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2.3.1 抛物线及其标准方程


2.3

抛物线

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第二章

圆锥曲线与方程

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1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 2.会求简单的抛物线的方程.

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圆锥曲线与方程

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1.抛物线的定义及其标准方程是重点和难点,也是考查的热
点. 2.抛物线的定义的应用常与图形、方程、不等式等结合命题, 而且出题形式多样化,选择、填空、解答题都可能出现.

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1.抛物线在现实生活中随处可见.细心的同学可能 会注意到,广播电视局的大院内安装的卫星接收天线, 像一个个硕大的“锅盖”,其轴截面就是抛物线.当卫 星波束呈近似平行状态射入接收天线,经反射聚焦到一 点处.同学们常常见到一种高脚酒杯,其轴截面近似一 条抛物线(如图所示).那么,抛物线到底有怎样的几何特征?

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2.如图,我们在黑板上画一条直线EF,然后取一个三角板,

将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上,并将拉链下边一
半的一端固定在C点,将三角板的另一条直角边贴在直线EF上, 在拉锁D处放置一支粉笔,上下拖动三角板,粉笔会画出一条曲 线,这条曲线就是抛物线,那么抛物线的定义是什么?

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1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条直线l(l不经过点F) 距离相等 的 点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ,直线l叫做抛物 线的 准线 .

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2.抛物线的标准方程
图形 标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px ? (p>0) 焦点坐标
?p ? ? ,0? ?2 ?

准线方程

p x=-2 p x=2

p ? ?- ,0? ? 2 ?

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图形

标准方程 x2=2py (p>0)

焦点坐标
? p? ?0, ? 2? ?

准线方程

p y=-2

x2=-2py ? (p>0)

p? ?0,- ? 2? ?

p y=2

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1.抛物线y2=-8x的焦点坐标是( A.(2,0) C.(4,0) B.(-2,0) D.(-4,0)

)

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解析: 由于抛物线开口向左, ∴焦点在 x 轴的负半轴上, p 又 =2, 2 ∴焦点坐标为(-2,0),故选 B.

答案: B

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2.若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则
点P的轨迹为( A.圆 C.双曲线 解析: ) B.椭圆 D.抛物线

由题意,点P到直线x=-2的距离等于它到点(2,0)

的距离,符合抛物线的定义,故选D. 答案: D

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3.经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为________.
解析: 设抛物线的标准方程为:

①y2=mx,点P(4,-2)代入得4=4m,
∴m=1,故抛物线方程为y2=x; ②x2=my,点P(4,-2)代入得16=-2m, ∴m=-8,故抛物线方程为x2=-8y. 答案: y2=x或x2=-8y

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4.已知抛物线的焦点在x轴上,抛物线上的点M(-3,m)到
焦点的距离是5. (1)求抛物线方程和m的值; (2)求抛物线的焦点坐标和准线方程.

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解析: 则焦点

设抛物线方程为 y2=-2px(p>0),
? p ? F?-2,0?, ? ?

?m2=6p, ? ? 由题意,得? p?2 2 ? m +?3-2? =5, ? ? ?
?p=4, ? 解得? ?m=2 6, ? ?p=4, ? 或? ?m=-2 ?

6.

故所求的抛物线方程为 y2=-8x,m=± 6. 2 抛物线的焦点为(-2,0),准线方程为 x=2.

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(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=- 2,则抛物线的方程是( )

A.y2=-8x
C.y2=-4x

B.y2=8x
D.y2=4x

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p 解析: 因为抛物线的准线方程为 x=-2, 所以 =2, 所以 p=4, 2 所以抛物线的方程是 y2=8x.所以选 B.

答案: B

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根据下列抛物线的方程,分别求出其焦点坐标和准
线方程. (1)y2=-4x;(2)2y2-x=0.

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[解题过程]
1 y2=2x 1 p= 4
?1 ? ? ,0? ?8 ?

方程 p 的值 焦点坐标 准线方程

y2=-4x p=2 (-1,0) x=1

1 x=-8

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[题后感悟]

(1)此例是抛物线标准方程的应用,一是要理解

抛物线标准方程的结构形式,二是要理解p的几何意义,三是要 注意焦点坐标与准线方程之间的关系. (2)步骤:①化为标准方程;②明确开口方向;③求p值;④ 写焦点坐标和准线方程.

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1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1)y2=-14x;(2)5x2-2y=0;(3)y2=ax(a>0).
解析: (1)因为
? 7 ? p=7,所以焦点坐标是?-2,0?, ? ?

7 准线方程是 x=2.

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2 1 (2)抛物线方程化为标准形式为 x = y,因为 p= , 5 5
2

? 1? 所以焦点坐标是?0,10?,准线方程是 ? ?

1 y=-10.

?a ? a (3)由 a>0 知 p=2,所以焦点坐标是?4,0?, ? ?

a 准线方程是 x=-4.

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分别求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点为(-2,0); (2)准线为 y=-1; (3)过点 A(2,3); 5 (4)焦点到准线的距离为 . 2

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圆锥曲线与方程

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求抛物线方程要先确定其类型,并设出标准方程,再根据

已知求出系数p,若类型不能确定,应分类讨论.
p (1)由于焦点在 x 轴的负半轴上,且2=2,

[解题过程] ∴p=4,

∴抛物线标准方程为 y2=-8x. p (2)∵焦点在 y 轴正半轴上,且 =1, 2 ∴p=2, ∴抛物线标准方程为 x2=4y.
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第二章 圆锥曲线与方程

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(3)由题意,抛物线方程可设为 y2=mx(m≠0)或 x2=ny(n≠0), 将点 A(2,3)的坐标代入,得 32=m· 或 22=n· 2 3, 9 4 ∴m=2或 n=3. 9 4 ∴所求的抛物线方程为 y2=2x 或 x2=3y. 5 5 (4)由焦点到准线的距离为 ,可知 p= . 2 2 ∴所求抛物线方程为 y2=5x 或 y2=-5x 或 x2=5y 或 x2=-5y.

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圆锥曲线与方程

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[题后感悟]

(1)求抛物线标准方程的方法

特别注意在设标准方程时,若焦点位置不确定,要分类讨论. (2)由抛物线的标准方程求其焦点和准线方程时,一定要考虑抛物 线的开口方向和参数 p 的几何意义.

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2.求适合下列条件的抛物线的标准方程,并写出它们的准线
方程、焦点坐标. (1)过点(-3,2); (2)焦点在直线x-2y-4=0上.

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圆锥曲线与方程

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解析:

(1)∵点(-3,2)在第二象限,

∴设抛物线方程为 y2=-2px 或 x2=2py(p>0), 4 9 将点(-3,2)代入方程得 2p=3或 2p=2, 4 ∴所求抛物线方程为 y2=- x, 3
? 1 ? 其焦点为?-3,0?,准线方程为 ? ?
2

1 x=3,

? 9? 9 9 或 x = y,其焦点为?0,8?,准线方程为 y=- . 2 8 ? ?

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(2)令 x=0,由方程 x-2y-4=0 得 y=-2. ∴抛物线的焦点为 F(0,-2). 设抛物线方程为 x2=-2py(p>0), p 则由2=2 得 2p=8, ∴所求抛物线方程为 x2=-8y, 令 y=0,由方程 x-2y-4=0,得 x=4. ∴抛物线的焦点为 F(4,0).

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设抛物线方程为 y2=2px(p>0), p 则由2=4 得 2p=16, ∴所求抛物线方程为 y2=16x. 综上,所求抛物线方程为 x2=-8y.其准线方程为 y=2,焦点坐标 为(0,-2). 或抛物线方程为 y2=16x, 其准线方程为 x=-4, 焦点坐标为(4,0).

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已知抛物线y2=4x的焦点是F,点P是抛物线上的动 点,对于定点A(4,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时 P点坐标.

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[解题过程] 如图,过 P 作 PN⊥l 于 N(l 为抛物线的准线),连 PF、PA,AB⊥l 于 B, 则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|AB|, 当 P 为 AB 与抛物线的交点时,取等号. ∴(|PA|+|PF|)min=|AB|=4+1=5, y2 22 当 y=2 时,x= 4 = 4 =1, ∴此时点 P(1,2).

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[题后感悟] 如何用抛物线的定义解题? (1)若已知抛物线上点 P 到焦点 F 的距离(或与此有关),往往转化 为点 P 到准线的距离,其步骤是:①过 P 作 PN 垂直于准线 l,垂足 p 为 N;②连结 PF;③|PF|=|PN|=xp+2(焦点在 x 轴正半轴上时). (2)本例中,求|PA|+|PF|的最小值时,结合图形,根据平面几何知 识判断|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|PA|+|PB|=|AB|.体现了数形结合的思 想.

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3.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,求点P到点(0,2)的 距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
解析: 由抛物线的定义可知,抛物线上的点

到准线的距离等于到焦点的距离. 由图可知,P
?1 ? 点,(0,2)点和抛物线的焦点?2,0? ? ?

三点共线时距离之和最小. 所以最小距离 d=
? 1? 2 ?0- ? +?2-0?2= 2? ?

17 2 .

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1.如何理解抛物线的定义? (1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”,一个动点, 设为M;一个定点F即抛物线的焦点;一条定直线l即抛物线的准

线;一个定值即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.

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(2)在抛物线的定义中,定点F不能在直线l上,否则,动点
M的轨迹就不是抛物线,而是过点F垂直于直线l的一条直线.如 到点F(1,0)与到直线l:x+y-1=0的距离相等的点的轨迹方程为 x-y-1=0,轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线. [提醒] 在解决与抛物线定义有关的问题时,一定不能忽略

“点F不在直线l上”这一条件.

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2.如何确定抛物线的焦点位置和开口方向? 一次项变量为 x(或 y),则焦点在 x 轴(或 y 轴)上;若系数为正, 则焦点在正半轴上;系数为负,则焦点在负半轴上,焦点确定,开口 方向也随之确定. 四种位置的抛物线标准方程的对比. (1)共同点: ①原点在抛物线上; ②焦点在坐标轴上; 1 2p p ③焦点的非零坐标都是一次项系数的绝对值的 ,即 = . 4 4 2

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(2)不同点
①焦点在x轴上时,方程的右端为±2px,左端为y2;焦点在

y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x2;
②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴) 正半轴上,方程右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相 同,焦点在x轴(或y轴)负半轴上,方程右端取负号.

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◎已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上,且焦点到 准线的距离为2,求该抛物线的方程. 【错解】 由题意知p=2,

∴2p=4
故所求抛物线的方程为y2=±4x.

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圆锥曲线与方程

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【错因】

只考虑焦点在x轴上的情形,而遗漏了焦点在y轴

上的情形,本题中,抛物线的四种形式都有可能. 【正解】 由题意知p=2,∴2p=4. 故所求抛物线方程为y2=±4x或x2=±4y.

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