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《红对勾讲与练系列》2015届高三文科数学二轮复习考前增分方略第三讲 保分大题不失分


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保分大题不失分

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解 答 题 是 高 考 数 学 试 卷 的 重 头 戏 , 占 整 个 试 卷 分 值 的 半 壁 江 山 , 高 考 解 答 题 一 般 有 六 大 类 型 : 三 角 函 数 与 解 三 角 形 、 概 率 与 统 计 、 立 体 几 何 、 数 列 与 不 等 式 、 解 析 几 何 、 函 数 与 导 数 及 不 等 式 题 , 后 两 题 属 难 题 .一 般 来 说 , 前 四 题 属 于 中 低 档 .三 角 函 数 与 解 三 角 形 、 概 率 与 统 计 、 立

体 几 何 在 前 三 题 中 出 现 的 概 率 较 大 , 掌 握 解 这 几 类 题 的 解 法 是 大 多 考 生 成 功 的 关 键 .目 前 的 高 考 解 答 题 已 经 由 单 纯 的 .能 否

知 识 综 合 型 转 化 为 知 识 、 方 法 和 能 力 的 综 合 型 解 答 题 做 好 解 答 题 是 高 考 成 败 的 关 键
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三角函数

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题型策略

答题模板

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题 型 策 略

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主 要 题 型 : 面 向 量 交 汇 ; 三 角 形 ;

1 ( ) 纯 三 角 函 数 知 识 综 合 ; 3 ( ) 三 角 函 数 与 解 斜 三 角 形 的 交 汇 ;

2 ( ) 三 角 函 数 与 平 4 ( ) 纯 解 斜

5 ( ) 解 斜 三 角 形 与 平 面 向 量 的 交 汇 .

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应 对 策 略 :

1 ( ) 观 察 三 角 函 数 中 函 数 名 称 、 角 与 结 构 上 2 ( ) 利 用 数 量 积 公 式 、 垂 直 3 ( ) 利 4 ( ) 在 解 题 过 程 和 灵 活 性 , 注 意 题 目

的 差 异 , 确 定 三 角 化 简 的 方 向 ;

与 平 行 的 充 要 条 件 转 化 向 量 关 系 为 三 角 问 题 来 解 决 ; 用 正 、 余 弦 定 理 进 行 三 角 形 边 与 角 的 互 化 ; 中 要 注 意 三 角 恒 等 变 换 公 式 的 多 样 性

中 隐 含 的 各 种 限 制 条 件 , 做 到 推 理 严 谨 、 计 算 准 确 、 表 达 确 切.

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答 题 模 板

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三角函数的图象与性质

【例1】 cos
2

已知函数f(x)=2sin 3.

? π? ?x- ? 3? ?

cos

? π? ?x- ? 3? ?

+2

3

? π? ?x- ?- 3? ?

(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值; (2)若函数y=f(2x)-a在区间 x2,求tan(x1+x2)的值.
? π? ?0, ? 4? ?

上恰有两个零点x1,

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【解】

? 2π? (1)f(x)=sin?2x- 3 ?+ ? ?

2π 3[1+cos(2x- )]- 3 3

? 2π? =sin?2x- 3 ?+ ? ?

? ? 2π? π? 3cos?2x- 3 ?=2sin?2x-3?. ? ? ? ?

∴函数f(x)的最大值为2, π π 此时2x-3=2+2kπ,k∈Z, 5π 即x= +kπ,k∈Z. 12

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2 ( ) f(2x)=2 n s i

? π? ?4x- ?, 3? ?

? π? π 令t=4x- ,∵x∈?0,4?, 3 ? ? ? π 2π? ∴t∈?-3, 3 ?, ? ?

设t1,t2是函数y=2 n s i

t-a的两个相应零点,

? π π? ?则t1=4x1- ,t2=4x2- ?, 3 3? ?

由函数y=2 n s i

t的图象性质知t1+t2=π,

π π π π 即4x1-3+4x2-3=π,∴x1+x2=4+6,
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a t n (

x1+x2)=a t n

?π π ? ? + ? ?4 6?

π π a t n +a t n 1+ 4 6 = π π= 1-a t n 4×a t n 6 1-

3 3 =2+ 3. 3 3

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1.2 ( 0 1 4 ·

福 建 卷 )已 知 函 数

f(x)=c o s xn s ( i

1 x+c o s x)-2.

π 2 1 ( ) 若0 < α<2, 且n s i α= 2 , 求 f(α)的 值 ; 2 ( ) 求 函 数 f(x)的 最 小 正 周 期 及 单 调 递 增 区 间 .

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π 2 解 :1 () 因 为0 < α<2,n s i α= 2 2 所 以c o s α= . 2 2 2 2 1 所 以 f(α)= ( + )- 2 2 2 2 1 = . 2 2 () 因 为 f(x)=n s i xc o s x+c o s 1 =2n s i2 1+c o s 2 x+ 2 x 1 -2
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2

1 x- 2

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1 =2n s i 2 2 =2n s i 2 (

1 x+2c o s 2

x

π x+4),

2π 所以T= 2 =π. π π π 3π 由2kπ- 2 ≤2x+ 4 ≤2kπ+ 2 ,k∈Z,得kπ- 8 ≤x≤kπ+ π 8,k∈Z.
? 3π π? 所以f(x)的单调递增区间为?kπ- 8 ,kπ+8?,k∈Z. ? ?

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三角函数与平面向量的交汇
【例2】 (2014· 沈阳质量监测)已知函数f(x)=sinx- 3

cosx+2,记函数f(x)的最小正周期为β,向量a=(2,cosα), β π 7 b=(1,tan(α+ ))(0<α< ),且a· b= . 2 4 3 2π 4π (1)求f(x)在区间[ 3 , 3 ]上的最值; 2cos2α-sin2?α+β? (2)求 的值. cosα-sinα

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【解】

π (1)f(x)=sinx- 3cosx+2=2sin(x-3)+2,

2π 4π π π ∵x∈[ 3 , 3 ],∴x-3∈[3,π], ∴f(x)的最大值是4,最小值是2. (2)∵β=2π, 7 ∴a· b=2+cosαtan(α+π)=2+sinα=3, 1 ∴sinα=3,

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2 c o s ∴

α-n s i 2 ?α+β? 2 c o s 2α-n s i 2 α = c o s α-n s i α c o s α-n s i α α=2 1-n s i
2

2

=2 c o s

4 2 α= 3 .

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2.2 ( 0 1 4 ·

π 合肥第一次质检)已知向量a=(cos(θ- 4 ),1),b

π 5π =(3,0),其中θ∈(2, 4 ),若a· b=1. (1)求sinθ的值; (2)求tan2θ的值.

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π 1 π 2 2 解:(1)由已知得:cos(θ-4)=3,sin(θ-4)= 3 ,∴sinθ π π π π π π 4+ 2 =sin[(θ- )+ ]=sin(θ- )cos +cos(θ- )sin = . 4 4 4 4 4 4 6 π 1 2 (2)由cos(θ- )= 得sinθ+cosθ= ,两边平方得:1+ 4 3 3 2 7 4 2 2 2sinθcosθ= ,即sin2θ=- ,而cos2θ=1-2sin θ=- , 9 9 9 7 2 ∴tan2θ= 8 .

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解斜三角形

【 例 3】 2 ( 0 1 4 · 边 上 的 中 线

衡 水 中 学 二 调

)如 图 , 在

△ABC中 , BC

10 1 AD长 为 3, 且c o s B= 8 ,c o s ∠A D C = - 4.

1 ( ) 求n s i ∠BAD的 值 ; 2 ( ) 求AC边 的 长 .

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10 3 6 【解】 (1)因为cosB= 8 ,所以sinB= 8 . 1 15 又cos∠ADC=-4,所以sin∠ADC= 4 , 所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcosB-cos 15 10 1 3 6 6 ∠ADCsinB= 4 × 8 -(-4)× 8 = 4 . AD BD 3 BD (2)在△ABD中,由sinB= 得 = , sin∠BAD 3 6 6 8 4

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解得BD=2. 故DC=2,从而在△ADC中,由AC2=AD2+DC2- 1 2AD· DC· cos∠ADC=32+22-2×3×2×(-4)=16,得AC=4.

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3.2 ( 0 1 4 ·

南京一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分

π 别是a,b,c,已知c=2,C=3. (1)若△ABC的面积等于 3,求a,b; (2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.

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解:(1)由余弦定理及已知条件得,a2+b2-ab=4, 1 因为△ABC的面积等于 3,所以2absinC= 3,得ab=4.
2 2 ? ?a +b -ab=4 联立方程组? ? ?ab=4

,解得a=2,b=2.

(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,即 sinBcosA=2sinAcosA. π π 4 3 2 3 当cosA=0时,A= ,B= ,a= ,b= ; 2 6 3 3

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当c o s A≠0时,得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,
2 2 ? ?a +b -ab=4 联立方程组? ? ?b=2a

2 3 4 3 ,解得a= 3 ,b= 3 .

1 2 3 所以△ABC的面积S= absinC= . 2 3

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解三角形与向量、不等式的综合应用
【例4】 已知△ABC的三内角A,B,C所对的边分别 是a,b,c,向量m=(sinB,1-cosB)与向量n=(2,0)的夹角θ 1 的余弦值为2. (1)求角B的大小; (2)若b= 3,求a+c的范围.

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【解】 (1)∵m=(sinB,1-cosB),n=(2,0), ∴m· n=2sinB, 又|m|= sin B+?1-cosB? = ∵0<B<π, B π ∴0< 2 <2, B ∴sin 2 >0,
2 2

? B? 2-2cosB=2?sin 2 ?, ? ?

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∴|m|=2 n s i 而|n|=2,

B . 2

m· n 2sinB B 1 ∴c o s θ=|m||n|= B=cos 2 =2, 4sin 2 B π 2 ∴ = ,∴B= π. 2 3 3

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2 2 ( ) 由余弦定理,得b =a +c -2accos π=a2+c2+ac=(a 3
2 2 2

+c) -ac≥(a+c) 号,

2

2

?a+c? 3 ? ?2 -? = 4 (a+c)2,当且仅当a=c时取等 ? ? 2 ?

∴(a+c)2≤4,a+c≤2,又a+c>b= 3, ∴a+c∈( 3,2].

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4.2 ( 0 1 4 ·

皖南八校联考)在△ABC中,a,b,c是三个内角

A,B,C的对边,关于x的不等式x2cosC+4xsinC+6<0的解集 是空集. (1)求角C的最大值; 7 3 3 (2)若c=2,△ABC的面积S= 2 ,求角C取最大值时a+b 的值.

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? ?cosC>0 解:(1)显然cosC=0不合题意,则? ? ?Δ≤0 ? ?cosC>0 即? 2 ? 16sin C-24cosC≤0 ?





cosC>0 ? ? 1 , 即? cosC≤-2或cosC≥2 ? ? 1 解得:cosC≥ , 2 故角C的最大值为60° .

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1 3 3 3 2 ( ) 当C=60° 时,S△ABC= absinC= ab= ,∴ab= 2 4 2 6, 由余弦定理得:c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab- 2abcosC, 121 11 ∴(a+b)2=c2+3ab= 4 ,∴a+b= 2 .

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