koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

02.10函数单调性奇偶性经典例题


下面四个结论:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶 函数的图 象关于 y 轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R),其中正确命题的个数是 ( )A.1 B.2 C.3 D.4 分析:偶函数的图象关于 y 轴对称,但不一定相交,因此③正确,①错误. 奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,因此②不正确. 若 y=f(x)既

是奇函数,又是偶函数,由定义可得 f(x)=0,但不一定 x∈R,如例 1 中的(3),故④错误, 选 A. 说明:既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零. 2.复合函数的性质 复合函数 y=f[g(x)]是由函数 u=g(x)和 y=f(u)构成的, 因变量 y 通过中间变量 u 与自变量 x 建立起 函数关系,函数 u=g(x)的值域是 y=f(u)定义域的子集. 复合函数的性质由构成它的函数性质所决定,具备如下规律: (1)单调性规律 如果函数 u=g(x)在区间 [m, n] 上是单调函数, 且函数 y=f(u)在区间[g(m), g(n)] (或[g(n), g(m)]) 上也是单调函数,那么 若 u=g(x),y=f(u)增减性相同,则复合函数 y=f[g(x)]为增函数;若 u=g(x),y= f(u)增减性不同, 则 y=f[g(x)]为减函数. (2)奇偶性规律 若函数 g(x),f(x),f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的,则 u=g(x),y=f(u)都是奇函数时, y=f[g(x)]是奇函数;u=g(x),y=f(u)都是偶函数,或者一奇一偶时,y= f[g(x)]是偶函数. [例 1]已知函数 f(x)在(-1,1)上有定义,f( )=-1,当且仅当 0<x<1 时 f(x)<0,且对任意 x、y∈(- 1,1)都有 f(x)+f(y)=f(
x? y ),试证明: 1 ? xy

1 2

(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减. 知识依托:奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想. 技巧与方法:对于(1),获得 f(0)的值进而取 x=-y 是解题关键;对于(2),判定 焦点. 证明: (1)由 f(x)+f(y)=f(
x?x x? y ),令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y=-x,得 f(x)+f(-x)=f( )=f(0)=0. 1 ? xy 1? x2

x 2 ? x1 的范围是 1 ? x1 x 2

∴f(x)=-f(-x).∴f(x)为奇函数. (2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减. 令 0<x1<x2<1,则 f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(
x 2 ? x1 ) 1 ? x1 x 2

∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0,∴

x 2 ? x1 >0, 1 ? x 2 x1

又(x2-x1)-(1-x2x1)=(x2-1)(x1+1)<0

∴x2-x1<1-x2x1, ∴0<
x 2 ? x1 x ?x <1,由题意知 f( 2 1 )<0 1 ? x 2 x1 1 ? x1 x 2

即 f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(0,1)上为减函数,又 f(x)为奇函数且 f(0)=0. ∴f(x)在(-1,1)上为减函数. 一、选择题 2.函数 f(x)=
1? x2 ? x ?1 1? x2 ? x ?1

的图象(

) B.关于 y 轴对称 D.关于直线 x=1 对称

A.关于 x 轴对称 C.关于原点对称

解析:f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数,图象关于原点对称. 答案:C 二、填空题 3.函数 f(x)在 R 上为增函数,则 y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_________. 解析:令 t=|x+1|,则 t 在(-∞,-1 ] 上递减,又 y=f(x)在 R 上单调递增,∴y=f(|x+1|)在(-∞, -1 ] 上递减. 答案:(-∞,-1 ] 三、解答题 5.已知函数 f(x)=ax+
x?2 (a>1). x ?1

(1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根. 证明:(1)设-1<x1<x2<+∞,则 x2-x1>0, a x2 ? x1 >1 且 a x1 >0, ∴ a x2 ? a x1 ? a x1 (a x2 ? x1 ? 1) >0,又 x1+1>0,x2+1>0 ∴
x2 ? 2 x1 ? 2 ( x2 ? 2)( x1 ? 1) ? ( x1 ? 2)( x2 ? 1) 3( x2 ? x1 ) ? ? ? >0, x2 ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
x 2 ? 2 x1 ? 2 ? >0 x 2 ? 1 x1 ? 1

于是 f(x2)-f(x1)= a x2 ? a x1 +

∴f(x)在(-1,+∞)上为递增函数. (2)证法一:设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0,则 a x0 ? ? 1,即 <x0<2 与 x0<0 矛盾,故 f(x)=0 没有负数根.
1 2
x ?2 x0 ? 2 且由 0< a x0 <1 得 0<- 0 < x0 ? 1 x0 ? 1

6.设函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足: (i)f(x1-x2)=
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1 ; f ( x 2 ) ? f ( x1 )

(ii)存在正常数 a 使 f(a)=1.求证: (1)f(x)是奇函数. (2)f(x)是周期函数,且有一个周期是 4a. 证明:(1)不妨令 x=x1-x2,则 f(-x)=f(x2-x1)= =-f(x1-x2)=-f(x).∴f(x)是奇函数. (2)要证 f(x+4a)=f(x),可先计算 f(x+a),f(x+2a). ∵f(x+a)=f[x-(-a)]=
f (?a ) f ( x) ? 1 ? f ( a) f ( x) ? 1 f ( x) ? 1 ? ? ( f (a) ? 1) . f ( ? a ) ? f ( ? x) ? f ( a ) ? f ( x) f ( x) ? 1
f ( x 2 ) f ( x1 ) ? 1 f ( x1 ) f ( x 2 ) ? 1 ?? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) f ( x 2 ) ? f ( x1 )

f ( x) ? 1 ?1 f ( x ? a) ? 1 f ( x) ? 1 1 ? f ( x ? 2a ) ? f [( x ? a ) ? a ] ? ? ?? f ( x ? a) ? 1 f ( x) ? 1 f ( x ). ?1 f ( x) ? 1 1 ∴f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]= =f(x),故 f(x)是以 4a 为周期的周期函数. ? f ( x ? 2a )

8.已知函数 f(x)的定义域为 R,且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且

f(- )=0,当 x>- 时,f(x)>0.
求证:f(x)是单调递增函数; 证明:设 x1<x2,则 x2-x1- >- ,由题意 f(x2-x1- )>0, ∵f(x2)-f(x1)=f [(x2-x1)+x1] -f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1=f(x2-x1)+f(- ) -1=f[(x2-x1)- ]>0, ∴f(x)是单调递增函数.
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

[例 1]已知奇函数 f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式 f(x-3)+f(x2-3)<0,设不 等式解集为 A,B=A∪{x|1≤x≤ 5 },求函数 g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最大值. 知识依托:主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析:题目不等式中的“f”号如何去掉是难点,在求二次函数在给定区间上的最值问题时, 学生容易漏掉定义域. 技巧与方法:借助奇偶性脱去“f”号,转化为 x 不等式,利用数形结合进行集合运算和求最值. 解:由 ?
?0 ? x ? 6 且 x≠0,故 0<x< 6 , 得 ? 2 ?? 3 ? x ? 3 ? 3 ?? 6 ? x ? 6 ?? 3 ? x ? 3 ? 3

又∵f(x)是奇函数,∴f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2),又 f(x)在(-3,3)上是减函数, ∴x-3>3-x2,即 x2+x-6>0,解得 x>2 或 x<-3,综上得 2<x< 6 ,即 A={x|2<x< 6 }, ∴B=A∪{x|1≤x≤ 5 }={x|1≤x< 6 },又 g(x)=-3x2+3x-4=-3(x- )2- 函数,∴g(x)max=g(1)=-4. 一、选择题 1.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x,则 f(7.5)等于( A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5 )
1 2

13 知:g(x)在 B 上为减 4

解析:f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=

f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.
答案:B 2.已知定义域为(-1,1)的奇函数 y=f(x)又是减函数,且 f(a-3)+f(9-a2)<0, 是( ) A.(2 2 ,3) C.(2 2 ,4) B.(3, 10 ) D.(-2,3)

a 的取值范围

解析:∵f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数又是减函数,且 f(a-3)+f(9-a2)<0. ∴f(a-3)<f(a2-9).
?? 1 ? a ? 3 ? 1 ? ∴ ?? 1 ? a 2 ? 9 ? 1 ? 2 ?a ? 3 ? a ? 9

∴a∈(2 2 ,3).

答案:A

二、填空题 3.若 f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(-3)=0,则 xf(x)<0 的解集为_________. 解析:由题意可知:xf(x)<0 ? ?
?x ? 0 ?x ? 0 或? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0

?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 ?x ? 0 ?? 或? ?? 或? ? f ( x ) ? f ( ?3) ? f ( x ) ? f (3) ? x ? ?3 ? x ? 3

∴x∈(-3,0)∪(0,3) 答案:(-3,0)∪(0,3) 4. 如 果 函 数 f(x) 在 R 上 为 奇 函 数 , 在 ( - 1 , 0) 上 是 增 函 数 , 且 f(x+2)= - f(x), 试 比 较

f( ),f( ),f(1)的大小关系_________.
解析:∵f(x)为 R 上的奇函数 ∴f( )=-f(- ),f( )=-f(- ),f(1)=-f(-1),又 f(x)在(-1,0)上是增函数且- > - >-1. ∴f(- )>f(- )>f(-1),∴f( )<f( )<f(1). 答案:f( )<f( )<f(1) 三、解答题 5.已知 f(x)是偶函数而且在(0,+∞)上是减函数,判断 f(x)在(-∞,0)上的增减性并加以证明. 解:函数 f(x)在(-∞,0)上是增函数,设 x1<x2<0,因为 f(x)是偶函数,所以
1 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 1 3

1 3

2 3

f(-x1)=f(x1),f(-x2)=f(x2),由假设可知-x1>-x2>0,又已知 f(x)

(0,+∞)上是减函数,于是

有 f(-x1)<f(-x2),即 f(x1)<f(x2),由此可知,函数 f(x)在(-∞,0)上是增函数. 6.已知函数 y=f(x)= 且 f(1)< . (1)试求函数 f(x)的解析式; (2)问函数 f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说 明理由. 解:(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即
ax 2 ? 1 ax 2 ? 1 ?? ? bx ? c ? bx ? c bx ? c ? bx ? c
ax 2 ? 1 (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数,当 x>0 时,f(x)有最小值 2,其中 b∈N bx ? c

5 2

∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)= ∴a=b2,由 f(1)< 得
5 2

a a ax 2 ? 1 a 1 1 ? x? ≥2 2 , 当且仅当 x= 时等号成立, 于是 2 2 =2, bx b bx a b b

b2 ?1 a ?1 5 5 1 < 即 < ,∴2b2-5b+2<0,解得 <b<2,又 b∈N,∴b=1,∴a=1,∴ b 2 2 2 b

f(x)=x+ .
(2)设存在一点(x0,y0)在 y=f(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2-x0,-y0)也在 y=f(x)图象
? x0 2 ? 1 ? y0 ? ? x0 上,则 ? 2 ? ( 2 ? x0 ) ? 1 ? ? y 0 ? 2? x 0 ?

1 x

消去 y0 得 x02-2x0-1=0,x0=1± 2 . ∴y=f(x)图象上存在两点(1+ 2 ,2 2 ),(1- 2 ,-2 2 )关于(1,0)对称. 3.函数单调性与奇偶性的综合运用 例 6.甲、乙两地相距 Skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c km/h,已知汽车每小时 的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v(km/h)的平方成正比,比例系 数为 b;固定部分为 a 元. (1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km/h)的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶. 分析:(1)难度不大,抓住关系式:全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间,而全程运输 时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决.

故所求函数及其定义域为

但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过 ckm/h,所以(2)的解决需要

论函数的增减性来解决.

由于 v 1 v 2 >0,v 2 -v 1 >0,并且

又 S>0,所以



则当 v=c 时,y 取最小值.

说明:此题是 1997 年全国高考试题.由于限制汽车行驶速度不得超过 c,因而求最值的方法也就不 完全是常用的方法,再加上字母的抽象性,使难度有所增大.


推荐相关:

02.10函数单调性奇偶性经典例题

02.10函数单调性奇偶性经典例题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 02.10函数单调性奇偶性经典例题_数学_高中教育_教育专区。下面四个...


《函数的单调性和奇偶性》经典例题

函数的单调性奇偶性经典例题_数学_高中教育_教育专区。经典例题透析 类型...4. 求下列函数值域: (1) ; 1)x∈[5,10]; 2)x∈(-3,-2)∪(-2,1...


函数单调性奇偶性经典例题

函数单调性奇偶性经典例题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。函数的性质的运用 ...02.10函数单调性奇偶性经... 7页 5下载券 函数单调性与奇偶性经典... 5...


函数的奇偶性知识点及经典例题

函数的奇偶性知识点及经典例题_高一数学_数学_高中...性, 偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性. ...(4,10),{x | g ( x) ? 0} ? (2,5) ,...


《函数的单调性和奇偶性》经典例题

函数的单调性奇偶性经典例题_数学_高中教育_教育专区。经典例题透析 类型...4. 求下列函数值域: (1) ; 1)x∈[5,10]; 2)x∈(-3,-2)∪(-2,1...


函数单调性奇偶性经典练习

函数单调性奇偶性经典练习_数学_高中教育_教育专区。函数单调性奇偶性经典练习一、单调性题型 高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用,也有...


经典函数单调性及奇偶性习题

经典函数单调性奇偶性习题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。函数单调性及...f (1) ? f ( ) ,所以 f(2)<f(1)<f(2). 2 2 10.若函数 f ( ...


函数的单调性和奇偶性经典习题

函数的单调性奇偶性经典习题_数学_高中教育_教育专区。函数的单调性和奇偶性 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在 (?? ,4] 上是减函数,求 a 的...


函数单调性与奇偶性经典例题透析

函数单调性奇偶性经典例题透析(二)讲课人:张海青 授课时间:2014 年 10 月 8 日 授课地点:教学楼二楼多媒体(二) 授课对象:高三文科优生 授课过程: 类型三、...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com