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2013版人教A版数学必修3课本例题习题改编


人教 A 版必修 3 课本例题习题改编 湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 597917478@qq.com 1.原题(必修 3 第十三页例 6)改编 已知程序框图如图 1 所示,则该程序框图的功能是( A.求数列 ? ? 的前 10 项和 n ? N



?1 ? ?n? ?1 ? ?n?

? ?

/>*

? ?

B.求数列 ?

?1? * ? 的前 10 项和 ?n ? N ? 2n ? ? ?1? * ? 的前 11 项和 ?n ? N ? ? 2n ?

C.求数列 ? ? 的前 11 项和 n ? N
开始

*

D.求数列 ?

S=0

k=k+1

n=2

n=n+2

k=1

s ?s?

1 n

k≤10?
否 输出 s 是

结束

图1 解:本题主要考察学生对程序框图中,循环结构的理解及识图、读图能力.解题的关键在于正确翻译框 图所表示的数学含义.由图可知输出的 s ?

1 1 1 .此题选 B. ? ? ... ? 2 2? 2 2 ? 10

2.原题(必修 3 第十五页思考)改编 在图 2 程序中所有的输出结果之和为 开始

i=1,s=0

s=s+i

i=i+1 输出 s 否 i>10? 是 结束 图2

解:算法输出的结果是 1,1+2,1+2+3,…,1+2+3+…+10,通项公式为 a n ? 果之和为 [

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) n(n ? 1) ? ] ,将 n=10 代入得结果为 220. 2 6 2
如图 3,输出结果为
2

n(n ? 1) ,所以所有输出结 2

3. 原题(必修 3 第十九页图 1.1-20)改编

解:算法程序表示用二分法求函数 f ( x) ? x ? 2 的零点,精确度为 0.1. 答案:1.4375. 开始

f(x)=x2-2

a=1,b=2

d=0.1

a ?b ? d
f(a)f(m)<0? 否 a=m 是 b=m 否

a ? b ? d 或 f(m)=0?
是 输出 m 结束 图3 4. 原题 (必修 3 第二十页习题 1.1B 组第二题) 改编 1 s)如下表: 学号 i 成绩 ai 1 6.4 2 6.5 3 7.0 4 6.8 5 7.1 某高中男子体育小组的 50m 的跑步成绩 (单位: 6 7.3 7 6.9 8 7.0 9 7.5 (结

若图 4 中的程序用来表示输出达标的成绩, 且输出结果为 6.4,6.5, 则达标成绩 x 的最大值为 果保留一位小数). 解:因为输出结果为 6.4,6.5,所以 6.5 ? x ? 6.8 ,即 x 的最大值为 6.7. 改编 2 某高中男子体育小组的 50m 的跑步成绩(单位:s)如下表: 学号 i 成绩 ai 1 6.4 2 6.5 3 7.0 4 6.8 5 7.1 6 7.3 7 6.9 8 7.0 9 7.5

若图 5 中的程序用来表示输出达标的成绩, 则从该小组中任取两名同学的成绩, 至少有一名达标的概率 为 . 解:程序输出结果为 6.4,6.5,即 9 人中有两人达标,所以所求概率为 1 ?

C 72 5 ? . 2 C 9 12

开始

开始

i=1

i=1

输入 ai 是 输入 ai

输入 ai 是 输入 ai

ai ? x ?
否 i=i+1 否 i>9? 是 结束 图4

ai<6.8? 否 i=i+1 否 i>9? 是 结束 图5

5. 原题(必修 3 第三十三页习题 1.2B 组第四题)改编 a1,a2,a3…,若 t=3,则数列 ?a n ?的通项公式为 解: a1 ? 3, a 2 ? 3 ? 3 ? 10, a3 ? 3 ? 3 ? 10 ? 3 ? 10 ,...,
2

在图 6 的程序框中,将输出的 a 的值分别记为

1 an ? 3 ? 3 ?10 ? ... ? 3 ?10 n?1 ? ( n ? 1) 10 3

开始 输入 t a=0,s=0

n=1

a=a+t

s=s+a

t=10t

n=n+1 输出 a



n>2012? 是 输出 s 结束 图6

6. 原题(必修 3 第五十页复习参考题 A 组第三题)某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李 的费用:不超过 50kg 按 0.53 元/kg 收费,超过 50kg 的部分按 0.85 元/kg 收费.相应收费系统的流程图如 右图所示,则①处应填( ) 开始 A. y ? 0.85 x B. y ? 50 ? 0.53 ? ?x ? 50 ? ? 0.85 C. y ? 0.53 x D. y ? 50 ? 0.53 ? 0.85 x 解:本题考查函数与程序框图的综合应用.由题意可得行李 托运费 y (元)关于行李重量 x (kg)的函数解析式为
① 是 输入 x



k>50?


输出 y

?0.53 x? x ? 50 ? y?? .由程序框图可知 x ? 50 时运行①. ?0.53 ? 50 ? ? x ? 50 ? ? 0.85? x ? 50 ?

结束

此题选 B。 7. 原题(必修 3 第六十二页的“如何得到敏感性问题的诚实反应” )改编 为了解某中学生遵守《中华

人民共和国交通安全法》的情况,调查部门在该校进行了如下的随机调查,向被调查者提出两个问题: (1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口时你是否闯过红灯?要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚 硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回 答的是哪一个问题,只需回答“是”或“不是” ,因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题,所以都 如实地作了回答.结果被调查的 800 人(学号从 1 至 800)中有 240 人回答了“是”.由此可以估计这 800 人中闯过红灯的人数是 解:由题意可知,每个学生抛掷硬币出现正面或者反面的概率都是 0.5,即我们期望大约有 400 人回答 了第一个问题, 400 人回答了第二个问题.在出现正面的情况下, 另 回答学号是奇数的概率为 0.5.因而在 回答第一个问题的 400 人中,大约有 200 人回答了“是”.所以我们能推出,在回答第二个问题的 200 人中,大约有 40 人回答了“是”.因此 800 人中有 40 人闯过红灯. 8. 原题(必修 3 第七十二页)改编 为了了解某市居民的用水量,通过抽样获得了 100 位居民的月均 用水量.第八题图是调查结果的频率直方图.(1)估计该样本的平均数和中位数; (2)若以该样本数据的 频率作为总体的概率,从该市(人数很多)任选 3 人,求用水量超过 3 吨的人数的期望值. 频率/组距

0.54 0.44 0.30 0.28 0.16 0.12 0.08 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 月均用水量/t

第八题图 解: (1)平均数为 (0.08 ? 0.25 ? 0.16 ? 0.75 ? 0.30 ? 1.25 ? 0.44 ? 1.75 ? 0.54 ? 2.25 ?

0.28 ? 2.75 ? 0.12 ? 3.25 ? 0.08 ? 3.75) ? 0.5 ? 1.98 .因为(0.08+0.16+0.30+0.44)×0.5=0.49,所以中 0.5 ? 0.49 109 位数为 2 ? ? . 0.54 54
(2)样本数据中用水量超过 3 吨的频率为 0.1,则从总体中任选一人,用水量超过 3 吨的概率为 0.1. 设所选 3 人中用水量超过 3 吨的人数为 ? ,则 ? ~ B(3, 1) ,所以 E? ? 3 ? 0.1 ? 0.3. 即(1)平均数为 0. 1.98,中位数为

109 ; (2)期望值为 0.3 54

9. 原题(必修 3 第七十三页的探究“数据有时会被利用” )改编 2011 年春节刚过,为留住本地人才, 有一家公司在火车站等处张贴招聘启示, “我们公司的收入水平很高”“去年,在 50 名员工中,最高年 , 收入达到了 100 万,他们年收入的平均数是 3.5 万.”如果你希望获得年薪 2.5 万元.(1)你判断自己是 否能够成为此公司的一名高收入者?(2)如果招聘员继续告诉你, “员工收入的变化范围是从 0.5 万到 100 万” ,这个信息是否足以使你作出自己受聘的决定?为什么?(3)如果招聘员继续给你提供了如下信 息,员工收入的中间 50%(即去掉最少的 25%和最多的 25%后所剩下的)的变化范围是 1 万到 3 万,你又 能否用这条信息来作出是否受聘的决定?(4)你能估计出收入的中位数是多少吗?为什么平均值比估计 出的中位数高很多? 解: (1)不能.因为平均收入和最高收入相差太多,说明高收入的职工只能占极少数.现在已经知道至少有 一个人的收入为 100 万元,那么其他员工的收入之和为 75 万元,每人平均只有 1.53 万元,如果再有几个收 入特别高者,那么初进公司的员工收入将会更低.

(2)不能.要看中位数是多少. (3)能,可以确定有 75%的员工工资在 1 万元以上.其中 25%的员工工资在 3 万元以上. (4)收入的中位数大约是 2 万.因为有年收入 100 万元的极端值得影响,使得年平均收入比中位数高许多. 10. 原题 (必修 3 第七十九页练习第二题) 改编 在某次测验中, 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 x n 有

表示编号为 n ?n ? 1,2,..., 6? 的同学所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 成绩 x n 1 70 2 76 3 72 4 70 5 72

(1)求第 6 位同学的成绩 x 6 ,及这 6 位同学成绩的标准差 s;(2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求 恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率. 解: (1)∵这 6 位同学的平均成绩为 75 分,? 这 6 位同学成绩的方差

1 ?70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 ? x6 ? ? 75 ,解得 x6 ? 90 , 6

s2 ?

?标准差 s=7.

1 2 2 2 2 2 2 ? ?70 ? 75 ? ? ?76 ? 75 ? ? ?72 ? 75 ? ? ?70 ? 75 ? ? ?72 ? 75 ? ? ?90 ? 75 ? ? 49 6

?

?

(2)从前 5 位同学中, 随机地选出 2 位同学的成绩有: 70,76) 70,72) 70,70) 70,72) 76,72) 76,70) ( , ( , ( , ( ( , ( , (76,72)(72,70)(72,72)(70,72) , , , ,共 10 种,恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的有: (70,76) , (76,72)(76,70)(76,72) , , ,共 4 种,所求的概率为

4 ? 0.4 ,即恰有 1 位同学成绩在区间(68,75) 10

中的概率为 0.4. 11. 原题(必修 3 第七十九页练习第三题)改编 在春运高峰时有顾客反映某家航空公司售票处售票的 速度太慢.为此,航空公司收集了 100 位顾客购票时所花费时间的样本数据(单位:分钟),结果如下表: 2.3 1.0 3.5 0.7 1.0 1.3 0.8 1.0 2.4 0.9 1.1 1.5 0.2 8.2 1.7 5.2 1.6 3.9 5.4 2.3 6.1 2.6 2.8 2.4 3.9 3.8 1.6 0.3 1.1 1.1 3.1 1.1 4.3 1.4 0.2 0.3 2.7 2.7 4.1 4.0 3.1 5.5 0.9 3.3 4.2 21.7 2.2 1.0 3.3 3.4 4.6 3.6 4.5 0.5 1.2 0.7 3.5 4.8 2.6 0.9 7.4 6.9 1.6 4.1 2.1 5.8 5.0 1.7 3.8 6.3 3.2 0.6 2.1 3.7 7.8 1.9 0.8 1.3 1.4 3.5 11 8.6 7.5 2.0 2.0 2.0 1.2 2.9 6.5 1.0 4.6 2.0 1.2 5.8 2.9 2.0 2.9 6.6 0.7 1.5 航空公司认为,为一位顾客办理一次售票业务所需的时间在 5 分钟之内就是合理的.上面的数据是否支 持航空公司的说法?顾客提出的意见是否合理?请你对上面的数据进行适当的分析, 回答下面问题: (1) 根据原始数据计算中位数、平均数和标准差.(2)对数据进行适当的分组,分析数据分布的特点,并进行 分析.(3)你认为应该用哪一个统计量来分析上述问题比较合适? 解: (1)根据原始数据计算中位数、平均数和标准差如下:顾客购票花费时间的中位数为:中位数位置 =(n+1)/2=(100+1)/2=50.5,中位数在第 50 个数值(2.4)和第 51 个数值(2.6)之间,其具体数值为:中位 数=(2.4+2.6)/2=2.5(分钟).

平均花费时间为: x ?

?x
i ?1

n

i

n

?

2.3 ? 1.0 ? ... ? 0.7 ? 1.5 317 .0 ? ? 3.17 (分钟) 100 100

接收 1 分钟以下 1~2 2~3 3~4 4~5 5~6 6~7 7~8 8~9 9 以上 合计

频数(人) 14 24 20 15 9 6 5 3 2 2 100

频数(%) 14 24 20 15 9 6 5 3 2 2 100

标准差为: s ?

? (x
i ?1

n

i

? x) 2 ?

n

811 .97 ? 2.85(分钟) 100

(2)对数据进行分组的结果,100 名顾客购票花费时间的分组表 绘制直方图观察数据分布的特点,直方图如下:

从直方图可以看出,顾客购票所花费时间的分布为右偏.有顾客反映这家航空公司售票处售票的速度太 慢,这可能是由少数人提出来的.因此这些少数顾客提出的意见并不能代表大多数人,可以认为顾客提 出的意见是不完全合理的. (3) 从中位数来看,其结果为 2.5 分钟,因此,从总体上看,该航空公司办理一项售票业务所需的时间 大约为 2.5 分钟,在航空公司认为的合理时间 5 分钟之内,因此,可以说顾客提出的意见是不合理的. 用中位数感觉较合理一些. 12. 原题(必修 3 第八十二页习题 2.2A 组第五题)改编 在一次人才招聘会上,有两家公司提供如下 信息:公司甲:我们公司的收入水平很高,去年在 80 名员工中,最高年收入达到了 150 万元,员工的 年收入平均数是 4 万;公司乙:我们公司规模比较大,共有 150 人,员工年收入的中间 50%(即去掉 最少的 25%和最多的 25%后所剩下的) 的变化范围是 2.5 万到 3.5 万.某位大学毕业生希望获得年薪 3 万 元,根据以上信息,他应该选择哪家公司更好?

解:对于公司甲,除掉最高收入 150 万元后,剩下 79 名员工的年平均收入为

80 ? 4 ? 150 ? 2.15 ,如 79

果再有几个高收入者,则其他人的年平均收入更低.所以用中位数来描述员工的收入水平更合理.公司乙 员工的年收入中位数为 3 万元.所以选择公司乙更好. 13. 原题(必修 3 第八十六页思考)改编 假设儿子身高与父亲身高呈线性相关关系,若小明身高为 172cm,他的爸爸和爷爷的身高分别为 170cm 和 175cm,预测小明儿子的身高为 cm. 解:依题意可得如下表格 父亲身高 x(cm) 儿子身高 y(cm) 175 170 170 172 172 ?

由点(175,170)(170,172)得直线方程为 y ? -0.4 x ? 240 ,所以当 x ? 172 时, y ? 171 .2 , 14. 原题 (必修 3 第九十二页的 “相关关系的强与弱” 改编 ) 如图是根据 x ,y 的观测数据 ?xi , yi ? (i=1, )

2,…,10)得到的散点图,由这些散点图可以判断变量 x , y 具有相关关系的图是 ( y y y y

o

x ① ② ③ ④ A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 解:①②中的点杂乱无章,不能判断变量具有相关关系,③④中的点都在一条直线附近摆动,所以可以 判断 x, y 具有线性相关关系.此题选 D. x x x 15. 原题(必修 3 第一百二十七页探究)改编 1 多选题是标准化考试的一种题型,一般是从 A、B、C、 D 四个选项中选出所有正确的答案,在一次考试中有 5 道多选题,某同学一道都不会,他随机的猜测, 则他答对题数的期望值为 解:答对每道题的概率为

o

o

o

1 1 1 ? ,设答对的题数为 ? ,则 ? ~ B (5, ) ,所以 3 4 15 C ? C ? C 4 ? C 4 15
1 4 2 4

E? ? 5 ?

1 1 ? . 15 3

改编 2 多选题是标准化考试的一种题型,一般是从 A、B、C、D 四个选项中选出所有正确的答案, 每题至少有一个选项是正确的, 在一次考试中有 10 道多选题, 一个小组中的 10 位学生答题情况如下表: 答对题数 概率 0~2 0.10 3~4 0.15 5~6 0.25 7~8 0.30 9~10 0.20

(1)对于每位学生来说,答对题数不少于 7 题的概率; (2)小组中若有 2 人以上(含 2 人)答对题数不超过 6 题的概率大于 0.9,则这个小组需要重新考核, 请问这个小组是否需要重新考核? 解: (1) p ? 0.3 ? 0.2 ? 0.5 ; (2)每位学生答对题数不超过 6 题的概率为 0.5,设 10 位学生中答对题数不超过 6 题的人数为 ? , 则 ? ~ B (10, ) ,所以 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? 1 ? ( ) 所以该小组需要重新考核.

1 2

1 2

10

1023 1 1 ? C10 ( )10 ? ? 0.9 2 1024

16. 原题(必修 3 第一百二十七页例 3)改编

将一骰子抛掷两次,所得向上点数分别为 m 和 n ,则函

2 数 y ? mx 3 ? nx ? 1 在 ?1 ? ?? 上为增函数的概率是 , 3
解:本题考察了古典概型概率的求法及利用导数研究函数的单调性等基础知识.易得函数

y?

? ? n ? ? n 2 3 ? n ? , ? ? ,由已知可得, ?1, ? ? ? ? , ? ? ,故 ? ? ? ? mx ? nx ? 1 的增区间为 ? - ?, ? 和? ? 2m ? ? 2 m 3 ? 2m ? ? ?

2m ? n .抛两次的骰子的所有可能种数为 36 种,则 ?m,n ? 满足条件 2m ? n 的有 30 种,所以所求概
率为

5 . 6

17. 原题(必修 3 第一百三十页练习第三题)改编 甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出 的 2 名教师性别相同的概率;(2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师来自同一学校的概率. 解: (1)从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,所有可能的结果为(甲男 1,乙男)(甲男 2,乙男) 、 、 (甲男 1,乙女 1)(甲男 1,乙女 2)(甲男 2,乙女 1)(甲男 2,乙女 2)(甲女,乙女 1) 、 、 、 、 ,(甲女, 乙女 2), (甲女,乙男) ,共 9 种;选出的 2 名教师性别相同的结果有(甲男 1,乙男)(甲男 2,乙男) 、 、 (甲女,乙女 1)(甲女,乙女 2)共 4 种所以选出的 2 名教师性别相同的概率为 、

4 . 9

(2)从报名的 6 名教师中任选 2 名,所有可能的结果为(甲男 1,乙男)、 (甲男 2,乙男)、(甲男 1,乙女 1)、(甲男 1,乙女 2)、(甲男 2,乙女 1)、 (甲男 2,乙女 2)、 (甲女,乙女 1)、(甲女,乙女 2)、(甲女, 乙男)、 (甲男 1,甲男 2)、(甲男 1,甲女)、(甲男 2,甲女)、(乙男,乙女 1)、 (乙男,乙女 2)、(乙女 1,乙女 2),共 15 种;选出的 2 名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男 1,甲男 2)、 (甲男 1, 甲女)、(甲男 2,甲女)、(乙男,乙女 1)、(乙男,乙女 2)、 (乙女 1,乙女 2),共 6 种,所以选出的 2 名教师来自同一学校的概率为

6 2 ? . 15 5

18. 原题 (必修 3 第一百三十四页习题 3.2B 组第三题) 改编 假设每个人在任何一个月出生是等可能的, 则三个人中至少有两个人生日在同一个月的概率为
1 1 1 3 C32 C12C11 ? C12 17 A12 17 ? 解:方法一: p ? 1 - 3 ? ;方法二: p ? . 72 72 12 12 3

19. 原题(必修 3 第一百四十页例 4)改编

如图,直线 x ? y ? 2 与抛物线 y ? x 交于 A、B 两点,
2

分别作 AC、BD 垂直 x 轴于 C、D 两点,从梯形 ABDC 中任取一点,则该点落在阴影部分的概率为 ________; 利用随即模拟方法也可以计算图中阴影部分面积, 若通过 1000 次试验产生了落在梯形 ABDC 内的 1000 个点,则可估计落在阴影部分内的点的个数大约有________个. y A

B

C

O

D

x

解:由 ?

?x ? y ? 2 ?y ? x
2

得 A(?2,4),B(1,1) ,即 S 梯形ABDC ?

1 15 ? 3? 5 ? , 2 2

9 1 1 3 1 1 15 9 3 2 ? ? (?2) 3 ? 3 ,? S阴影 ? 又? x ? x ? 3 ? .所以概率 p ? 2 ? ; ?2 15 5 3 ?2 3 3 2 2 2 N1 N1 3 由 ? ? ,得 N1 ? 600 . N 1000 5
1

20. 原题(必修 3 第一百四十页练习第一题)改编 如图所示,墙上挂有边长为 a 的正方形木板,它的 四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心,

a 为半径的圆弧与正方形的边所围成的.某人向此板投 2

标,假设每次都能击中木板,且击中木板上每个点的可能性都一样,则它击中某人向此板投标,假设每 次都能击中木板,且击中木板上每个点的可能性都一样, 则它击中阴影部分的概率是 解:本题考查几何概型的概率的计算,因为正方形的面积为 a ,而阴影部分的面积不易直接计算,所以
2

先计算空白部分的面积为

? a2 ? a2 2 ,从而得阴影部分的面积为 a ? .根据几何概型的概率公式,可得 4 4

p?

a2 ?

4 ? 1? ? . a 4
2

? a2

a

21. 原题 (必修 3 第一百四十二页习题 3.3A 组第三题) 改编 一个路口的红绿灯, 红灯的时间为 30 秒, 黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒,当你到达路口时,不需要等待就可以过马路的概率为 解:概率为

40 8 ? . 30 ? 5 ? 40 15


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