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圆锥曲线综合题


1 已知定点 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 A PF1 ? PF2 ? 4 B PF1 ? PF2 ? 6
2 2 2

C PF1 ? PF2 ? 10
2

D. PF1

2

? PF2

2

? 12

2 方程 ( x ? 6) ? y ? ( x ? 6) ? y ? 8 表示的曲线是_____

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围为____ 3? k 2? k 2 2 2 2 4 若 x, y ? R ,且 3 x ? 2 y ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x ? y 的最小值是___
3 已知方程 5 双曲线的离心率等于

x2 y2 5 ,且与椭圆 ? ? 1 有公共焦点,则该双曲线的方程_______ 9 4 2

6 设中心在坐标原点 O 焦点 F1
2 2

F2 在坐标轴上,离心率 2 的双曲线 C 过点 P(4,? 10 ) ,则 C 的方程为

7 已知方程 x ? y ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是__ m ?1 2 ? m 8 若椭圆

x2 y2 10 ? ? 1 的离心率 e ? 5 m 5

,则 m 的值是__

9 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值 10 双曲线的渐近线方程是 3x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的离心率等于______ 11 双曲线 ax 12 设双曲线
2

? by 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 a : b =
的取值范围是________

x2 y2 (a>0,b>0) 中, 离心率 e∈[ 2 ,2],则两条渐近线夹角θ ? ?1 a2 b2 2 13 设 a ? 0, a ? R ,则抛物线 y ? 4ax 的焦点坐标为________
2 2

14 若直线 y=kx+2 与双曲线 x -y =6 的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范围是_______
2 15 直线 y―kx―1=0 与椭圆 x ? y ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是_______ 2

5

m

16 已知点 Q(2 2 ,0) 及抛物线 y ? 17 过点 ( 2,4) 作直线与抛物线 y
2 2

x2 上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是_____ 4

2

? 8 x 只有一个公共点,这样的直线有______

18 过点(0,2)与双曲线 x ? y ? 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______

9

16

y ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若 AB ? 4,则满足条件的直线 l 有条 2 2 2 20 对于抛物线 C: y ? 4 x ,我们称满足 y 0 ? 4 x0 的点 M ( x0 , y 0 ) 在抛物线的内部,若点 M ( x0 , y 0 ) 在抛物线的内部,则直线 l : y 0 y ? 2( x ? x0 ) 与抛物线 C 的位置关系是_______ 1 1 2 21 过 y ? 4 x 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、 Q 若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p 、 则 q, ? ? _______ p q
19 过双曲线 x
2

?

2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交其左支、右支和右准线分别于 16 9 P, Q, R ,则 ?PFR 和 ?QFR 的大小关系为___________(填大于、小于或等于) 2 2 23 求椭圆 7 x ? 4 y ? 28 上的点到直线 3x ? 2 y ? 16 ? 0 的最短距离 2 2 24 直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1 交于 A 、 B 两点。①当 a 为何值时, A 、 B 分别在双曲线的 两支上?②当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原点?
22 设双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P 到右准线的距离为____ 25 16 x2 y2 28 点 P 在椭圆 ? ? 1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐标为_______ 25 9
25 已知椭圆

29 抛物线 y
2

2

? 2 x 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为
之值最小,

30 椭圆

x y2 F 为右焦点, 在椭圆上有一点 M, 使 MP ? 2 MF ? ? 1 内有一点 P(1,?1) , 4 3

则点 M 的坐标为_______ 31 短轴长为

5 ,e ?

2 的椭圆的两焦点 F1 F2 ,过 F1 作直线交椭圆于 A、B 两点,则 ?ABF2 的周长 3

32 设 P 是等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 右支上一点, F1、 F2 是左右焦点, 若 PF2 则该双曲线的方程为

? F1 F2 ? 0 , |PF1|=6,

x2 y2 → → ? ? 1 的焦点为 F1 F2 点 P 为椭圆上的动点,当PF ·PF <0 时,点 P 的横坐标的取值范围 9 4 6 34 双曲线的虚轴长为 4,离心率 e= ,F 、F 是它的左右焦点,若过 F 的直线与双曲线的左支交于 A、 2 B 两点,且 AB 是 AF2 与 BF2 等差中项,则 AB =__________
33 椭圆
2 1 1 2 1

35 已 知 双 曲 线 的 离 心 率 为 2 , F1 、 F2 是 左 右 焦 点 , P 为 双 曲 线 上 一 点 , 且

?F1 PF2 ? 60 ? ,

S ?PF1F2 ? 12 3 .求该双曲线的标准方程
36 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A (x1, y1) , B (x2, y2) 两点, 若 x1+x2=6, 那么|AB|等于_______ 37 过

y 2 ? 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标原点则Δ ABC 重心的横坐标为

x2 y 2 ? ? 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 36 9 x2 y 2 39 已知直线 y=-x+1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点在直线 L: a b
38 如果椭圆 x-2y=0 上,则此椭圆的离心率为_______ 40 试确定 m 的取值范围,使得椭圆 线

x2 y2 ? ? 1 上有不同的两点关于直线 y ? 4 x ? m 对称 41 如与双曲 4 3

x2 y2 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 (?3,2 3 ) 的双曲线方程为_______ 9 16

42 已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线 x

43 线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) (m 44 由动点 P 向圆 x
2

? 3 的距离之和等于 4,求 P 的轨迹方程. ? 0) ,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m,以 x 轴为对称

轴,过 A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为

? y 2 ? 1作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠APB=600,则动点 P 的轨迹方程 45 点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x ? 5 ? 0 的距离小于 1,则点 M 的轨迹方程是_______ 2 2 2 2 46 一动圆与两圆⊙M: x ? y ? 1 和⊙N: x ? y ? 8 x ? 12 ? 0 都外切,则动圆圆心的轨迹为
47 动点 P 是抛物线 y

? 2 x 2 ? 1 上任一点定点为 A(0,?1) ,点 M 分 PA 所成的比为 2,则 M 的轨迹方程

? ??

48AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a,M 为圆上一动点,作 MN⊥AB,垂足为 N,在 OM 上取点 P ,使

| OP |?| MN | ,求点 P 的轨迹。
2 2

49 若点 P( x1 , y1 ) 在圆 x 50 过抛物线 x

? y 2 ? 1 上运动,则点 Q( x1 y1 , x1 ? y1 ) 的轨迹方程是___

? 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F (-c,0)、F (c,0), a2 b2 Q 是椭圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F Q
51 已知椭圆
1 2 1 2

上,并且满足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. (2)求点 T 的轨迹 C 的方程;(3)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b 在,请说明理由.
2

. 若存在,求∠F MF 的正切值;若不存
1 2

1(答:C) ; 4(答: 5, 2 )

2(答:双曲线的左支) 5(答:

3(答: (?3, ? ) ? (? , 2) ) ; 6(答: x 2 ? y 2 ? 6 )

1 2

1 2

x2 ; ? y 2 ? 1) 4
8(答:3 或

7(答: (??,?1) ? (1, ) )

3 2

25 ) ; 3

9(答: 2 2 )

10(答:

13 13 或 ) ; 2 3
1 ; )) 16 a

11 答:[1,5)∪(5,+∞) ) ;

12(答: [

? ?

; , ]) 3 2

13(答: (0,

14(答:(17(答:2) 20(答:1) ;

15 ,-1)) ; 3
18(答: ? ?

15(答:4 或

1 ) ; 4

16(答:2) ; 19(答:相离) ; 22(答:

? 4 4 5? ? ? ,? ?) 3 ? ? 3 ? ?

21(答:等于) ;

8 13 35 ) ; 23(答:① ? 3, 3 ;② a ? ?1 ) ; 25(答: ) ; 13 3 25 2 6 28(答: ) ; 29(答:2) ; 30(答: ( 31(答:6) ; ,?1) ) 3 12 x2 y 2 3 5 3 5 , )) 32(答: ( ? ; 33(答: 8 2 ) ; 34(答: ; ? ? 1) 5 5 4 12 2 35(答:8) ; 36(答:3) ; 37(答: x ? 2 y ? 8 ? 0 ) ; 38(答: ) ; 2 ? 2 13 2 13 ? 4x2 y 2 , ? ? 1) 39(答: ? ? ) ; 40(答: ? ? 13 13 ? 9 4 ? ? 2 2 2 41(答: y ? ?12( x ? 4)(3 ? x ? 4) 或 y ? 4 x(0 ? x ? 3) ) ; 42(答: y ? 2 x ) ;
43(答: x ? y ? 4 );
2 2

?

?

44(答: y ? 16 x );
2

45(答:双曲线的一支);
48 (答:x
2

46 (答:y ? 6 x 2 ? 1 ) ;
3
2

1 47 (答:y 2 ? 2 x ? 1(| x |? ) ) ; 2 1 2

? y2 ? a | y | ) ;

49(答: y ? 2 x ? 1(| x |? ) ); 50(答: x ? 2 y ? 2 );
2

51(答: (2) x ? y ? a ; (3)当
2 2 2

b2 b2 ? a 时不存在;当 ? a 时存在,此时∠F1MF2=2) c c


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