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必修1第三章3.2解答题21题


必修1第三章 3.2 解答题 21 题
一、解答题 1、某乡镇现在人均一年占有粮食 360 kg,如果该乡镇人口平均每年增长 1.2%,粮食总产量平均每年增长
4%,那么 x 年后若人均一年占有 y kg 粮食,求出函数 y 关于 x 的解析式.

2、某城市现有人口总数为 100 万人,如果年自然增长率为 1.2%,试解答下面的问题: (

1)写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式; (2)计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人);(1.01210=1.127)

3、依法纳税是每个公民应尽的义务,国家征收个人工资、薪金所得税是分段计算的:总 收入不超过 2 000 元的,免征个人工资、薪金所得税;超过 2 000 元部分需征税,设全月纳税 所得额(所得额指工资、 薪金中应纳税的部分)为 x, x=全月总收入-2 000 元, 税率如表所示: 级数 1 2 3 ? 9 全月应纳税所得额 x 不超过 500 元部分 超过 500 元至 2 000 元部分 超过 2 000 元至 5 000 元部分 ? 超过 100 000 元部分 税率 5% 10% 15% ? 45%

(1)若应纳税额为 f(x),试用分段函数表示 1~3 级纳税额 f(x)的计算公式; (2)某人 2008 年 10 月份工资总收入为 4 200 元, 试计算这个人 10 月份应纳个人所得税多 少元?

4、(10 分)根据总的发展战略,第二阶段,我国工农业生产总值从 2000 年到 2020 年间要 翻两番,问这 20 年间,每年平均增长率至少要多少,才能完成这一阶段构想?

5、商场销售某一品牌的豆浆机,购买人数是豆浆机标价的一次函数,标价越高,购买人 数越少,把购买人数为零时的最低标价称为无效价格,已知无效价格为每台 300 元.现在这 种豆浆机的成本价是 100 元/台,商场以高于成本价的相同价格(标价)出售.问: (1)商场要获取最大利润,豆浆机的标价应定为每台多少元? (2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果” ,如果商场要获得最大利润的 75%, 那么豆浆机的标价应为每台多少元?

6、为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每 立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比.药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系式 ?1? 为 y=?16?t-a(a 为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题: ? ?

(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式 为 ; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时,学生方可进教室,那么 从药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.

7、为

了保护环境,实现城市绿化,某房地产公司要在拆迁地如图

所示长方形 ABCD 上规划出一块长方形地面建住宅小区公园(公园的一边落在 CD 上),但不 超过文物保护区△AEF 的红线 EF.问如何设计才能使公园占地面积最大?并求出最大面积(已

知 AB=CD=200 m,BC=AD=160 m,AE=60 m,AF=40 m).

8、养鱼场中鱼群的最大养殖量为 m t,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最 大养殖量,必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量 y t 和实际养殖量 x t 与空闲率的乘 积成正比,比例系数为 k(k>0). (1)写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出这个函数的定义域; (2)求鱼群年增长量的最大值; (3)当鱼群的年增长量达到最大值时,求 k 的取值范围.

9、(10 分)某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售 收入 R(万元)与报纸广告费用 x1(万元)及电视广告费用 x2(万元)之间的关系有如下经验公式: R=-2x12-x22+13x1+11x2-28. (1)若提供的广告费用共为 5 万元,求最优广告策略.(即收益最大的策略,其中收益=销 售收入-广告费用) (2)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略.

10、为了发展电信事业方便用户,电信公司对移动电话采用不同的收费方式,其中所使 用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30 天)的通话时间 x(分)与通话费 y(元)的关 系如图所示.

(1)分别求出通话费 y1,y2 与通话时间 x 之间的函数关系式; (2)请帮助用户计算,在一个月内使用哪种卡便宜.

11、我县某企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如
图 1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润与投资单位是万元)

(1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系; (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A,B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资, 才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到 1 万元).

12、一片森林原来的面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积
1 的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已知到今年为止, 4 2 森林剩余面积为原来的 ,(1)求每年砍伐面积的百分比; 2 (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年?

13、如图,有一块矩形空地,要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地,使其四个顶点分别落在矩
形的四条边上,已知 AB=a(a>2),BC=2,且 AE=AH=CF=CG,设 AE=x,绿地面积为 y. (1)写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出这个函数的定义域. (2)当 AE 为何值时,绿地面积 y 最大?

14、用模型 f(x)=ax+b 来描述某企业每季度的利润 f(x)(亿元)和生产成本投入 x(亿元)的关系.统计表
明,当每季度投入 1(亿元)时利润 y1=1(亿元),当每季度投入 2(亿元)时利润 y2=2(亿元),当每季度投 入 3(亿元)时利润 y3=2(亿元).又定义:当 f(x)使[f(1)-y1]2+[f(2)-y2]2+[f(3)-y3]2 的数值最小时为最 佳模型. 2 (1)当 b= ,求相应的 a 使 f(x)=ax+b 成为最佳模型; 3 (2)根据题(1)得到的最佳模型,请预测每季度投入 4(亿元)时利润 y4(亿元)的值.

15 、 根 据 市 场 调 查 , 某 种 商 品 在 最 近 的 40 天 内 的 价 格 f(t) 与 时 间 t 满 足 关 系 f(t) =
1 43 (t∈N),销售量 g(t)与时间 t 满足关系 g(t)=- t+ (0≤t≤40,t∈N).求 3 3 这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值.

16、某种商品进价每个 80 元,零售价每个 100 元,为了促销拟采取买一个这种商品,赠送一个小礼
品的办法,实践表明:礼品价值为 1 元时,销售量增加 10%,且在一定范围内,礼品价值为(n+1)元 时,比礼品价值为 n 元(n∈N*)时的销售量增加 10%. (1)写出礼品价值为 n 元时,利润 yn(元)与 n 的函数关系式; (2)请你设计礼品价值,以使商店获得最大利润.

17、已知桶 1 与桶 2 通过水管相连如图所示,开始时桶 1 中有 a L 水,t min 后剩余的水符合指数衰
减函数 y1=ae ,那么桶 2 中的水就是 y2=a-ae a 那么再过多长时间桶 1 中的水只有 L? 4
-nt -nt

,假定 5 min 后,桶 1 中的水与桶 2 中的水相等,

18、东方旅社有 100 张普通客床,若每床每夜收租费 10 元时,客床可以全部租出;若每床每夜收费
提高 2 元,便减少 10 张客床租出;若再提高 2 元,便再减少 10 张客床租出;依此情况继续下去.为 了获得租金最多,每床每夜租金选择多少?

19、芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,又可美容保健,因此
深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市 场调研,从 4 月 1 日起,芦荟的种植成本 Q(单位为:元/10 kg)与上市时间 t(单位:天)的数据情况如下 表: t 50 110 250 Q 150 108 150 (1)根据上表数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系:Q=at +b,Q=at2+bt+c,Q=a· bt,Q=alogbt; (2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.

20、某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如表:
1 2 3 月份 50 52 53.9 产量(千件) 为估计以后每月对该电脑元件的产量,以这三个月的产量为依据,用函数 y=ax+b 或 y=ax+b(a,b 为常数, 且 a>0)来模拟这种电脑元件的月产量 y 千件与月份的关系. 请问: 用以上哪个模拟函数较好? 说明理由.

21、某种放射性元素的原子数 N 随时间 t 的变化规律是 N=N0e-λt,其中 N0,λ 是正常数.
(1)说明该函数是增函数还是减函数;

(2)把 t 表示成原子数 N 的函数; N0 (3)求当 N= 时,t 的值. 2

以下是答案 一、解答题 1、解 设该乡镇现在人口量为 M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为 360M,
经过 1 年后,该乡镇粮食总产量为 360M(1 + 4%) ,人口量为 M(1 + 1.2%) ,则人均占有粮食为 360M?1+4%? 360M?1+4%?2 ;经过 2 年后,人均占有粮食为 ;?;经过 x 年后,人均占有粮食为 y= M?1+1.2%? M?1+1.2%?2 360M?1+4%?x 1.04 x ,即所求函数解析式为 y=360( ). 1.012 M?1+1.2%?x

2、 【解析】 (1)1 年后该城市人口总数为 y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).

2 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2% =100×(1+1.2%)2. 3 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2% =100×(1+1.2%)2×(1+1.2%) =100×(1+1.2%)3. ? x 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)x(x∈N). (2)10 年后人口数为 100×(1+1.2%)10≈112.7(万). 3、 【解析】 (1)第 1 级: f(x)=x· 5%=0.05x 第 2 级: f(x)=500×5%+(x-500)×10% =0.1x-25 第 3 级: f(x)=500×5%+1 500×10%+(x-2 000)×15%=0.15x-125. (0<x≤500) ?0.05x ∴f(x)=?0.1x-25 (500<x≤2 000) ?0.15x-125 (2 000<x≤5 000) (2)这个人 10 月份的纳税所得额为 4 200-2 000=2 200(元), ∴f(2 200)=2 200×0.15-125 =205(元), 即这个人 10 月份应纳个人所得税 205 元. 4、 【解析】 设平均每年增长率为 x. 从 2000 年到 2020 年共 21 年,若记 2000 年工农业总产值为 1,则 2001,2002,2003,?? 的年总产值分别为(1+x),(1+x)2,(1+x)3,?,第 n 年为(1+x)n-1. 根据题意,有(1+x)20=22,两边取对数得 20lg(1+x)=2lg2,

.

1 即 lg(1+x)=10lg2, ∴lg(1+x)=0.030 1, ∴1+x≈1.072, ∴x≈0.072=7.2%. 即平均每年增长 7.2%,即可完成第二阶段的任务.

5、 【解析】 设购买人数为 z,标价为 x,则 z 是 x 的一次函数,有 z=ax+b(a<0).又 当 x=300 时,z=0,∴0=300a+b,∴b=-300a,∴有 z=ax-300a. (1)设商场要获得最大利润,豆浆机的标价为每台 x 元,此时,所获利润为 y. 则 y=(x-100)(ax-300a) =a(x2-400x+30 000)(100<x<300). 又∵a<0,∴当 x=200 时,y 最大. 所以,标价为每台 200 元时,所获利润最大. (2)当 x=200 时,ymax=-10 000a, 令 y=-10 000a×75%, 即 a(x2-400x+30 000)=-10 000a×75%, 解得 x=150,或 x=250. 所以定价为每台 150 元或 250 元时,所获利润为最大利润的 75%.

6、

7、 【解析】 如右图所示, 设 P 为 EF 上一点, 矩形 CGPH 为划出的公园, PH=x, 则 PN=200-x. 又∵AE=60,AF=40,∴由

最大面积为 24 0662/3 m2. ?m-x? ? 8、 【解析】 (1)由题意得 y=kx? ? m ? x? ? =kx?1-m?(0≤x<m). ? ? k (2)y=-mx2+kx m? km k? =-m?x- 2 ?2+ 4 . ? ?

m km ∴当 x= 2 时,y 最大= 4 , km 即鱼群年增长量的最大值为 4 t. (3)由题意可得 0≤x+y<m, m km 即 0≤ 2 + 4 <m,∴-2≤k<2, 又∵k>0,∴0<k<2. 9、 【解析】 (1)依题意 x1+x2=5, ∴x2=5-x1, ∴R=-2x12-x22+13x1+11x2-28 =-2x12-(5-x1)2+13x1+11(5-x1)-28 =-3x12+12x1+2(0≤x1≤5), ∴收益 y=R-5=-3x12+12x1-3 =-3(x1-2)2+9≤9, 当且仅当 x1=2 时取等号. ∴最优广告策略是报纸广告费用为 2 万元,电视广告费用为 3 万元. (2)收益 y=R-(x1+x2) =-2x12-x22+13x1+11x2-28-(x1+x2) =-2(x1-3)2-(x2-5)2+15≤15, 当且仅当 x1=3,x2=5 时取等号. ∴最优广告策略是报纸广告费用为 3 万元,电视广告费用为 5 万元.

10、 【解析】 (1)由图象可设 y1=k1x+29,y2=k2x,把点 B(30,35)、C(30,15)分别代入 y1, y2 得 k1=1/5,k2=1/2. ∴y1=1/5x+29(x≥0),y2=1/2x(x≥0). (2)令 y1=y2, 即 1/5x+29=1/2x, 则 x=962/3. 当 x=962/3 时,

y1=y2,两种卡收费一致; 当 x<962/3 时,y1>y2,即便民卡便宜; 当 x>962/3 时,y1<y2,即如意卡便宜. 11、解 (1)投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元,由题设 f(x)=k1x,
g(x)=k2 x, 1 1 5 5 由图知 f(1)= ,∴k1= ,又 g(4)= ,∴k2= . 4 4 2 4 1 5 从而 f(x)= x(x≥0),g(x)= x(x≥0). 4 4 (2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10-x 万元,设企业的利润为 y 万元, x 5 y=f(x)+g(10-x)= + 10-x(0≤x≤10), 4 4 令 10-x=t, 10-t2 5 1 5 65 则 y= + t=- (t- )2+ (0≤t≤ 10), 4 4 4 2 16 5 25 当 t= ,ymax≈4,此时 x=10- =3.75,10-x=6.25. 2 4 所以投入 A 产品 3.75 万元,投入 B 产品 6.25 万元时,能使企业获得最大利润,且最大利润约为 4 万 元.

12、解 (1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0<x<1),则
1 1 a(1-x)10= a,即(1-x)10= , 2 2
1

? 1 ?10 解得 x=1- ? ? . ?2?
(2)设经过 m 年剩余面积为原来的
m 1

2 ,则 2

2 ? 1 ?10 ? 1 ? 2 m 1 a(1-x) = a,即 ? ? ? ? ? , = ,解得 m=5, 2 ?2? ? 2 ? 10 2 故到今年为止,已砍伐了 5 年. (3)设从今年开始,以后砍了 n 年, 2 则 n 年后剩余面积为 a(1-x)n. 2 2 1 2 令 a(1-x)n≥ a,即(1-x)n≥ , 2 4 4
m

? 1 ?10 ? 1 ? 2 n 3 ? ? ? ? ? ,10≤2,解得 n≤15. ?2? ?2?
故今后最多还能砍伐 15 年.

n

3

13、解 (1)S△AEH=S△CFG=2x2,
1 S△BEF=S△DGH= (a-x)(2-x). 2 ∴y=S 矩形 ABCD-2S△AEH-2S△BEF=2a-x2-(a-x)(2-x) =-2x2+(a+2)x.

1

? ?a-x>0 由? 2-x≥0 ? ?a>2

x>0

,得 0<x≤2.

∴y=-2x2+(a+2)x,定义域为(0,2]. a+2 (2)当 <2,即 a<6 时, 4 a+2 ?a+2?2 则 x= 时,y 取最大值 ; 4 8 a+2 当 ≥2,即 a≥6 时,y=-2x2+(a+2)x 在(0,2]上是增函数, 4 则 x=2 时,ymax=2a-4. a+2 ?a+2?2 综上所述:当 a<6,AE= 时,绿地面积取最大值 ; 4 8 当 a≥6,AE=2 时,绿地面积取最大值 2a-4.

14、解 (1)b=3时,[f(1)-y1]2+[f(2)-y2]2+[f(3)-y3]2
1 1 =14(a- )2+ , 2 6 1 1 2 ∴a= 时,f(x)= x+ 为最佳模型. 2 2 3 x 2 8 (2)f(x)= + ,则 y4=f(4)= . 2 3 3

2

15、解 据题意,商品的价格随时间 t 变化,且在不同的区间 0≤t<20 与 20≤t≤40 上,价格随时间
t 的变化的关系式也不同,故应分类讨论.设日销售额为 F(t). ①当 0≤t<20,t∈N 时, 1 1 43 F(t)=( t+11)(- t+ ) 2 3 3 1 21 2 1 441 =- (t- ) + ( +946), 6 2 6 4 故当 t=10 或 11 时,F(t)max=176. ②当 20≤t≤40 时,t∈N 时, 1 43 1 1 F(t)=(-t+41)(- t+ )= (t-42)2- , 3 3 3 3 故当 t=20 时,F(t)max=161. 综合①、②知当 t=10 或 11 时,日销售额最大,最大值为 176.

16、解 (1)设未赠礼品时的销售量为 m,
则当礼品价值为 n 元时,销售量为 m(1+10%)n. 利润 yn=(100-80-n)· m· (1+10%)n n =(20-n)m×1.1 (0<n<20,n∈N*). (2)令 yn+1-yn≥0, + 即(19-n)m×1.1n 1-(20-n)m×1.1n≥0. 解得 n≤9, 所以 y1<y2<y3<?<y9=y10, 令 yn+1-yn+2≥0, + + 即(19-n)m×1.1n 1-(18-n)m×1.1n 2≥0, 解得 n≥8. 所以 y9=y10>y11>?>y19. 所以礼品价值为 9 元或 10 元时,商店获得最大利润.

- 17、解 由题意得 ae-5n=a-a· e 5n,

即e

-5n

1 = .① 2

a 设再过 t min 后桶 1 中的水有 L, 4 a 1 - + - + 则 ae n(t 5)= ,e n(t 5)= .② 4 4 1 - 将①式平方得 e 10n= .③ 4 比较②、③得-n(t+5)=-10n,∴t=5. a 即再过 5 min 后桶 1 中的水只有 L. 4

18、解 设每床每夜租金为 10+2n(n∈N),则租出的床位为
100-10n(n∈N 且 n<10) 租金 f(n)=(10+2n)(100-10n) 5 225 =20[-(n- )2+ ], 2 4 其中 n∈N 且 n<10. 所以,当 n=2 或 n=3 时,租金最多, 若 n=2,则租出床位 100-20=80(张); 若 n=3,则租出床位 100-30=70(张); 综合考虑,n 应当取 3, 即每床每夜租金选择 10+2×3=16(元).

19、解 (1)由所提供的数据可知,刻画芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数不可能是常
值函数,若用函数 Q=at+b,Q=a· bt,Q=alogbt 中的任意一个来反映时都应有 a≠0,且上述三个函 数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以应选用二次函数 Q=at2+bt+c 进行描述.将 表格所提供的三组数据分别代入函数 Q=at2+bt+c,可得: 150=2 500a+50b+c, ? ? 1 3 425 ?108=12 100a+110b+c, 解得 a=200,b=-2,c= 2 . ? ?150=62 500a+250b+c, 所以,刻画芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数为 1 3 425 Q= t2- t+ . 200 2 2 3 - 2 (2)当 t=- =150(天)时,芦荟种植成本最低为 1 2× 200 1 3 425 Q= ×1502- ×150+ =100(元/10 kg). 200 2 2

20、解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得:
?50=a+b ?50=a+b, ? ? ? 或? (a>0) 2 ?52=2a+b ? ? ?52=a +b. ? ?a=2 解得? (两方程组的解相同). ?b=48 ? ∴两函数分别为 y=2x+48 或 y=2x+48. 当 x=3 时,对于 y=2x+48 有 y=54; 当 x=3 时,对于 y=2x+48 有 y=56.

由于 56 与 53.9 的误差较大, ∴选 y=ax+b 较好.

21、解 (1)由于 N0>0,λ>0,函数 N=N0e-λt 是属于指数函数 y=e-x 类型的,所以它是减函数,即原
子数 N 的值随时间 t 的增大而减少. N N 1 1 - - (2)将 N=N0e λt 写成 e λt= , 根据对数的定义有-λt=ln , 所以 t=- (ln N-ln N0)= (ln N0-ln N). N0 N0 λ λ N0 1 (3)把 N= 代入 t= (ln N0-ln N), 2 λ 1 N0 1 得 t= (ln N0-ln )= ln 2. λ 2 λ


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高一数学必修2第三章测试题及答案解析

高一数学必修2第三章测试题及答案解析_数学_高中教育_教育专区。第三章综合检测...3 D.y=2x-3 9. 两条直线 y=ax-2 与 y=(a+2)x+1 互相垂直, a ...

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