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2018届高三数学总复习:配套练习90练 第20练 导数中的易错题(含答案解析)


第 20 练 导数中的易错题
训练目标 训练题型 解题策略 数范围要注意验证 f′(x)=0 的情况. 一、选择题 1.如果 f′(x)是二次函数,且 f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1, 3),那么曲线 y =f(x)上任意一点的切线的倾斜角 α 的取值范围是( π A.(0, ] 3 π 2π C.( , ] 2 3 π π B.[ , ) 3 2 π D.[ ,π ) 3
3

(1)导数知识的细化、深化、巩固提高;(2)解题过程的细节训练. (1)导数和函数的极值;(2)利用导数求参数范围;(3)导数的综合应用. (1)注意 f′(x0)=0 是 x=x0 为极值点的必要不充分条件;(2)已知单调性求参

)

2.(2016·福建福州三中月考)已知点 A(1,2)在函数 f(x)=ax 的图象上,则过点 A 的曲线

C: y=f(x)的切线方程是(
A.6x-y-4=0 C.6x-y-4=0 或 x-4y+7=0 ) B.x-4y+7=0 D.6x-y-4=0 或 3x-2y+1=0

3.(2016·兰州诊断)在直角坐标系 xOy 中,设 P 是曲线 C:xy=1(x>0)上任意一点,l 是曲 线 C 在点 P 处的切线,且 l 交坐标轴于 A,B 两点,则以下结论正确的是( A.△OAB 的面积为定值 2 B.△OAB 的面积有最小值 3 C.△OAB 的面积有最大值 4 D.△OAB 的面积的取值范围是[3,4] 4.若函数 f(x)=2x -lnx 在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实 数 k 的取值范围是( A.[1,+∞) C.[1,2)
3 2

)

) 3 B.[1, ) 2 3 D.[ ,2) 2 )

5.若函数 y=x -3ax+a 在(1,2)内有极小值,则实数 a 的取值范围是( A.1<a<2 C.2<a<4 B.1<a<4 D.a>4 或 a<1

6.已知函数 f(x)=x +ax +x+2 (a>0)的极大值点和极小值点都在区间(-1,1)内,则实 数 a 的取值范围是( A.(0,2] C.[ 3,2) ) B.(0,2) D.( 3,2)

3

2

1 3 2 7.如果函数 f(x)= x -x 满足:对于任意的 x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)-f(x2)|≤a 恒成 3 立,则 a 的取值范围是( A.[- 6 6 , ] 3 3 )

2 3 2 3 B.[- , ] 3 3 C.(-∞,- 6 6 ]∪[ ,+∞) 3 3

2 3 2 3 D.(-∞,- ]∪[ ,+∞) 3 3 8.(2017·景德镇质检)已知 f(x)=ax+ 上恒成立,则 a 的取值范围是( A.(1,+∞) C.(2,+∞) 二、填空题 9 .若函数 f(x)= lnx +ax 存在与直线 2x-y= 0 平行的切线,则实数 a 的取值范围是 ________________. π π π π f?x2?-f?x1? 10.函数 f(x)=ax-cosx,x∈[ , ],若? x1,x2∈[ , ],x1≠x2, <0, 4 3 4 3 x2-x1 则实数 a 的取值范围是________. 11.若函数 f(x)=ax +x 恰有 3 个单调区间,则 a 的取值范围为________. 12.已知函数 f(x)= ________. e 2(a>0),若 f(x)为 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围是 1+ax
x
3

a-2 +2-2a(a>0),若 f(x)≥2ln x 在[1,+∞) x

) B.[1,+∞) D.[2,+∞)

答案精析

1.B

[ 根据已知可得 f′(x)≥ 3 ,即曲线 y = f(x) 上任意一点的切线的斜率 k = tan

π π α ≥ 3,结合正切函数的图象,可知 α ∈[ , ),故选 B.] 3 2 2.D [由于点 A(1,2)在函数 f(x)=ax 的图象上,则 a=2,即 y=2x ,所以 y′=6x .若 点 A 为切点,则切线斜率为 6,若点 A 不是切点,设切点坐标为(m,2m ),则切线的斜率为 k 2m -2 2 2 2 =6m .由两点的斜率公式,得 =6m (m≠1),即有 2m -m-1=0, m-1 1 1 3 解得 m=1(舍去)或 m=- .综上,切线的斜率为 k=6 或 k=6× = , 2 4 2 3 则过点 A 的曲线 C:y=f(x)的切线方程为 y-2=6(x-1)或 y-2= (x-1), 2 即 6x-y-4=0 或 3x-2y+1=0.故选 D.] 1 1 1 3.A [由题意,得 y= .设点 P(x0,y0)(x0>0),y0= ,y′=- 2,因此切线的斜率 k=-
3 3 3 3 2

x

x0

x

1

x

2 0

1 1 2 2 ,切线方程为 y-y0=- 2(x-x0).当 x=0 时,y=y0+ = ;当 y=0 时,x=x0y0+x0

x0

x0 x0

1 =2x0,因此 S△OAB= xy=2 为定值.故选 A.] 2 4.B [∵f(x)=2x -lnx(x>0), 1 4x -1 ∴f′(x)=4x- = (x>0),
2 2

x

x

1 由 f′(x)=0,得 x= , 2 1 当 x∈(0, )时,f′(x)<0; 2 1 当 x∈( ,+∞)时,f′(x)>0, 2 1 ? ?k-1< <k+1, 2 据题意,? ? ?k-1≥0, 3 解得 1≤k< .] 2 5.B [y′=3x -3a,当 a≤0 时,y′≥0, 函数 y=x -3ax+a 为单调函数,不合题意, 舍去; 当 a>0 时, y′=3x -3a=0? x=± a, 不难分析,当 1< a<2,即 1<a<4 时,函数 y=x -3ax+a 在(1,2)内有极小值.]
3 3 2 2

6.D [由题意可知 f′(x)=0 的两个不同解都在区间(-1,1)内.因为 f′(x)=3x +2ax +1,所以根据导函数图象可得

2

? ?-1<-62a<1, ?f′(-1)=3-2a+1>0, ? ?f′(1)=3+2a+1>0,
Δ =(2a) -4×3×1>0, 解得 3<a<2.]
2

2

又 a>0,

7.D [∵f′(x)=x -1,∴当 0<x<1 时,

f′(x)<0,当 1<x<2 时,f′(x)>0,
1 3 ∴f(x)= x -x 在 x=1 时取到极小值,也是 x∈[0,2]上的最小值, 3 2 ∴f(x)极小值=f(1)=- =f(x)最小值, 3 2 又∵f(0)=0,f(2)= , 3 2 ∴在 x∈[0,2]上,f(x)最大值=f(2)= ,∵对于任意的 x1,x2∈[0,2], 3 ∴都有|f(x1)-f(x2)|≤a 恒成立, 2 2 4 2 ∴只需 a ≥|f(x)最大值-f(x)最小值|= -(- )= 即可, 3 3 3 2 3 2 3 ∴a≥ 或 a≤- .故选 D.] 3 3 8.B [f(x)≥2ln x 在[1,+∞)上恒成立,即 f(x)-2ln x≥0 在[1,+∞)上恒成立.设
2

g(x) = f(x) - 2ln x = ax +
(x-1)(ax+a-2) . 2

a-2 a-2 2 + 2 - 2a - 2ln x , 则 g′(x) = a - 2 - = x x x

x

2-a 2-a 2-a 令 g′(x)=0,则 x=1 或 x= .由于 g(1)=0,a>0,因此 ≤1(否则 是 g(x)的极

a

a

a

2-a 小值点,即 g( )<g(1)=0),所以 a≥1.故选 B.]

a

1 1 9.(-∞,2- )∪(2- ,2) e e 1 解析 f′(x)= +a(x>0).∵函数 f(x)=lnx+ax 存在与直线 2x-y=0 平行的切线,

x

1 1 ∴方程 +a=2 在区间(0,+∞)上有解,即 a=2- 在区间(0,+∞)上有解,

x

x

∴ a<2. 若 直 线 2x - y = 0 与 曲 线 f(x) = lnx + ax 相 切 , 设 切 点 为 (x0,2x0) , 则

1 ? ? +a=2, ?x0 ? ?2x0=ln x0+ax0, 1 解得 x0=e,a=2- . e 1 1 综上,实数 a 的取值范围是(-∞,2- )∪(2- ,2). e e 10.(-∞,- 解析 由 3 ] 2

f(x2)-f(x1) π π <0 知,函数 f(x)在[ , ]上是减函数.又 f′(x)=a+sin x,所 x2-x1 4 3

π π π π π π 以 f′(x)≤0 在[ , ]上恒成立,即 a≤-sin x 在[ , ]上恒成立.当 ≤x≤ 时, 4 3 4 3 4 3 - 3 2 ≤-sin x≤- , 2 2 3 3 ,所以 a≤- . 2 2

故-sin x 的最小值为- 11.(-∞,0)

解析 由 f(x)=ax +x, 得 f′(x)=3ax +1.若 a≥0, 则 f′(x)>0 恒成立, 此时 f(x)在(- ∞,+∞)上为增函数,不满足题意;若 a<0,由 f′(x)>0 得- - 1 <x< 3a 1 - ,由 3a 1 - , 3a

3

2

f′(x)<0, 得 x<-

1 - 或 x> 3a

1 - , 即故当 a<0 时, f(x)的单调递增区间为(- 3a 1 - ), ( 3a 1 - ,+∞),满足题意. 3a

1 - ),单调递减区间为(-∞,- 3a 12.(0,1]

e (1+ax )-2axe e (1+ax -2ax) 解析 f′(x)= = ,由题意 f(x)为 R 上的单调函数,所 2 2 2 2 (1+ax ) (1+ax ) 以 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在 R 上恒成立.又 a>0,所以 f′(x)≥0 在 R 上恒成立,即 ax
2 2

x

2

x

x

2

-2ax+1≥0 在 R 上恒成立,所以 Δ =4a -4a=4a(a-1)≤0,解得 0<a≤1,所以实数 a 的取值范围是 0<a≤1.


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