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【数学】1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(人教A版必修4)2


1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

***复习回顾***

y ? sin x, x ?[0,2? ]的图象
? 3? 关键点: (0,0), ( ,1), (? ,0), ( ,?1), ( 2? ,0) 2 2 y 1
O 1
?
2

?

3? 2

2?

x

y ? A sin( ?x ? ? )(其中A ? 0, ? ? 0)在简谐 运动中的相关概念 : A:振幅
(运动的物体离开平衡位 置的最大距离 ) 2? T:周期T= ?
(运动的物体往复运动一 次所需要的时间 ) 1 ? f:频率f ? = T 2? (运动的物体在单位时间 内往复运动的次数 )

物理中简谐振动的相关物理量

?x ? ?:相位
x ? 0时的相位?称为初相

探究: 对函数图象的影响

y=sin(x+?)与y=sinx的图象关系: ? ? 试研究 y ? sin( x ? ), y ? sin( x ? ) 3 6 与 y ? sin x 的图象关系. y y ? sin x ? y ? sin( x ? ) 1 3 ?

?

?

?
2

O
?

y ? sin( x ? ) 6

?
3

? ? 2
6 2 3

?

?

3? 5? 2? 13? x 2 3 6

-1

一、函数y=sin(x+?)图象: 平移变换
函数 y=sin(x+?)(??0) 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有的点向左(当?>0时)或 向右(当?<0时)平行移动|?|个单位而得到的.
所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平移 | ? | 个单位

y=sinx

y=sin(x+?)

?的变化引起图象位置发生变化(左加右减)

探究: ? 对函数图象的影响
2x
0
0 ? ?
2

y=sin?x与y=sinx的图象关系: 1 作函数 y ? sin 2 x 及 y ? sin x 的图象.
?
?
2 3? 2? 2 3? ? 4
1 x 2

0 0
x

?
2

2

?

3? 2? 2

x
y 1
O -1
? 4

4

x
sin 1 2

? 1

2? 3? 4? 0 ?1 0

sin 2 x 0

1

0 ?1 0

0

? 2

3? 4

?

3? 2

2?

5? 2

3?

7? 2

4?

x

y ? sin 2 x

y ? sin x

1 y ? sin x 2

间的变化关系. y 1

1 y ? sin x 与 y ? sin x 的图象 函数 y ? sin 2 x 、 2

O

?
2

?

2?

4? x
1 y ? sin x 2

-1

y ? sin 2 x

二、函数y=sin?x(?>0)图象: 周期变换
函数 y=sin?x (?>0且??0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当?>1时)或伸长(当0< ?<1时)到原来的1/? 倍(纵坐标不变)而得到的.

y=sinx

所有的点横坐标缩短(?>1) 或伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变

y=sin?x

?决定函数的周期: T ?

2?

?

探究: A 对函数图象的影响

y=Asinx与y=sinx的图象关系: ? 作下列函数图象: ? x 0 2 y ? 2 sin x sinx 0 1 0 1 y ? sin x 2sinx 0 2 0 2 y
2 1 O -1 -2
? 2

3? 2? 2
?1 ?2

0 0 0

1 si n x 2

0

1 2

1 0 ? 2

?

3? 2

2?

x

1 y ? sin x 2

y ? sin x

y ? 2 sin x

1 y ? sin x 与 y ? sin x 的图象 函数 y ? 2 sin x 、 2

间的变化关系.
y 2 1 O
?
2

?

-1 -2

3? 2

2?

x

1 y ? sin x 2

y ? 2 sin x

三、函数y=Asinx(A>0)图象: 振幅变换
函数 y=Asinx(A>0且A?1) 的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时) 或缩短(当0< A<1时)到原来的A倍(横坐标不变) 而得到的. y=Asinx,x?R的值域是[-A, A], 最大值是A,最小值是-A.
所有的点纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0< A<1) A倍 y=sinx y=Asinx 横坐标不变

A的大小决定这个函数的最大(小)值

例4.用“五点法”画出函数y=3sin(2x+π/3)的简 图. ? ? ? 7? 解: x ?
2x ?

?
3

6

0

?

12

3

2

?

3? 2

12

5? 6

2?

sin(2 x ? ? / 3) 0
3sin(2x+π/3) y 3
5? 6

1

0

-1

0

0

3

0

-3

0

2

1
?
?

?
3

?

oπ 6 12 -1
?

?
2

?

3? 2

2?

x

-2 -3

用图象变换法作y=3sin(2x+π/3)的图象的方法步骤(先平后缩):
向左平移π /3个单位长度 y=sin(x+π/3)的图象 y=sinx 的图象 第1步: 横坐标缩短到原来的1/2 y=sin(2x+ π/3)的图象 (纵坐标不变) 纵坐标伸长到原来的3倍 y=3sin(2x+ π/3)的图象 第3步: y=sin(2x+ π/3)的图象 (横坐标不变) y

第2步:y=sin(x+π/3)的图象倍

3 2 y=sin(x+π/3)
?
?

y=3sin(2x+ π/3) y=sinx o
?
2

1
3 ?

?

?
6

?

-1 -2

3? 2

2?

x

y=sin(2x+ π/3)

-3

变换法作Y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)简图的步骤:
左 (φ>0时)或向___(φ<0 右 ①把y=sinx的图象向___ 时)平移 |φ|个单位长度得到y=sin(x+ φ)的图象. 缩短 伸长 ω<1时) ②把所得图象各点的横坐标____(ω>1 时)或___(0< 到原来的1/ω ___倍(纵坐标不变),得到y=sin(ωx+φ)的 图象. ③再把所得图象各点的纵坐标伸长 ___(A>1时)或缩短 ___(0<A<1时) 到原来的_____ A 倍(横坐标不变),而得的Y=Asin(ωx+φ) 的图象.

归纳:

由y ? sin x到y ? A sin(?x ? ? )的图像变换步骤
步骤1 步骤2

画出y ? sin x在?0, 2? ?上的简图
沿x轴 平行移动|φ|个单位

得到y ? sin( x ? ? )在某周期内的简图
横坐标 伸长或缩短1/ω

步骤3

得到y ? sin( ?x ? ? )在某周期内的简图
纵坐标 伸长或缩短A倍

步骤4

得到y ? A sin( ?x ? ? )在某周期内的简图
沿x轴 扩展

步骤5

得到y ? A sin( ?x ? ? )在R上的图象

巩固练习:
? 1.如何由y=sinx的图象得到y= 3sin( 1 x )的图象? 2 4

解:
向右平移π /4个单位长度

第1步: y=sinx 的图象

y=sin(x -? )的图象 4

第2步: y=sin(x - ? )的图象 4

各点的横坐标伸长到原来的2倍 (纵坐标不变)

y=sin( 2 x - ? )的图象 4
1

各点的纵坐标伸长到原来的3倍
1 y=sin( 2 x - ? )的图象 4

第3步:

(横坐标不变)

1 y=3sin( 2

? x - 4 )的图象

练习2.

为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数 y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( B )而得到.
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变. B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变. C.纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变. D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变.

想一想? 问题:把y=sin2x的图象经过怎样的变换就得到 y=sin(2x+ 3 )的图象?
?

课堂小节:
1.Y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)中,A叫振幅,φ叫 伸缩 变换,φ的变化引 初相.A,ω的变化引起______ 平移 变换. 起______
(横向变换可简记为:左加右减,小 伸大缩.)

2.变换法作Y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)简图的步骤:
左 (φ>0时)或向___(φ<0 右 ①把y=sinx的图象向___ 时)平移 |φ|个单位长度得到y=sin(x+ φ)的图象. 缩短 伸长 ω<1时) ②把所得图象各点的横坐标____(ω>1 时)或___(0< 到原来的1/ω ___倍(纵坐标不变),得到y=sin(ωx+φ)的 图象. ③再把所得图象各点的纵坐标伸长 ___(A>1时)或缩短 ___(0<A<时) 到原来的_____ A 倍(横坐标不变),而得的Y=Asin(ωx+φ) 的图象.

3、

由y ? sin x到y ? A sin(?x ? ? )的图像变换步骤
步骤1 步骤2

画出y ? sin x在?0, 2? ?上的简图
沿x轴 平行移动

得到y ? sin( x ? ? )在某周期内的简图
横坐标 伸长或缩短

步骤3

得到y ? sin( ?x ? ? )在某周期内的简图
纵坐标 伸长或缩短

步骤4

得到y ? A sin( ?x ? ? )在某周期内的简图
沿x轴 扩展

步骤5

得到y ? A sin( ?x ? ? )在R上的图象

第二课时 例1:如何由 y ? sinx 变换得
y ? 3 si n ( 2x ?

?
3

) 的图象?

方法1:(按 先平移后变周期的顺序变换)
y 3 2 1
?

? y ? 3 sin( 2 x ? ) 3 ? y ? sin( 2 x ? ) 3
? 6
? 3
2 5? 7 ? ? 12 3 6

? ??
3

o
-1

6

?

7 ? 6

5? 3

2?

x

-2
-3

? y ? sin( x ? ) 3

y ? sin x

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法1:按先平移后变周期的顺序变换
y=sinx
向左?>0 (向右?<0)
平移|?|个单位

y=sin(x+?)

横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍 纵坐标不变

y=sin(?x+?)

横坐标不变

y=Asin(?x+?)

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

由y ? sin x到y ? A sin(?x ? ? )的图像变换步骤
步骤1

画出y ? sin x在?0, 2? ?上的简图
沿x轴 平行移动

步骤2

得到y ? sin( x ? ? )在某周期内的简图
横坐标 伸长或缩短

步骤3

得到y ? sin( ?x ? ? )在某周期内的简图
纵坐标 伸长或缩短

步骤4

得到y ? A sin( ?x ? ? )在某周期内的简图
沿x轴 扩展

步骤5

得到y ? A sin( ?x ? ? )在R上的图象

方法2:(按先变周期后平移顺序变换)
y 3 2 1
?

? y ? 3 sin( 2 x ? ) 3

? y ? sin( 2 x ? ) 3
7 ? 6

? ??
3

o
-1

6

? 6

? 3

2 5? 7 ? ? 12 3 6

?

5? 3

2?

x

-2 -3

y ? sin x ? ? ? ? y ? sin( 2 x ? ) ? sin ?2( x ? )? 3 6 ? ?
y ? sin 2 x

总结: y=sinx

y=Asin(?x+?)

方法2:按先变周期后平移顺序变换
横坐标缩短?>1 (伸长0<?<1)到原来的1/?倍

y=sinx

纵坐标不变

y=sin?x

向左?>0 (向右?<0) 平移|?|/?个单位

? ? ? y ? sin ?? ( x ? )? ? sin( ?x ? ? ) ? ? ?
y=Asin(?x+?)

横坐标不变

纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍

例2:右图是某简谐运动的图象。 (1)这个简谐运动 y/cm A 2的振幅、周期与 0.4 0.8 B 频率各是多少? D O
A ? 2 T ? 0.8 f ? 1.25
C

E 1.2 F

x/s

(2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示 完成了一次往复运动?如从A点算起呢? (3)求这个简谐运动的函数表达式.

2? ? y ? 2 sin x ? 2 sin x, x ? ?0,?? ? 0.8 0.4

例3:已知函数y=Asin(?x+?)(?>0, A>0) 的图像如下: A ? 2
y 2
5? ? ? ? T? ??? ? ? ? 6 ? 6? 2? ?? ? 2 ? y ? 2 sin(2 x ? ? ) T ? ? (? ,0) ? 2(? ) ? ? ? 0 6 6 ? ? 5? x ?? ? 3 3 6

?

?
6

O

-2

求解析式?

? y ? 2 sin( 2 x ?

?

3

)

总结: y ? A sin(? x ? ? ) ? b.
1 A ? ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? 2 1 b ? ? f ?x ?max ? f ?x ?min ? 2 2? 利用 T ? ,求得?

?

选择的点要认清其属“五点法”中的哪

一位置点,并能正确代人列式,求得 ? .

?? ? 0 ? “第二点”为: ? x0 ? ? ? 2 “第三点”为: ?x0 ? ? ? ? 3 ? “第四点”为: ?x0 ? ? ? 2 “第五点”为: ?x0 ? ? ? 2?
0

“第一点”为: ?x

练习:如图,某地一天从6~14时的温度变 化曲线近似满足函数:
T/度
30 20 10

y ? A sin(? x ? ? ) ? b.
这段曲线对应的函数 是什么?

3? ? y ? 10 sin( x ? ) ? 20, x ? ?6,14 ? 8 4

6 10 14 t/h O 1 A ? ?30 ? 10 ? ? 10 ? 1 T ? 1 ? 2? ? 14 ? 6 ?? ? ? 2 2 2 ? 8 1 ? 3? 3? b ? ?30 ? 10 ? ? 20 (6,10) ? ? 6 ? ? ? ?? ? 2 8 2 4

?

练习一
?1. 要得到函数 y= 2 sin x 的图象,只需将 y= sinx 图象(D ) A.横坐标扩大原来的两倍 B. 纵坐标扩大原来的两倍 C.横坐标扩大到原来的两倍 D. 纵坐标扩大到原来的两倍 ?2. 要得到函数 y=sin3x 的图象,只需将 y=sinx 图象(D ) A. 横坐标扩大原来的3倍 B.横坐标扩大到原来的3倍 C. 横坐标缩小原来的1/3倍 D.横坐标缩小到原来的1/3倍 ?3. 要得到函数 y=sin(x + π/3)的图象,只需将 y=sinx 图象( ) C A. 向左平移π/6个单位 B. 向右平移π/6个单位 C. 向左平移π/3个单位 D. 向右平移π/3个单位 ?4. 要得到函数 y=sin(2x-π/3)的图象,只需将y=sin2x图象( ) A. 向左平移π/3 个单位 B. 向右平移π/3个单位 D C. 向左平移π/ 6个单位 D. 向右平移π/6 个单位

5.选择题 :已知函数y ? 3 sin( x ? )的图象为C. 5 ?
(1)为了得到函数 y ? 3 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? ( A)向右平行移动 ( B )向左平行移动

?

? ?
5

个单位长度. 个单位长度.

5 2? (C )向右平行移动 个单位长度. 5 2? ( D )向左平行移动 个单位长度. 5

5.选择题 :已知函数y ? 3 sin( x ? )的图象为C. 5 ? (2)为了得到函数 y ? 3 sin(2 x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? B ? ( A)横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变 1 ( B)横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 2 (C )纵坐标伸长到原来的 2倍, 横坐标不变 1 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 2

?

(3)为了得到函数 y ? 4 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点? C ? 4 ( A)横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变 3 3 ( B )横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 4 4 (C )纵坐标伸长到原来的 倍, 横坐标不变 3 3 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 4

?

6.把y ? sin( 2 x ? )的图象向右平移 个单位, 3 6 这时图象所表示的函数为? D ? A. y ? sin( 2 x ? ) 2 3 C. y ? sin( 2 x ? ) 2

?

?

?

B. y ? sin( 2 x ? ) 6 D. y ? sin 2 x

?

x ? x 7.要得到函数y ? sin( ? )的图象, 可由y ? sin 2 6 2 的图象? C ? A. 向右平移 C. 向右平移

?
6

B. 向左平移

?
6

?
3

D. 向左平移

?
3

8.函数y ? A sin(?x ? ? ) ? 1的定义域为R, 周期为 , 2

?

?? 1,3?, 初相为 ,值域为 3 则其函数式的最简形式 为
?

?

?

A

?
?

A. y ? 2 sin( 4 x ? ) ? 1 B. y ? 2 sin( 4 x ? ) ? 1 3 3
C. y ? ?2 sin( 4 x ? ) ? 1 D. y ? 2 sin( 4 x ? ) ? 1 3 3

?

?

y=sinx

所有的点向左(? >0) 或向右(? <0)平行移动 | ? | 个单位长度 横坐标缩短(?>1)或 伸长(0< ?<1) 1/?倍 纵坐标不变 纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0< A<1) A倍 横坐标不变

小结

y=sin(x+?) y=sin?x

y=sinx

y=sinx
y=sinx

y=Asinx

y=Asin(?x+ ?)


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