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2011年高中数学优质课比赛课件:椭圆及其标准方程


1997年初,中国科学院紫金山天文台发布了 一条消息,从1997年2月中旬起,海尔· 波普彗 星将逐渐接近地球,过4月以后,又将渐渐离 去 , 并预 测 3000 年 后 , 它 还 将 光 临 地球 上 空 1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现 象。 天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢?
王新敞
奎屯 新疆

原来,海尔· 波普彗星运行的轨道是一个椭圆, 通过观察它运行中的一些有关数据,可以推算出 它的运行轨道的方程,从而算出它运行周期及轨 道的的周长。

8.1椭圆及其标准方程

想 一 想

圆是到定点距离等于定长的点的轨迹。

定点叫圆的圆心,定长叫圆的半径。

我们把平面内与两个定点F1、F2的距离 的和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫 做椭圆。
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两个焦点的距离叫做焦距。(一般用2c表示) 1 F

M

2c

F2

注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方:
(1)两个定点---两点间距离确定; (2)等于常数--轨迹上任意点到两定点距 离和确定.

y
M(x,y)

圆的标准方程是怎样推导的?
1、建立直角坐标系,设圆上任意 一点坐标M(x,y);
2、 点M满足的条件 4、化简 f ( x, y) ? 0

r C

MC ? r
o x

3、列出方程: f ( x, y) ? 0

我们如何类比圆的方程来推导椭圆的方程呢?
同时要抓住图形的什么特征可以使得到的方程形式更简洁呢?

Y

M F2 (c,0) X

1)建立适当的直角坐标系
以过焦点的直线为X轴,线段的垂直平分
线为Y轴,建立直角坐标系。 F1 (-c,0)

O

设M(x,y)为椭圆上的任意一点,椭圆的焦
距是2c.则 F1(-c,0) , F2(c,0).

又设M与F1,F2距离 之和等于2a (2a>2c)(a是常数) 则

MF1 ? MF2 ? 2a

? MF1 ? ( x ? c) 2 ? y 2 MF1 ? ( x ? c) ? y
2 2

? ( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y ? 2a
2 2 2 2

(a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ) 化简得
定义, 令代入,得 ,

? 2a ? 2c
令 a ?c ? b
2 2

?a ? c ? 0
2 2
2

代入(1)得
2 2

b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2
x y 两边同时除以a2b2定得 2 ? 2 ? 1 a b 义

即为椭圆的标准方程 。

注意:若坐标系的选取不同,可得到不同的 椭圆的方程。如
以过焦点的直线为X轴,以F1所在的直线为Y轴, 建立直角坐标系。 Y O(F1)

M F2 X (2c,0)

所得椭圆的方程为:

( x ? c) 2 y2 ? 2 ?1 2 a b

焦点在x轴上(如右图)的椭圆的 标准方程是:
x y ? 2 ? 1(a>b>0) 2 a b
2 2

Y

M

F1 (-c,0)

O

F2 (c,0)

X

想 一 想
如果焦点在y 轴上(如右图), 此时椭圆的方程是什么?
y x ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b
2 2

Y F2(0 , c) M O X F1(0,-c)

上式也是椭圆的标准方程。

Y

M F2 (c,0) X

1、焦点在x轴上:
x y ? 2 ? 1(a>b>0) 2 a b
2 2

F1 (-c,0)

O

Y

2、焦点在y 轴上:
y 2 x2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 2 a b

F2(0 , c) M

O

X F1(0,-c)

注意: 所谓椭圆的标准方程,
?一定指的是焦点在坐标轴上,且两焦点的中点 为坐标原点;

y x x y ?在 ? ? 1 与 2 ? 2 ? 1 这两个标准方程中, a b a2 b2
2 2

2

2

都有的a ? b ? 0 要求。

例1.

判断下列各式是否为椭圆的方程。如果是的话,说出 a、b、c的值及其焦点所在的坐标轴。

x y x y (1) ? ? 1 (2) ? ?1 12 12 12 11
2 2

2

2

x2 y2 (3) ? ?1 36 49

x2 y 2 (4) ? ? 1 (5)9 x 2 ? 4 y 2 ? 36 20 25

x y (1) ? ?1 是 12 11 ? a 2 ? 12, b 2 ? 11

2

2

x2 y2 (3) ? ?1 是 36 49

? a 2 ? 49, b 2 ? 36
2 2 2

? c ? a ? b ? 12 ? 11 ? 1
2 2 2

? a ? 12 , b ? 11, c ? 1
焦点在X轴上。

? c ? a ? b ? 49 ? 36 ? 13 ? a ? 7, b ? 6, c ? 13
焦点在Y轴上

x y (2) ? ? 1 不是 12 12

2

2

x2 y 2 (4) ? ?1 20 25

不是

x2 y2 ? ?1 (5)9 x 2 ? 4 y 2 ? 36 是 两边同时除以36,得 4 9 a ? 3, b ? 2, c ? 9 ? 4 ? 5 焦点在Y轴上。

那么,在椭圆的标准方程中,如何判断焦点在X轴
上,还是在Y轴上?

x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一个轴上。

例2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
1、a=3,b=1 焦点在x轴上

x2 2 ? y ?1 9 y2 2 ? x ?1 9 x2 ? y2 ? 1 9 y2 ? x2 ? 1 9

2、a=3,b=1

焦点在y 轴上

当焦点在x 轴上时 3、a=3,b=1 当焦点在y 轴上时

例3.已知椭圆的两个焦点分别是(—2,0),(2,0),
并且经过点 ( 5 , 3 ) ,求它的标准方程。 ? 2 2 解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程 为 x2 y 2 。 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 由椭圆的定义知

5 3 2 5 3 2 2 2 2a ? ( ? 2) ? (? ) ? ( ? 2) ? (? ) ? 2 10 2 2 2 2
所以a ? 10
又因为c=2,所以

b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6
2 2 2

x2 y2 ? ?1 所以,所求椭圆的标准方程为 10 6

定义 法

1、本节课你学习了哪些知识?

2、你掌握了什么?有哪些收获?

Y

Y M M F2 (c,0) X O F1(0,-c)
y2 x2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 a b

F2(0 , c) X

F1 (-c,0)

O

x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 a b

椭圆的标准方程的再认识:
(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。

(3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
(4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在哪一 个轴上。

第46页 A(2)

另解:设椭圆的标准方程为:
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

待定系 数法

5 2 32 ( ) (? ) 由题意知 2 ? 2 ? 1 (1) a2 b2 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 4 (2)
解得:

a 2 ? 10, b2 ? 6
x2 y2 ? ?1 10 6

因此,所求椭圆的标准方程为


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