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重庆高考试题分类整理(数学理)04解析几何(理)


解析几何(理)
一、选择题 1、 (2004 理 3)圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 的圆心到直线 x ? y ? 1 的距离为: ( A 2 B )

2 C 1 D 2 2 x2 y 2 2、 (2004 理 10) 已知双曲线 2 ? 2 ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左, 右焦点分别为 F1 , F2

,点 P 在双曲线的右支上, a b 且 | PF |? 4 | PF2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为:( ) 1 4 5 7 A B C D 2 3 3 3
3、 (2005 理 1)圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 5 关于原点(0,0)对称的圆的方程为 A. ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 5 C. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 B. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 D. x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ( )

4、 (2005 理 9)若动点( x, y )在曲线

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 上变化,则 x 2 ? 2 y 的最大值为 ( 4 b2



?b 2 ? ?4 A. ? 4 ?2b ?
C.

(0 ? b ? 4), (b ? 4)

?b 2 ? ?4 B. ? 4 ?2b ?
D.2 b
2 2

(0 ? b ? 2), (b ? 2)

b2 ?4 4

5、 (2006 理 3)过坐标原点且与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ?

1 x 3 1 (C) y ? ?3 x或y ? ? x 3
(A) y ? ?3 x或y ?

5 ? 0 相切的直线方程为( 2 1 (B) y ? 3 x或y ? ? x 3 1 (D) y ? 3 x或y ? x 3



6、 (2008 理 3)圆 O1 :x2 +y2 -2x=0 和圆 O2 :x2 +y2 -4y=0 的位置关系是( ) (A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切 7、 (2008 理 8)已知双曲线 曲线方程为( )

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线为 y=kx(k>0),离心率 e= 5k ,则双 a 2 b2

x2 y2 (A) 2 - =1 a 4a 2
(C)

x2 y 2 (B) 2 ? 2 ? 1 a 5a
(D)

x2 y 2 ? ?1 4b 2 b 2

x2 y 2 ? ?1 5b 2 b 2

-1-

8、 (2009 理 1)直线 y ? x ? 1与圆 x 2 ? y 2 ? 1的位置关系为( A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心

) D.相离

? y ? 0, ? 9、 (2010 理 4)设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ? x ? y ? 3 ? 0, ?
A、 ? 2 10、 (2010 理 8)直线 y ? B、4 C、6 D、8



? x ? 3 ? 3 cos? , 3 ? (? ? [0,2? )) 交于 A、B 两点, x ? 2 与圆心为 D 的圆 ? 3 ? y ? 1 ? 3 sin ? , ?
) C、

则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为( A、

7 ? 6

B、

5 ? 4

4 ? 3

D、 ?

5 3

11、 (2010 理 10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平 面内的轨迹是( A、直线 ) B、椭圆 C、抛物线 D、双曲线

12、 (2011 理 8)在圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD,则 四边形 ABCD 的面积为( A. 5 2 二、填空题 13、 (2004 理 16)对任意实数 K,直线: y ? kx ? b 与椭圆: ? ) C. 15 2 D. 20 2

B. 10 2

? x ? 3 ? 2 cos ? ? (0 ? ? ? 2? ) 恰有一个公 ? y ? 1 ? 4sin ? ?

共点,则 b 取值范围是_______________ 14、 (2005 理 16)连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 ①菱形 ④平行四边形 ②有 3 条边相等的四边形 ⑤有一组对角相等的四边形 ③梯形 (填写所有正确选项的序号).

15、 (2006 理 16)已知变量 x, y 满足约束条件 1 ? x ? y ? 4, ?2 ? x ? y ? 2. 若目标函数 z ? ax ? y (其中

a ? 0 )仅在点 ? 3,1? 处取得最大值,则 a 的取值范围为



? x ? y ? 1, ? 16、 (2007 理 12)已知 x、y 满足 ?2 x ? y ? 4, 则函数 z ? x ? 3 y 的最大值是____________. ? x ? 1, ?
17、 (2007 理 16)过双曲线 x ? y ? 4 的右焦点 F 作倾斜角为 105 的直线,交双曲线于 P、Q 两点,则
2 2
?

| FP | ? | FQ | 的值为_____________.
-2-

18、 (2008 理 15)直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? a ? 0 (a<3)相交于两点 A,B,弦 AB 的中点为(0,1) , 则直线 l 的方程为 .

19、 (2009 根据 15)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,若双曲 a 2 b2


线上存在一点 P 使

sin PF1 F2 a ? ,则该双曲线的离心率的取值范围是 sin PF2 F1 c

20、 (2010 理 13)已知以 F 为焦点的抛物线 y 2 ? 4 x 上的两点 A、B 满足 AF ? 3FB ,则弦 AB 的中点到 准线的距离为___________. 21、 (2011 理 15)设圆 C 位于抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 x=3 所围成的封闭区域(包含边界)内,则圆 C 的半 径能取到的最大值为__________ 三、解答题 22、 (2004 理 21)设 p ? 0 是一常数,过点 Q(2 p, 0) 的直线与抛物线 y 2 ? 2 px 交于相异两点 A、B,以线 段 AB 为直经作圆 H (H 为圆心) 试证抛物线顶点在圆 H 的圆周上;并求圆 H 的面积最小时直线 AB 的方
王新敞
奎屯 新疆



王新敞
奎屯

新疆

Y
B y

H O Q(2p,0) x

A

-3-

23、 (2005 理 21)已知椭圆 C1 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点, 4

而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (Ⅰ)求双曲线 C2 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 都恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两个交点 A 和 B 满足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点) ,求 k 的取值范围.

24、 (2006 理 22)已知一列椭圆 cn : x ?
2

y2 ? 1,0 ? bn ? 1 。n ? 1, 2 ……。若椭圆 Cn 上有一点 Pn ,使 Pn 到 2 bn

右准线 ln 的距离 dn 是 ? pn Fn ? 与 ?P Gn ? 的等差中项,其中 Fn 、 Gn 分别是 Cn 的左、右焦点。 n (I)试证: bn ?

3 ? n ? 1? ; 2

(II)取 bn ?

2n ? 3 ,并用 Sn 表示 ?P FnGn 的面积,试证: S1 ? S2 且 Sn ? Sn?1 n n?2

? n ? 3?

-4-

25、(2007 理 22)如右图,中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F (3,0) ,右准线 l 的方程为: x ? 12 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)在椭圆上任取三个不同点 P 、P 2、P 3 ,使 ?P FP ? ?P2 FP ? ?P3 FP ,证明: 1 1 2 3 1

1 1 1 为定值,并求此定值. ? ? | FP | | FP2 | | FP3 | 1
P2

y

l
P1 O F P3

x

26、 (2008 根据 21)如图,M(-2,0)和 N(2,0)是平面上的两点,动点 P 满足: PM ? PN ? 6.

(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程;

PN (Ⅱ)若 PM · =

2 ,求点 P 的坐标. 1 ? cos ?MPN

-5-

27、 (2009 理 20)已知以原点 O 为中心的椭圆的一条准线方程为 y ?

4 3 3 ,离心率 e ? , M 是椭圆 3 2

上的动点. (Ⅰ)若 C , D 的坐标分别是 (0, ? 3),(0, 3) ,求 MC ?MD 的最大值; (Ⅱ)如题(20)图,点 A 的坐标为 (1, 0) , B 是圆 x 2 ? y 2 ? 1上的点, N 是点 M 在 x 轴上的射影,点 Q 满足条件: OQ ? OM ? ON , QA? ? 0 . BA 求线段 QB 的中点 P 的轨迹方程;

??? ?

???? ???? ?

??? ??? ? ?

28、(2010 理 20)已知以原点 O 为中心, F ( 5 ,0) 为右焦点的双曲线 C 的离心率 e ? (Ⅰ)求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程;

5 . 2

(Ⅱ)如图,已知过点 M ( x1 , y1 ) 的直线 l1 : x1 x ? 4 y1 y ? 4 与过点 N ( x2 , y 2 ) (其中 x 2 ? x1 )的直 线 l 2 : x2 x ? 4 y 2 y ? 4 的交点 E 在双曲线 C 上,直线 MN 与两条渐近线分别交于 G、H 两点,求 ?OGH 的面积.

y

l2

G

N O M H

x
l1
E

-6-

29、 (2011 理 20)如图,椭圆的中心为原点 O ,离心率 e ? (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;

? ,一条准线的方程为 x ? ? ? . ?

(Ⅱ)设动点 P 满足: OP ? OM ? ?ON ,其中 M , N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为

uur u

uuur

uuu r

?

? ,问:是否存在两个定点 F? , F? ,使得 PF ? PF? 为定值?若存在,求 F? , F? 的坐标;若 ? ?

不存在,说明理由.

-7-

解析几何(理)参考答案
一、选择题 1、D 2、B 二、填空题 13、[-1,3] 14、②③⑤ 15、 a ? 1 16、7 17、 3、A 4、A 5、A 6、B 7、C 8、B 9、C 10、C 11、D 12、B

8 3 3

18、x-y+1=0

19、(1,

2 ?1 )

20、

3 5

21、 6 ? 1

三、解答题 22、解法一:由题意,直线 AB 不能是水平线, 故可设直线方程为: ky ? x ? 2 p .

又设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则其坐标满足 ? 消去 x 得

?ky ? x ? 2 p,
2 ? y ? 2 px.

y2 ? 2 p k y 4 p2 ? 0 ?
? x ? x B ? 4 p ? k ( y A ? y B ) ? ( 4 ? 2k 2 ) p, ? y A ? y B ? 2 pk, ? A ? ? ( y y )2 y A y B ? ?4 p 2 . ? x A x B ? A B 2 ? 4 p 2 ? (2 p) ?

由此得

因此 OA ? OB ? x A xB ? y A y B ? 0,即OA ? OB . 故 O 必在圆 H 的圆周上. 又由题意圆心 H( xH , y H )是 AB 的中点,故

x A ? xB ? ? ( 2 ? k 2 ) p, ?xH ? ? 2 ? ? y ? y A ? y B ? kp. ? B 2 ?
由前已证,OH 应是圆 H 的半径,且 | OH |?
2 2 x H ? y H ? k 4 ? 5k 2 ? 4 p .

从而当 k=0 时,圆 H 的半径最小,亦使圆 H 的面积最小. 此时,直线 AB 的方程为:x=2p. 解法二:由题意,直线 AB 不能是水平线,故可设直线方程为:ky=x-2p 又设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则其坐标满足 ?

?ky ? x ? 2 p,
2 ? y ? 2 px.

分别消去 x,y 得 ?

? y 2 ? 2 pky ? 4 p 2 ? 0, ? ? x 2 ? 2 p(k 2 ? 2) x ? 4 p 2 ? 0. ?
2 2 2

故得 A、B 所在圆的方程 x ? y ? 2 p(k ? 2) x ? 2 pky ? 0. 明显地,O(0,0)满足上面方程所表示的圆上,
-8-

又知 A、B 中点 H 的坐标为 ( 故 | OH |?

x A ? xB y A ? y B , ) ? ((2 ? k 2 ) p, kp), 2 2

(2 ? k 2 ) 2 p 2 ? k 2 p 2

而前面圆的方程可表示为 [ x ? (2 ? k 2 ) p]2 ? ( y ? pk) 2 ? (2 ? k 2 ) 2 p 2 ? k 2 p 2 故|OH|为上面圆的半径 R,从而以 AB 为直径的圆必过点 O(0,0). 又 R 2 ?| OH | 2 ? (k 4 ? 5k 2 ? 4) p 2 , 故当 k=0 时,R2 最小,从而圆的面积最小,此时直线 AB 的方程为:x=2p. 解法三:同解法一得 O 必在圆 H 的圆周上 又直径|AB|=

( x A ? xB ) 2 ? ( y A ? y B ) 2

2 2 2 2 2 2 ? xA ? xB ? y A ? yB ? xA ? xB ? 2 pxA ? 2 pxB ? 2 xA xB ? 4 p ? x A xB ? 4 p.

上式当 x A ? x B 时,等号成立,直径|AB|最小,从而圆面积最小.此时直线 AB 的方程为 x=2p.
2 2 23、解: (Ⅰ)设双曲线 C2 的方程为 x ? y ? 1 ,则 a 2 ? 4 ? 1 ? 3, 再由a 2 ? b 2 ? c 2得b 2 ? 1. a2 b2

故 C2 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3 2代入 x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8 2kx ? 4 ? 0. 4

(II)将 y ? kx ?

由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得 ?1 ? (8 2 ) 2 k 2 ? 16(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 1) ? 0, 即

1 k2 ? . 4



将y ? kx ? 2代入

x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 . 3

由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A,B 得

?1 ? 3k 2 ? 0, 1 ? 即k 2 ? 且k 2 ? 1. ? 2 2 2 3 ?? 2 ? (?6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0. ?

设A( x A , y A ), B( x B , y B ),则x A ? x B ?

6 2k ?9 , x A ? xB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

由OA ? OB ? 6得x A x B ? y A y B ? 6, 而 x A x B ? y A y B ? x A x B ? (kx A ? 2 )(kxB ? 2 )
? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2 ? (k 2 ? 1) ? ?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2k ? ?2? 2 . 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 3k ? 1


于是

3k 2 ? 7 15k 2 ? 13 13 1 ? 6,即 ? 0. 解此不等式得 k 2 ? 或k 2 ? . 2 2 15 3 3k ? 1 3k ? 1
-9-

由①、②、③得

1 1 13 ? k 2 ? 或 ? k 2 ? 1. 4 3 15

故 k 的取值范围为 (?1,?

13 3 1 1 3 13 ) ? (? ,? ) ? ( , ) ? ( ,1) 15 3 2 2 3 15

24、证: (I)由题设及椭圆的几何性质有 2d n ? ?P Fn ? ? ?PGn ? ? 2 ,故 dn ? 4 。设 Gn ? 1 ? b 2 ,则右 n n

? 1 ?1 ? 1 1 1 1 1 ? 准线方程为 ln 2 x ? .因此, 由题意 dn 应满足 ? 1 ? dn ? ? 1. 即 ? G n , 解之得: ? Gn ? 1 。 2 Gn Gn Gn ?0 ? G ? 1 n ?


1 3 2 ? 1 ? bn ? 1. 从而对任意 n ? 1.bn ? 2 2
P
的 坐 标 为

( II ) 高 点

? xn , yn ?

, 则 由

dn ? 1 及 椭 圆 方 程 易 知

xn ?

1 1 1 2 2 2 2 2 2 ? 1, yn ? bn (1 ? xn ) ? (1 ? Gn )(1 ? ( ? 1)2 ) ? 2 (?2Gn ? Gn ? 2Gn ? 1). 因 ?FnGn ? ? 2Gn ,故 Gn Gn Gn ?1 ? n 2 ? Gn ? ? G3 1 ?2 ? ? ?Gn 。 令1 ?

2 3 ? Pn FnGn 的 面 积 为 Sn ? Gn ? y4 ? , 从 而 Sn ? ?2 G? n

f (c) ? ?2c3 ? c2 ? 2c ?1 。 由 f ' (c) ? ?6c2 ? 2c ? 2 ? 0. 得 两 根
? 1 1 ? 13 ? ? 1 ? 13 ? 内是减函数。 ? , ? 内是增函数。而在 ? ?2 ? ? 6 ,1? ? 6 ? ? ? ?
现在由题设取 bn ?

1? 1 3 . 从 而 易 知 函 数 f (c ) 在 6

n ?1 1 2n ? 3 2 ? 1? , Cn 是增数列。又易知 , 则 Cn ? 1 ? bn ? n?2 n?2 n?2

C2 ?

3 1 ? 13 4 ? ? ? C3 。故由前已证,知 S1 ? S2 ,且 Sn ? Sn?1 4 6 5

(n ? 3)

25、解: (Ⅰ)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. a2 b2

因焦点为 F (3,0) ,故半焦距 c ? 3 .又右 准线 l 的方程为 x ?

a2 ,从而由已知 c

a2 ? 12, a 2 ? 36 , c
因此 a ? 6, b ?

a 2 ? c 2 ? 27 ? 3 3 .
- 10 -

故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 36 27

(Ⅱ)记椭圆的右顶点为 A,并设 ?AFP ? ? i (i ? 1,2,3) ,不失一般性,假设 i

2? 2? 4? ,且 ? 2 ? ? 1 ? . ,? 3 ? ?1 ? 3 3 3 c 1 又设 Pi 在 l 上的射影为 Qi ,因椭圆的离心率 e ? ? , a 2 0 ? ?1 ?
从而有 | FP |?| Pi Qi | ?e ? ( i

a2 1 ? c ? | FPi | cos? i )e ? (9? | FPi | cos? i ) (i ? 1,2,3) . c 2
因此

解得

1 2 1 ? (1 ? cos? i ) (i ? 1,2,3) . | FPi | 9 2

1 1 1 2 1 2? 4? ? ? ? [3 ? (cos?1 ? cos(?1 ? ) ? cos(?1 ? ))], | FP | | FP2 | | FP | 9 2 3 3 1 3

cos?1 ? cos(?1 ? 2? 4? 1 3 1 3 ) ? cos(?1 ? ) ? cos?1 ? cos?1 ? cos?1 ? cos?1 ? cos?1 ? 0 , 3 3 2 2 2 2



1 1 1 2 ? ? ? 为定值. | FP | | FP2 | | FP | 3 1 3

26、解:(Ⅰ)由椭圆的定义,点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,长轴长 2a=6 的椭圆. 因此半焦距 c=2,长半轴 a=3,从而短半轴

b= a ? c ? 5 ,
2 2

所以椭圆的方程为 (Ⅱ)由 PM ?PN ?

x2 y 2 ? ? 1. 9 5

2 ,得 1 ? cos MPN


PM ?PN cos MPN ? PM ?PN ? 2.

因 为 c o sMP N ? 1,P不 为 椭 圆 长 轴 顶 点 , 故 P 、 M 、 N 构 成 三 角 形 . 在 △ PMN 中 ,

MN ? 4,由余弦定理有
MN ? PM ? PN ? 2 PM ?PN cos MPN .
2 2 2



将①代入②,得

42 ? PM ? PN ? 2( PM ?PN ? 2).
2 2

故点 P 在以 M、N 为焦点,实轴长为 2 3 的双曲线
- 11 -

x2 ? y 2 ? 1 上. 3

由(Ⅰ)知,点 P 的坐标又满足

x2 y 2 ? ? 1 ,所以 9 5

由方程组 ?

?5 x ? 9 y ? 45, ? 2 2 ? x ? 3 y ? 3. ?
2 2

? 3 3 , ?x ? ? ? 2 解得 ? ?y ? ? 5 . ? ? 2

即 P 点坐标为

(

3 3 5 3 3 5 3 3 5 3 3 5 , )、( ,- )、(, )或(? ,- ). 2 2 2 2 2 2 2 2

27、解: (Ⅰ)由题设条件知焦点在 y 轴上,故设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a >b> 0 ). a 2 b2

设c ?

a2 ? b2 ,由准线方程 y ?

3 4 3 a2 4 3 3 c 得 ,由 e ? 得 ? , ? c 3 a 2 3 2
2

解得 a ? 2, c ? 3 ,从而 b = 1,椭圆的方程为 x ?

y2 ?1 4

y2 ? 1的焦点,所以, MC ? MD ? 2a ? 4 又易知 C,D 两点是椭圆 x ? 4
2

从而 MC ? MD ? (

MC ? MD 2 ) ? 22 ? 4 ,当且仅当 MC ? MD ,即点 M 的坐标为 (?1, 0) 2
.

时上

式取等号, MC ? MD 的最大值为 4

(II)如图(20)图,设 M( xm , ym ), B( xB , yB )

???? ???? ???? ? Q( xQ , yQ ) .因为 N ( xN ,0), OM ? ON ? OQ ,故
xQ ? 2xN , yQ ? yM ,
2 2 xQ ? yQ ? (2xM )2 ? y y ? 4



因为 QA ? BA ? 0,

??? ??? ? ?

(1 ? xQ ? yQ ) ? (1 ? xN ? yn ) ? (1 ? xQ )(1 ? xN ) ? yQ y N ? 0,

所以 xQ xN ? yQ yN ? xN ? xQ ?1 .



记 P 点的坐标为 ( xP , yP ) ,因为 P 是 BQ 的中点 所以

2xP ? xQ ? xP , 2 yP ? yQ ? yP
- 12 -

由因为

2 2 xN ? yN ? 1 ,结合①,②得

1 (( xQ ? xN ) 2 ? ( yQ ? yN ) 2 ) 4 1 2 2 2 2 ? ( xQ ? xN ? yQ ? yn ? 2( xQ xN ? yQ y N )) 4 1 3 ? (5 ? 2( xQ ? xN ? 1)) ? ? xP 4 4 1 故动点 P 的轨迹方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? 1 2
2 2 xP ? y P ?

28、解: (Ⅰ)设 C 的标准方程为 因此 a ? 2, b ?

x2 y2 c 5 , ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则由题意 c ? 5 , e ? ? 2 a 2 a b

c 2 ? a 2 ? 1,
x2 ? y2 ? 1. 4
1 2

C 的标准方程为

C 的渐近线方程为 y ? ? x ,即
x ? 2y ? 0和 x ? 2y ? 0.
(Ⅱ)解法一:如答(20)图,由题意点

E ( x E , y E ) 在直线 l1 : x1 x ? 4 y1 y ? 4 和 l 2 : x2 x ? 4 y2 y ? 4 上,因此有 x1 x E ? 4 y1 y E ? 4 , x2 xE ? 4 y2 y E ? 4 ,
故点 M、N 均在直线 x E x ? 4 y E y ? 4 上,因此直线 MN 的方程为 x E x ? 4 y E y ? 4 . 设 G、H 分别是直线 MN 与渐近线 x ? 2 y ? 0 及 x ? 2 y ? 0 的交点,

由方程组 ?

? x E x ? 4 y E y ? 4, ? x E x ? 4 y E y ? 4, 及? x ? 2y ? 0 ? ? x ? 2 y ? 0,
2 2 , yH ? ? . xE ? 2 y E xE ? 2 y E 4 (易知 x E ? 0) . 注意 xE

解得 yG ?

设 MN 与

x 轴的交点为 Q,则在直线 x E x ? 4 y E y ? 4 中,令 y ? 0 得 xQ ?
2

到 xE ? 4 y E ? 4 ,得
2

2 | xE | 1 4 1 1 4 S ?OGH ? ? | OQ | ? | yG ? y H |? ?| ? |? ? ? 2. 2 | xE | xE ? 2 y E xE ? 2 y E | xE | | xE 2 ? 4 y E 2 |

- 13 -

解法二:设 E ( x E , y E ) ,由方程组

? x1 x ? 4 y1 y ? 4, 4( y 2 ? y1 ) x1 ? x2 解得 x E ? , , yE ? ? x1 y 2 ? x2 y1 x1 y 2 ? x2 y1 ? x2 x ? 4 y 2 y ? 4,
因 x 2 ? x1 ,则直线 MN 的斜率 k ?

y 2 ? y1 x ?? E . x2 ? x1 4 yE

故直线 MN 的方程为 y ? y1 ? ?

xE ( x ? x1 ) , 4 yE

注意到 x1 x E ? 4 y1 y E ? 4 ,因此直线 MN 的方程为 x E x ? 4 y E y ? 4 . 下同解法一. 29、解: (I)由 e ? 解得 a ? 2, c ?

c 2 a2 ? , ? 2 2, a 2 c

2, b2 ? a2 ? c2 ? 2 ,故椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 2
(II)设 P( x, y), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则由

??? ???? ? ? ???? OP ? OM ? 2ON 得
( x, y) ? ( x1 , y1 ) ? 2( x2 , y2 ) ? ( x1 ? 2 x2 , y1 ? 2 y2 ), 即x ? x1 ? 2 x2 , y ? y1 ? 2 y2 .
因为点 M,N 在椭圆 x2 ? 2 y 2 ? 4 上,所以
2 2 x12 ? 2 y12 ? 4, x2 ? 2 y2 ? 4 ,

故 x ? 2 y ? ( x1 ? 4x2 ? 4x1 x2 ) ? 2( y1 ? 4 y2 ? 4 y1 y2 )
2 2 2 2 2 2

? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4 x2 ? 2 2 ) 4 1 x2 ? (2 y 2 ? x( ? 2 0 ? 4x1 x2 ? 2 1 y2 ) . ( y
设 kOM , kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题设条件知

y1 y2 ) 2

kOM ? kON ?
2

y1 y2 1 ? ? , 因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0, x1 x2 2
2

所以 x ? 2 y ? 20.

- 14 -

所以 P 点是椭圆

x2 (2 5)2

?

y2 ( 10)2

? 1上的点,设该椭圆的左、右焦点为 F1 ,F2 ,则由椭圆的定义

|PF1 |+|PF2 |为定值,又因 c ?

(2 5) 2 ? ( 10) 2 ? 10 ,因此两焦点的坐标为

F1 (? 10,0), F2 ( 10,0).

- 15 -


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