1 = an +1 an ∴ {an +1 an } 为常数列,∴{an}是以 a1 为首项的等差数列, 设 an = a1 + ( n 1) d , a4 = a1 + 3d ,∴ d = (2)∵ an = 10 2n ,令 an = 0 ,得 n = 5 . 当 n > 5 时, an < 0 ;当 n = 5 时, an = 0 ;当 n < 5 时, an > 0 . ∴当 n > 5 时, S n =| a1 | + | a2 | + L + | an | = a1 + a2 + L + a5 ( a6 + a7 + L + an )

2 8 = 2 ,∴ an = 10 2n . 3

= T5 (Tn T5 ) = 2T5 Tn , Tn = a1 + a2 + L + an .
当 n ≤ 5 时, S n =| a1 | + | a2 | + L + | an | = a1 + a2 + L + an = Tn . ∴ Sn =

9n n 2 , (n ≤ 5) 2 n 9n + 40, (n > 5). b + 2b + L + tb b = (t+1)(元) t 2

18.设此设备使用了 t 年,由题意,设备维修,消耗费用构成以 b 为首项,b 为公差的等差数列, 因此年平均维修,消耗费用为

年平均价值费用为

a 元,于是有 t

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y=

b(t + 1) a b b a 900 + = + t + = 500 + 500(t + ) 2 t 2 2 t t

对于 (t)=t+ 900 ,可以证明当 0<t≤30 时,
t

(t)为减函数,t≥30 时 (t)为增函数,∴

当 t=30 时 (t)有最小值,即 y 取最小值,∴当 t=30 时年平均费用最低,∴这种设备的最佳更 新年限是 30 年. 19.(1) ∵an+2SnSn-1=0(n≥2),而 an =Sn-Sn-1, ∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0(n≥2),∴

1 1 = 2 (n≥2). S n S n 1

∴{

1 1 1 }是以 = = 2 为首项,2 为公差的等差数列. Sn S1 a1 1 1 = 2 + 2(n 1) = 2n , S n = . Sn 2n

(2)由(1)知,

1 2 ,n =1 1 1 当 n≥2 时, an = S n S n 1 = .∴ an = 2n 2(n 1) 1 1 , n ≥ 2. 2n 2(n 1)
(3)当 n≥2 时,bn=2(1-n)an= 2(1 n)[

1 1 1 ]= . 2n 2( n 1) n

2 ∴ bn =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ) = 1 < 1. < = .b2 +b3 +…+bn < ( ) + ( ) + L + ( 2 1 2 2 3 n 1 n n n n(n 1) n 1 n

20.(1) a10 = 10. a 20 = 10 + 10d = 40, ∴ d = 3 . (2) a30 = a20 +10d 2 =101 + d + d 2

(

)

(d ≠ 0) ,

a10 +a20 +a30 = a10 +a20 +a20 +10d2 =10( 3+2d +d2 ) =10[2+(d +1)2]
当 d ∈ ( ∞, 0 ) U ( 0, + ∞ ) 时, a10 + a20 + a30 ∈ [ 20, + ∞ ) . (3)所给数列可推广为无穷数列 { a n } , 其中 a1 , a 2 , L , a10 是首项为 1, 公差为 1 的等差数列, n ≥ 1 当
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时,数列 a10 n , a10 n +1 , L , a10 ( n +1) 是公差为 d n 的等差数列. 研究的问题可以是:试写出 a10 + a20 + L + a10( n +1) 关于 d 的关系式,并求 a10 + a20 +L+ a10(n+1) 的取值 范围. 研究的结论可以是:由

a10 + a20 + a30 + a40 = a10 + a20 + a30 + a30 + 10d 3 = 10 ( 4 + 3d + 2d 2 + d 3 ) ,
依次类推可得

a10 + a20 + L + a10( n+1)

n + 1 d (1 d n+1 ) ], d ≠ 1, 10[ = 10 (n + 1) + nd + L + d n = 1 d (1 d )2 5(n + 1)(n + 2), d = 1.

因为 Sn+1 = a10 + a20 + L + a10( n+1) = 10 (n + 1) + nd + L + d n ,

dSn+1 = 10 (n + 1)d + nd 2 + L + d n+1
当 d ≠ 1 时, (1 d ) Sn+1 = 10 (n + 1) (d + d 2 + L + d n+1 )

n + 1 d (1 d n +1 ) d (1 d n+1 ) ,即 ], d ≠ 1 ; Sn +1 = 10[ (1 d )Sn+1 = 10 (n + 1) 1 d (1 d )2 1 d
当 d ≠ 1 时, Sn+1 = 10 [ (n + 1) + n + L + 1] = 10

(n + 1)(n + 2) = 5(n + 1)(n + 2) . 2

当 d > 0 时, a10 + a20 + L + a10( n+1) 的取值范围为 (10n + 10, + ∞ ) 等.

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