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广西桂林中学2013届高三高考模拟考试数学文试题


桂林中学 2013 届高三 5 月模拟考

数学文科试卷
试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间:120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.集合 A ? {?1, 0,1} 的子集中,含有元素 0 的子集共有 A.2 个 B.4 个 C. 6 个 D.8 个

2.若点(a,b)在 y ? lg x 图像上, a ? ? ,则下列点也在此图像上的是

A. (

? ,b) a

B. (10a,1 ? b)

C. (

?? ,b+1) a

D.(a2,2b)

3.已知{ an }是首项为 1 的等比数列, Sn 是{ an }的前 n 项和,且 9S3 ? S6 ,则数列 ? 前 5 项和为 A.

?1? ?的 ?an ?

15 或5 8

B.

31 或5 16
2

C.

31 16

D.

15 8

4.已知 a , b 为实数,命题甲: ab ? b ,命题乙: A.充分不必要条件 C.充要条件

1 1 ? ? 0 ,则甲是乙的 b a

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?y ? x ? 5.已知 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 ,则 z=2x+y 的最大值与最小值的比值为 ?x ? 2 ?
A.2 B.

6.若α 是第四象限角, tan( A.

?

3 2

C.

3

? a) ? ? 1 5

5 ? ,则 cos( ? a) = 12 6
C.

4 3

D.

1 2

1 5

B.-

5 13

D.-

5 13

2 2 7.若直线 y ? x ? m 与圆 x ? y ? 4 x ? 2 ? 0 有两个不同的公共点,则实数 m 的取值范围

是 Ks5u A. 2 ? 2, 2 ? 2

?

?

B. ? ?4,0 ?

C. ?2 ? 2, ?2 ? 2

?

?

D.

? 0, 4 ?

8.在制作飞机某一零件中,要先后实施 6 个工序,其中工序 A 只能出现在第一或最后一 步,工序 B 和 C 在实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有 A. 34 种 B. 48 种 C. 96 种 D. 144 种
9.设函数 f(x)=Asin( ?x

? ? )(A>0, ? >0,-

? ? 2? < ? < )的图象关于直线 x= 对称,且周 2 2 3

期为 π ,则 f(x) A.图象过点(0,

1 ) 2

B.最大值为-A

C.图象关于(π ,0)对称

D.在[

5? 2? , ]上是减函数 12 3

10.已知正方形 AP1P2P3 的边长为 2,点 B、C 是边 P1P2、P2P3 的中点,沿 AB、BC、CA 拆成一 个三棱锥 P-ABC(使 P1、P2、P3 重合于点 P)则三棱锥 P-ABC 的外接球表面积为 A. 9? B. 8? C. 6? D. 4?

11 .已知 f '( x) 是定义在 R 上的函数 f ( x ) 的导函数,且 f ( x) ? f (5 ? x), (

5 ? x) f '( x) ? 0 2

若 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 5 ,则下列结论中正确的是 A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 D. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

x2 y 2 12.设 F1,F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若双曲线右支上存在 a b ??? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? 一点 P,使 (OP ? OF2 ) ? F2 P ? 0 ,O 为坐标原点,且 | PF | ? 3 | PF 1 2 | ,则该双曲线的离
心率为 A. 3 ? 1 B.

3 ?1 2

C. 6 ? 2

D.

6? 2 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13.若 ( x ? x ) 的展开式中只有第 6 项的系数最大,则展开式中的常数项是
3 ?2 n

.

14.函数 y=(tanx-1)cos x 的最大值是_

2

_.

?2 x?2 ? , 15.已知函数 f ( x) ? ? x ,若关于 x 的方程 f ( x) ? k 有两个不同的实根,则实数 3 ?( x ? 1) , x ? 2 ?
k 的取值范围是________. 16.在正四面体 S—ABC 中,E 为 SA 的中点,F 为?ABC 的中心,则异面直线 EF 与 AB 所成 的角的余弦值是_ _.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? ?20, a1 ? a9 ? ?28 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 an ? log2 bn ,设 Tn ? b1b2 ?bn ,且 Tn ? 1 ,求 n 的值.

18.(本小题满分 12 分) 在 ΔABC 中, 2sin
2

A AC ? 3 sin A , sin( B ? C ) ? 2cos B sin C ,求 的值. 2 AB

19. (本小题满分 12 分) NBA 总决赛采用 7 战 4 胜制,即两队中有一队先胜 4 场则获得比赛胜利.假设 2013 年 总决赛在甲、乙两个球队间进行,根据以往总决赛的战绩,甲、乙两队在每场比赛中获胜的 概率都是

1 ,记需要比赛的场数为 X. 2

(I)求 X 的最小值,并求 X 取最小值时的概率; (II)若前 2 场中甲已经获胜,求乙获得这次比赛胜利的概率.

20. (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AB=BC, ?ABC ? 90? ,Q 是 AC 上的点,AB1//平面 BC1Q (Ⅰ)确定点 Q 在 AC 上的位置 (Ⅱ)若 QC1 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 求二面角 Q-BC1—C 的余弦值 B1 C1

2 , 4

A1

B C Q A 21. (本小题满分 12 分) 设 直 线 l : y ? 5 x ? 4 是 曲 线 C : f ( x) ?

1 3 x ? x2 ? 2 x ? m 的 一 条 切 线 , 3

g ( x) ? ax2 ? 2x ? 23 . (Ⅰ)求切点坐标及 m 的值; (Ⅱ)当 m ? Z 时,存在 x ? [0, ??) 使f ( x) ? g ( x)成立 ,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 已知中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆过点 P(2, 3) ,且它的离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相切的直线 l:y ? kx ? t 交椭圆于 M,N 两点,若椭圆上一点 C 满足 OM ? ON ? ?OC ,求实数 ? 的取值范围. y N

1 . 2

O M

x

桂林中学 2013 届高三 5 月模拟考(文科数学)答案
一、选择题 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 A 6 D 7 D 8 C 2 -1 2 16、 9 D 10 C 11 B 12 A 二、 填 空 题: 13 、 210 14、

15、

(0,1)

1 2

三、解答与证明题: (本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明证明过程或 演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)Ks5u 解:⑴设数列 ?an ? 的公差为 d ,则 ?

?a1 ? d ? ?20 ? a1 ? ?22, d ? 2 ?2a1 ? 8d ? ?28
????? 5 分

? an ? ?22 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 24
⑵? log2 bn ? 2n ? 24 ,? bn ? 22n?24

? Tn ? b1b2b3 ?bn ? 22(1?2?3???n )?24n ? 2n( n?1)?24n
令 n(n ? 1) ? 24n ? 0 ,得 n ? 23 ∴当 n ? 23 时, Tn ? 1. 18. (本小题满分 12 分) ????? 10 分

A A A ? 3 sin A ? 2 3 sin cos 2 2 2 A ? 2? ?A? 又? A ? (0, ? ) ? ? 2 3 3
解:? 2 sin
2

A A c o s ? 0, ? t a n ? 3 2 2
Ks5u??? 3 分 ????? 4 分

由余弦定理得 a ? b ? c ? bc
2 2 2



? sin(B ? C ) ? 2 cos B sin C
? sin B cos C ? 3 cos B sin C

?s i n Bc o s C ?cos Bs i n C ? 2c o s Bs i n C
????? 6 分

由正弦定理和余弦定理将角化边得 由①②得 b ? bc ? 3c ? 0
2 2

2b 2 ? 2c 2 ? a 2



????? 8 分 ????? 9 分

b b ?( )2 ? ? 3 ? 0 c c ? b ?0 c

?

b 1 ? 13 ? c 2
????? 12 分

?

AC b 1 ? 13 ? ? AB c 2

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)依题意可知: X 的最小值为 4. ?????? 1 分 当 X ? 4 时,整个比赛只需比赛 4 场就结束,这意味着甲连胜 4 场或乙连胜 4 场,于是由
4 互斥事件的概率计算公式可得 P ? X ? 4 ? ? 2C4 ( )4 ?

1 2

1 .?????? 5 分 8

(II)记事件 A 为: “前 2 场中甲已经获胜,但乙获得这次比赛胜利” ,则乙在接下来的比 赛中最多只能输 1 场。记 Ai 表示事件:从第 3 场开始乙输了 i 场且获胜,i=0,1

A ? A0 ? A1
1 1 1 1 3 1 P( A1 ) ? C4 ( ) ? 2 2 2 8 1 1 3 ? P( A) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ? ? ? 16 8 16 1 1 P ( A0 ) ? ( ) 4 ? 2 16

?????? 7 分

?Ks5u??? 12 分

20、 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)连接 B1C 交 BC1 于点 P,连接 PQ. 因为直线 AB1∥平面 BC1Q,AB1?平面 AB1C,平面 BC1Q∩平面 AB1C=PQ, 所以 AB1∥PQ. 因为 P 为 B1C 的中点,且 AB1∥PQ, z 所以,Q 为 AC 的中点 ?????? 4 分 B1 (Ⅱ)如图建立空间直角坐标系. 设 AB=BC=2,BB1=h,则 A1 面 BC1C 的法向量为 m=(1,0,0). B (0,0,0),C1(0,2,h),Q(1,1,0), → BC1 =(0,2,h),→ QC1 =(-1,1,h). ???? 7 分 因 QC1 与面 BC1C 所成角的正弦值为 |m·→ QC1 | 故 = |m|·|→ QC |
1

C1 P

B x C A Q

y

2 , 4

1 h2 ? 2

=

2 ,解得 h= 6 ?????? 9 分 4

?n·→ QC1 =0, 设平面 C1BQ 的法向量 n=(x,y,z),则? 取 n=(3,-3, 6 ) ???? 11 分 → ?n· BC1 =0,
m·n 6 所以有 cos ?m,n?= = , |m|·|n| 4

故二面角 Q-BC1-C 的余弦值为 21、 (本小题满分 12 分)

6 ???? 12 分 4

解: (Ⅰ)设直线 l 与曲线 C 相切于点 P( x0 , y0 ) ,? f ?( x) ? x2 ? 2x ? 2 ,

? x02 ? 2 x0 ? 2 ? 5 , 解得 x0 ? ?1 或 x0 ? 3 ,?????????????2 分
当 x0 ? ?1 时, y0 ? ?1 ,? P(?1, ?1) 在曲线 C 上,∴ m ? 当 x0 ? 3 时, y0 ? 19 ,? P(3,19) 在曲线 C 上,∴ m ? 13 , 切点 P(?1, ?1) , m ?

7 , 3

7 , 3

或切点 P(3,19) , m ? 13 .

????6 分

(Ⅱ)∵ m ? Z ,∴ m ? 13 ,设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 3 x ? (1 ? a ) x 2 ? 36 , 3

若存在 x ? [0, ??) 使f ( x) ? g ( x)成立 ,则只要 h( x)min ? 0 ,

h?( x) ? x2 ? 2(1 ? a) x ? x ? x ? 2(1 ? a)? ,

Ks5u??8 分

(ⅰ)若 1 ? a ? 0 即 a ? ?1 ,令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 2(1 ? a)或x ? 0 ,

? x ?[ 0 ,? ? ,∴ ) h( x) 在 (2(1 ? a), ??) 上是增函数,
令 h?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? 2(1 ? a) ,? h( x) 在 [0, 2(1 ? a)] 上是减函数,

? h( x)min ? h(2(1 ? a)) , 令h(2(1 ? a)) ? 0 ,解得 a ? 2 ,

????10 分

(ⅱ)若 1 ? a ? 0 即 a ? ?1 ,令 h?( x) ? 0 ,解得 x ? 2(1 ? a)或x ? 0 ,

? x ?[0, ??) , ∴ h( x) 在 (0, ??) 上是增函数,

? h( x)min ? h(0),

令h( 0 ) ? ,不等式无解, 0 ? a 不存在, ???11 分

综合(ⅰ) (ⅱ)得,实数 a 的取值范围为 [2, ??) .????????12 分 22. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2

3 ?4 ? a 2 ? b2 ? 1 ? ?c 1 由已知得: ? ? ?a 2 ?c 2 ? a 2 ? b2 ? ?

解得 ?

?a 2 ? 8 ? 2 ? ?b ? 6

所以椭圆的标准方程为:

x2 y2 ? ?1 8 6

????5 分

(Ⅱ) 因为直线 l : y ? kx ? t 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相切 所以,

t?k 1? k2

? 1 ? 2k ?

1? t2 ( t ? 0) t

????6 分

x2 y2 ? ? 1 并整理得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? (4t 2 ? 24) ? 0 ┈7 分 8 6 8kt 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x 2 ? ? 3 ? 4k 2 6t y1 ? y 2 ? kx 1 ? t ? kx 2 ? t ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2t ? ????9 分 3 ? 4k 2
把 y ? kx ? t 代入 因为, ? OC ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 所以, C ? ? 又因为点 C 在椭圆上, 所以,

?

? 6t ? 8kt ? , 2 2 ? ( 3 ? 4 k ) ? ( 3 ? 4 k ) ? ? ?

8k 2 t 2 6t 2 ? ?1 (3 ? 4k 2 )2 ? 2 (3 ? 4k 2 )2 ? 2 2t 2 2 1 2 1 2 ?? ? ? 因为 t 2 ? 0 所以 ( 2 ) ? ( 2 ) ? 1 ? 1 2 1 1 3 ? 4k t t ( 2 )2 ? ( 2 ) ? 1 t t 2 所以 0 ? ? ? 2 ,所以 ? 的取值范围为 (? 2 , 0) ? (0, 2 ) Ks5u12 分


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