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高二数学第一次月考试卷及答案


浚县一中高二第一次月考数学试题卷
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一 选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.等差数列 {an } 中, a1 ? a5 ? 10, a4 ? 7 ,则数列 {an } 的公差为 A.1 B.2 C.3 D.4

2.在 ? ABC 中, b ? 8 , c ? 8 3 , S? ABC ? 16 3 ,则 ? A 等于 A、 30? B、 60? C、 30? 或 150? D、 60? 或 120?

3.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时,n 等 于 A.6 B.7 C.8 D.9 4. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B ,则

sin A cos A ? cos 2 B ? 1 1 (A)(B) 2 2

(C) -1

(D) 1

a b c ? ? 5.在 ? ABC 中, cos A cos B cos C ,则 ? ABC 一定是
A、直角三角形 B、钝角三角形 C、等边三角形 6.如图,在△ ABC 中, D 是边 AC 上的点,且 D、等腰三角形

AB ? AD, 2 AB ? 3BD, BC ? 2BD ,则 sin C 的值为
A.

3 3

B.

3 6

C.

6 3

D.

6 6
1 a ?a a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 ? 2 a7 ? a8
D. 3 ? 2 2

7.已知等比数列{ an }中,各项都是正数,且 a1 , A. 1 ? 2 B. 1 ? 2

C. 3 ? 2 2

8. △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c=2a ,则
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cosB= A.

1 4

B.

3 4

C. 2 4

D.

2 3

9.已知 {an } 为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2 ? a3 ? 2a1 , 且 a4 与 2 a7 的等差中项 为

5 ,则 S5 = 4
A.35 B.33 C.31 D.29

10.设 ?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X , Y , Z ,则 下列等式中恒成立的是 A、 X ? Z ? 2Y
2 C、 Y ? XZ

B、 Y ?Y ? X ? ? Z ? Z ? X ? D、 Y ?Y ? X ? ? X ? Z ? X ?

11. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若a 2 ? b 2 ? 3bc ,sin C ? 2 3 sin B , A= A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500

12.在有穷数列{an}中,Sn 是{an}的前 n 项和,若把

S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n 称为数列{an} n

的“优化和” ,现有一个共 2009 项的数列{an}:a1,a2,a3,?,a2009,若其“优化和”为 2010,则有 2010 项的数列 1,a1,a2,a3,?,a2009 的“优化和”为 A.2008 B.2009 C.2010 D.2011

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.设公比为 q(q>0)的等比数列{a n}的前 n 项和为{S n}.若
S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 ,则 q=___ ___________.

14. 如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 , 点 D 在 BC 边上,∠ADC=45°,则 AD 的长度等于______。 15.在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列, 那么,位于下表中的第 n 行第 n+1 列的数是 。
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第1列 第1行 第2行 第3行 1 2 3 ?

第2列 2 4 6 ?

第3列 3 6 9 ?

? ? ? ?

16. 已知 f ?1,1? ? 1 , f ? m, n ? ? N * m, n ? N * ,且对任意 m, n ? N * 都有: ① f ? m, n ? 1? ? f ? m, n ? ? 2 ② f ? m ? 1,1? ? 2 f ? m,1? (2) f ? 5,1? ? 16 ; (3) f ? 5, 6 ? ? 26

?

?

给出以下三个结论: (1) f ?1,5 ? ? 9 ; 其中正确结论为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤。 17. (本题满分 10 分) 在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知

cos A-2 cos C 2c-a = . cos B b

sin C 的值; sin A 1 (Ⅱ)若 cosB= , ? ABC的周长为5,求b的长. 4
(Ⅰ)求

18.(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ) ?bn ? an ? 是首项为 1, 设 公比为 3 的等比数列, 求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项 和 Tn .

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19. (本题满分 12 分) 一缉私艇 A 发现在北偏东 45 ? 方向,距离 12 nmile 的海面上有一走私船 C 正以 10 nmile/h 的速度沿东偏南 15 ? 方向逃窜.缉私艇的速度为 14 nmile/h, 若要在最短的时间 内追上该走私船,缉私艇应沿北偏东 45 ? ? ? 的方向去追,求追及所需的时间和 ? 角的正 弦值.

20.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ)求等差数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a 2 , a 3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项和. 21、 (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

a 4an ? 2 2 ,且对任意 n ? N? ,都有 n ? . 5 an ?1 an ?1 ? 2

(1)求证:数列 ?

?1? ? 为等差数列,并求 ?an ? 的通项公式; ? an ?

(2)令 bn ? a n ? a n ?1 , Tn

? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ,求证: Tn ?

4 15 .

22. (本题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,数列 {bn}中,b1=1, 点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上.

求: (1)数列{an},{bn}的通项 an 和 bn; (2)设 cn=an·bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

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浚县一中高二第一次月考数学参考答案
一、BCADC 二、填空题 13.3/2 14. 三、解答题 17. (10 分) 【解析】(1)由正弦定理得 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C, 所以 DCBCD AC

2

15. n ? n
2

16.(1) (3) (2)

cos A-2 cos C 2c-a 2sin C ? sin A = = ,即 cos B b sin B

sin B cos A ? 2sin B cos C ? 2sin C cos B ? sin A cos B ,即有 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ) ,
sin C =2. sin A sin C c (2)由(1)知 =2,所以有 ? 2 ,即 c=2a,又因为 ?ABC 的周长为 5,所以 b=5-3a,由余弦定 sin A a
即 sin C ? 2sin A ,所以 理得:

1 b2 ? c2 ? a2 ? 2ac cos B ,即 (5 ? 3a) 2 ? (2a) 2 ? a 2 ? 4a 2 ? ,解得 a=1,所以 b=2. 4
18

19. 本题满分 12 分 解: 设 A,C 分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 x 小时后在 B 处追上, 则有

AB ? 14 x, BC ? 10 x, ?ACB ? 120 ?. ? (14 x) 2 ? 12 2 ? (10 x) 2 ? 240 x cos120 ?
? x ? 2, AB ? 28, BC ? 20, sin ? ? 20 sin 120 ? 5 3 ? . 28 14

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所以所需时间 2 小时, sin ? ?

5 3 . 14

20.解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 a2 ? a1 ? d , a3 ? a1 ? 2d ,
?3a ? 3d ? ?3, ?a ? 2, ?a ? ?4, 由题意得 ? 1 解得 ? 1 或? 1 ?d ? ?3, ?d ? 3. ?a1 (a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 8. 所以由等差数列通项公式可得 an ? 2 ? 3(n ? 1) ? ?3n ? 5 ,或 an ? ?4 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 7 .

故 an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 . (Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a 2 , a 3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a 2 , a 3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, 故 | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3. 记数列 {| an |} 的前 n 项和为 Sn .

当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时, Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ??? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7)
(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2 n ? 1, ?4, ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 ? 2 n ? 2 n ? 10, n ? 1. ? ?5?

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22.(12 分) 解: (1)∵an 是 Sn 与 2 的等差中项 解得 a1=2 ∵Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,

∴Sn=2an-2

∴a1=S1=2a1-2,

∴an= Sn—Sn-1=2an-2an-1 (n ? 2, n ? N *) , ∴an=2n

∵an≠0, ∴ a n ? 2(n ? 2, n ? N *) ,即数列{an}是等比数列,
a n ?1

∵点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上, ∴bn+1-bn=2,即数列{bn}是等差数列,

∴bn-bn+1+2=0, 又 b1=1,∴bn=2n-1

(2) ? cn ? (2n ? 1)2n ?Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? 1? 2 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ? ? 2(2n ? 1)2n ,
?2Tn ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (2n ? 3)2n ? (2n ? 1)2n?1

因此 : ?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? 2 ? 2n ? (2n ? 1)2n?1 即: Tn ? (2n ? 3)2n?1 ? 6

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