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高中数学必修2模块测试热身卷


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2013-2014 学年度第一学期期末考试 高二数学热身卷(1-4 班)

说明:本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟,学生答题时不可使用计算器. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知直线 ax ? by ? c ? 0(a

bc ? 0)与圆x 2 ? y 2 ? 1 相切, 则三条边长分别为|a|, |b|, |c| 的三角形 ( ) A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在 2. a=3 是直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+(a-1)y=a-7 平行且不重合的 ( ) ? A.充分非必要条件? B.必要非充分条件? ? C.充要条件? D.既非充分也非必要条件? 2 2 3.点 M(x0,y0)是圆 x +y =a2 (a>0)内不为圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a2 与该圆的位置关系 是 ( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交 4. x2+2x+y2+4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2 的点共有 圆 ( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面 ( ) A.必定都不是直角三角形 B.至多有一个直角三角形 C.至多有两个直角三角形 D.可能都是直角三角形 6.长方体的三个相邻面的面积分别为 2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则 这个球面的表面积为 ( ) A.

7? 2

B.56π

C.14π

D.64π

7. 8-23 中多面体是过正四棱柱的底面正方形 ABCD 的顶点 A 作截面 AB1C1D1 图 而截得的, B1B=D1D。 且 已知截面 AB1C1D1 与底面 ABCD 成 30°的二面角, AB=1, 则这个多面体的体积为 ( ) A.

6 2

B.

6 3

C.

6 4

D.

6 6
( ) F D

P

E F 8.如右图,空间四边形 PABC 的各边及对角线长度都相等, D、 、 分别 BC CA 是 AB、 、 的中点,下列四个结论中不成立的是 ...
A.BC//平面 PDF C.平面 PDE ? 平面 ABC B. DF ? 平面 PAE D.平面 PAE ? 平面 ABC A C E B

9.如图 8-24,在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都 接触上,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )

1

10. ?ABC 的 BC 边上的高线为 AD , BD ? a , CD ? b ,且 a ? b ,将 ?ABC 沿 AD 折 成大小为 ? 的二面角 B ? AD ? C ,若 cos ? ? A.锐角三角形 C.直角三角形 题 号 1 2 3 4 5 6

a ,则此时 ?ABC 是( b
B.钝角三角形



D.形状与 a , b 的值有关的三角形 7 8 9 10 11 12

答 案 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在题中横线上. 11.已知原点 O(0,0) ,则点 O 到直线 x+y+2=0 的距离等于 12.经过两圆 x ? y ? 9 和 ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 8 的交点的直线方程
2 2 2 2



13.已知定点 A(0,1),点 B 在直线 x+y=0 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的坐标是 ___________________.? 2 2 14.圆 x +y -2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为______. 15.集合 A={(x,y)|x +y =4} ,B={(x,y)|(x-3) +(y-4) =r } ,其中 r>0,若 A∩B 中有且 仅有一个元素,则 r 的值是______________.? 16.α、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线,给出四个论断:①m ⊥n,②α⊥β,③n⊥β,④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个作为结论,写出你认 为正确的一个命题:_______________ 17.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, AE ? 1 使 EF ? FC1 最小,则最小值为
2 2 2 2 2

??? ?

??? ?

???? ?

1 ???? AB1 ,在面 ABCD 中取一点 F , 2



三.解答题(第 18,19,20 小题各 14 分,第 21,22 小题各 15 分) 18. 求经过直线 L1:3x + 4y – 5 = 0 与直线 L2:2x – 3y + 8 = 0 的交点 M,且满足下列条件 的直线方程 (1)与直线 2x + y + 5 = 0 平行 ; (2)与直线 2x + y + 5 = 0 垂直;

2

19. 如图 7-4,已知△ABC 中, ∠ACB=90°,CD⊥AB,且 AD=1,BD=2,△ACD 绕 CD 旋转至 A′CD,使点 A′与点 B 之间的距离 A′B= 3 。 (1)求证:BA′⊥平面 A′CD; (2)求二面角 A′-CD-B 的大小; (3)求异面直线 A′C 与 BD 所成的角的余弦值。

20. 已知曲线 C:x2+y2-2x-4y+m=0. (1)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆; (2)若曲线 C 与直线 x+2y-4=0 交于 M、N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐标原点),求 m 的值。

3

21.设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1,在满 足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最小的圆的方程。 解:

22.已知如图(1),正三角形 ABC 的边长为 2a,CD 是 AB 边上的高,E、F 分别是 AC 和 BC 边上的点,且满足 CE ? CF ? k ,现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B,如图(2) .
CA CB

(Ⅰ) 试判断翻折后直线 AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由; (Ⅱ) 求二面角 B-AC-D 的大小; (Ⅲ) 若异面直线 AB 与 DE 所成角的余弦值为 2 ,求 k 的值. 4
A E D F B
B

A

A C B
DD

E E F F C C

图(1)

图(2)

4

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2013-2014 学年度第一学期期末考试 高二数学热身卷(1-4 班)

一、 选择题 1. 【分析】本题考查三角形分类、直线和圆的位置关系及其有关的运算.? 解法一:由于直线与圆相切则有:圆心到直线的距离等于半径即
2 2

k a 2 ? b2

=1 ? |a| +
2

|b| =|c| ,∴为 Rt△,选 B..? 解法二:圆心坐标为(0,0),半径为 1,因为直线和圆相切,利用点到直线距离公式得: d=

|c| a 2 ? b2

=1,即 a +b =c ,所以,以|a|、|b|、|c|为边的三角形是直角三角形.

2

2

2

∴选 B. 2. 【 分 析 】 本 题 考 查 的 是 两 直 线 平 行 且 不 重 合 的 充 要 条 件 . 若 l1:A1x+B1y+C1=0 , l2:A2x+B2y+C2=0,(i)为平行直线则:

A1 B1 C A B = ≠ 1 ,(ii)为相交,则 1 ≠ 1 (iii)为 A2 B 2 C2 A2 B2

垂直,A1B2+A2B1=0.a=3 时,

a 2 3a = ≠.∴a=3 是已知二直线不重合而平行的充 3 a?2 ? ( a ? 7)
10.C

要条件.∴选 C. 3.C 4.C 5.D 6.C 7.D 8.C 9.B 二、 填空题: 11. 2 12.4 x+3y+13=0

13.【分析】本题考查两点间的距离公式、求最值和点到直线的距离等,以及基本的运算 技能,本题大致有两种做法:? 2 2 2 解法一:代数法,根据两点间的距离公式建立一个函数关系,即|AB| =(x-0) +(y-1) , 又 y=x,则|AB|2=x2+(x+1)2=2x2+2x+1,转化为二次函数求最值,可见当 x=-

1 1 1 1 2 2 时,|AB| 最小为 ,∴|AB|?≥ ,∴B(- , );? 2 2 2 2 2

解法二:几何法,直线上的点 B 与 A 点的连线中当 AB 与 x+ y=0 垂直时, 最短, AB ∴AB:y=x+1, 点为 ? ∴B

?y ? x ?1 1 1 的交点为(- , ). 2 2 ?y ? x ? 0

14.【分析】本题考查圆的性质与直线的位置关系、函数以及基本的运算技能.本题有两种做 法①做与直线 3x+4y+8=0 平行的直线且与圆相切,将来会得到两条,有两个切点,这两切点 到 3x+4y+8=0 的距离就得到圆上的点到直线的最大值和最小值.②以圆心做标准,到直线的 距离减去或加上半径就是圆上的点到直线的最小值和最大值.圆心到直线的距离 d=

5

|3? 4?8| =3,∴动点 Q 到直线距离的最小值 d-r=3-1=2.? 5
15.【分析】本题主要考查两圆的位置关系和基本的运算技能,已知⊙O1(x-a) +(y-b) = r12 , ⊙O2(x-c) +(y-d) = r22 ,其中 r1>0,r2>0,①当|O1O2|=|r1-r2|时,⊙O1 与⊙O2 相内切, ②当|O1O2|=|r1+r2|时,⊙O1 与⊙O2 相外切,③当 0≤|O1O2|<|r1-r2|时两圆内含, ④当|r1-r2|<|O1O2|<|r1+r2|时,两圆相 交,⑤当|O1O2|>r1+r2 时两圆相离.? 本题中 A∩B 只有一个元素,∴两圆相内切或 外切,∴|O1O2|=|r1±r2|.当两圆外切时,
2 2 2 2

32 ? 42 =2+r,r=3,两圆内切时, 32 ? 42 =r-2,r=7,所以 r 的值是 3 或 7.?
16. 答:①③④?②或②③④?① 17.

14 2

三、解答题:本题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (9+5分) 求经过直线 L1:3x + 4y – 5 = 0 与直线 L2:2x – 3y + 8 = 0 的交点 M,且 满足下列条件的直线方程 (1)与直线 2x + y + 5 = 0 平行 ; (2)与直线 2x + y + 5 = 0 垂直; 解: ?

?3x ? 4 y ? 5 ? x ? ?1 解得 ? --------2 分 ?2 x ? 3 y ? ?8 ?y ? 2

所以交点(-1,2) (1) k ? ?2 -----3 分 直线方程为 2 x ? y ? 0 --------7 分 (2) k ?

1 ---------9 分 2

直线方程为 x ? 2 y ? 5 ? 0 --------12 分 19. (4+5+5分) 如图 7-4, 已知△ABC 中, ∠ACB=90°, CD⊥AB, AD=1, 且 BD=2, △ACD 绕 CD 旋转至 A′CD,使点 A′与点 B 之间的距离 A′B= 3 。 (1)求证:BA′⊥平面 A′CD; (2)求二面角 A′-CD-B 的大小; (3)求异面直线 A′C 与 BD 所成的角的余弦值。

6

解 (1)∵CD⊥AB, ∴CD⊥A′D,CD⊥DB, ∴CD⊥平面 A′BD, ∴CD⊥BA′。 又在△A′DB 中,A′D=1,DB=2,A′B= 3 , ∴∠BA′D=90°,即 BA′⊥A′D, ∴BA′⊥平面 A′CD。 (2)∵CD⊥DB,CD⊥A′D, ∴∠BDA′是二面角 A′—CD—B 的平面角。 又 Rt△A′BD 中,A′D=1,BD=2, ∴∠A′DB=60°, 即 二面角 A′—CD—B 为 60°。 (3)过 A′作 A′E∥BD,在平面 A′BD 中作 DE⊥A′E 于 E,连 CE,则∠CA′E 为 A′C 与 BD 所成角。 ∵CD⊥平面 A′BD,DE⊥A′E,∴A′E⊥CE。 ∵EA′∥AB,∠A′DB=60°,∴∠DA′E=60°, 又 A′D=1,∠DEA′=90°, ∴A′E=

1 2

又∵在 Rt△ACB 中,AC= ∴A′C=AC= 3

AD? AB = 3

1 A' E 2 3 ∴Rt△CEA′中,cos∠CA′E= = = , A' C 3 6
即异面直线 A′C 与 BD 所成角的余弦值为

3 。 6

20.(6+8分)已知曲线 C:x2+y2-2x-4y+m=0 (1)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆; (2)若曲线 C 与直线 x+2y-4=0 交于 M、N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐标原点),求 m 的值。 .解 (1)由 D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0,得 m<5。 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),由 OM⊥ON 得 x1x2+ y1y2=0。 将直线方程 x+2y-4=0 与曲线 C:x2+y2-2x-4y+m=0 联立并消去 y 得

8 4m ? 16 1 ①,x1x2= ②,又由 x+2y-4=0 得 y= 2 5 5 1 1 5 8 (4-x), ∴x1x2+y1y2=x1x2+ (4-x1)? (4-x2)= x1x2-( x1+x2)+4=0。将①、②代入得 m= . 2 2 4 5
5x2-8x+4m-16=0,由韦达定理得 x1+x2= 22. (15分)设圆满足: ①截 y 轴所得弦长为 2; ②被 x 轴分成两段圆弧, 其弧长的比为 3∶ 1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最小的圆的方程。

7

解法一 设圆的圆心为 P(a,b),半径为 r,则点 P 到 x 轴,y 轴的距离分别为|b|,|a|。 由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧所对的圆心角为 90°,∴圆 P 截 x 轴所得的弦长为 2 r,故 r2=2b2。又圆 P 截 y 轴所得的的弦长为 2,所以有 r2=a2+1。从而得 2b2-a2=1。又点 P(a,b) 到 直 线 x-2y=0 的 距 离 为 d=

| a ? 2b | 5

, 所 以 5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab ≥ a2+4b2

-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当 a=b 时,上式等号成立,从而要使 d 取得最小值,则应有

?a ? b ?a ? 1 ?a ? ?1 ,解此方程组得 ? 或? 。又由 r2=2b2 知 r= 2 。于是,所求圆的 ? 2 2 ?b ? 1 ?b ? ?1 ?2b ? a ? 1
方程是(x-1)2+(y-1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2。 解法二 同解法一得 d=

| a ? 2b | 5
2

,∴a-2b=± 5 d,得 a2=4b2± 4 5 bd+5d2



将 a2=2b2-1 代入①式,整理得 2b ±4 5 bd+5d2+1=0 ②

把它看作 b 的二次方程,由于方

程有实根,故判别式非负,即△=8(5d2-1)≥0,得 5d2≥1。所以 5d2 有最小值 1,从而 d 有最 小值

5 2 。 将其代入②式得 2b ±4b+2=0, 解得 b=±1。 b=±1 代入 r2=2b2 得 r2=2, r2=a2+1 将 由 5

得 a=±1。综上 a=±1,b=±1,r2=2。由|a-2b|=1 知 a,b 同号。于是,所求圆的方程是 (x-1)2+(y-1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2 22.(3+6+6分)解:(Ⅰ) AB∥平面 DEF. 在△ABC 中, ∵ E、F 分别是 AC、BC 上的点,且满足 CE ? CF ? k ,
CA CB

∴ AB∥EF. ∵ AB ? 平面 DEF,EF ? 平面 DEF, ∴ AB∥平面 DEF. (Ⅱ) 过 D 点作 DG⊥AC 于 G,连结 BG, ∵ AD⊥CD, BD⊥CD, ∴ ∠ADB 是二面角 A-CD-B 的平面角. ∴ ∠ADB= 90 , 即 BD⊥AD. ∴ BD⊥平面 ADC. ∴ BD⊥AC. ∴ AC⊥平面 BGD. ∴ BG⊥AC . ∴ ∠BGD 是二面角 B-AC-D 的平面角.
?

A

G E

D B

C F

2 在 ADC 中,AD=a, DC= 3a , AC=2a,∴ DG ? AD?DC ? 3a ? 3a . AC 2a 2

8

在 Rt△BDG 中, tan ?BGD ? BD ? 2 3 . DG 3 ∴ ?BGD ? arctan 2 3 , 3 即二面角 B-AC-D 的大小为 arctan 2 3 . 3

(Ⅲ)∵ AB∥EF, ∴ ∠DEF(或其补角)是异面直线 AB 与 DE 所成的角. ∵ AB ? 2a ,∴ EF ? 2ak . 又 DC= 3a , CE ? kCA ? 2ak , ∴ DF ? DE ? DC2 ? CE2 ? 2DC? ? ?ACD CE cos

? 3a 2 ? 4a 2 k 2 ? 2 3a ?2ak ?cos 30?

? 3a2 ? 4a2k 2 ? 6a2k ? a 3 ? 4k 2 ? 6k
2 2 2 ∴ cos ?DEF ? DE ? EF ? DF ? EF ? 2 . 2 DE ?EF 2 DE 4

1 ∴ 2 2ak ? 2 ? 3 ? 4k 2 ? 6k , 解得 k= . a 2 注:可用向量法求解。

9


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