koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

二面角的几种求法


浅析二面角的求法

摘要:在高中立体几何中,求解二面角是高考的重点和难点,在历年高考中都有所体 现。二面角的求解因为方法多样、灵活多变,具有较高的区分度,较能考察学生的空 间想象能力、逻辑思维能力及计算能力,受到命题者的青睐。本文介绍了二面角以及 二面角的平面角的概念,详细讲解了二面角的几种求法。这些求法分类为定义法、空 间变换法、空间向量法以及另类求法。在每

种方法的讲解过程中,都给出了相关具体 的例题以及图形,给出了详细的解答过程。文章又根据不同的问题,分析了了各种求 法的适用情况以及各种求法的优缺点。 关键词:二面角 平面角 面积法

引言
在高中空间几何的问题中, 如何去求解两个平面的二面角的问题对很多同学来说 十分棘手。许多同学一遇到这种问题就比较头疼,特别是针对那些所给已知条件比较 少的问题。例如:在求二面角的问题中,许多都是没有给出直观的二面角的平面角, 这就要求同学们会作辅助线,同时,一些问题中还需要很高的计算能力。在历年的高 考题中,多次出现了求二面角的题目,如 2009 年的安徽卷(第 18 题) 、2010 年的安 徽卷(第 18 题) 、2012 年的安徽卷(第 18 题) 。这就说明,二面角问题在高考中是 一个热门的考点。因此,探讨求解二面角问题的方法,有很大的研究价值。

二面角问题的求解方法
对不同的求二面角的问题,可以用不同的方法来解决。总体上来讲,可以分为四种 方法,分别是:定义法、空间变换法、向量法、另类方法。 1、定义法 顾名思义,概念法指的是利用概念直接解答问题。 例 1:如图 1 所示,在四面体 ABCD 中, AC ? AB ? 1 , CD ? BD ? 2 , AD ? 3 。

图1

1

求二面角 A ? BC ? D 的大小。 分析:四面体 ABCD 的各个棱长都已经给出来了,这是一个典型的根据长度求角度 的问题。 解:设线段 BC 的中点是 E ,接 AE 和 DE 。
CD ? BD ? 2 , 根据已知的条件 AC ? AB ? 1 , 可以知道 AE ? BC 且 DE ? BC 。 又 BC

是平面 ABC 和平面 DBC 的交线。 根据定义,可以得出: ?AED 即为二面角 A ? BC ? D 的平面角。 可以求出 AE ?
3 , DE ? 3 ,并且 AD ? 3 。 2

根据余弦定理知:
AE 2 ? DE 2 ? AD 2 cos ?AED ? ? 2 AE ? DE ( 3 2 ) ? ( 3) 2 ? 32 7 2 ?? 4 3 2? ? 3 2

7 即二面角 A ? BC ? D 的大小为 ? ? arccos 。 4

同样,例 2 也是用定义法直接解决问题的。 例 2:如图 2 所示, ABCD 是正方形, PB ? 平面ABCD , PB ? AB ? 1 ,求二面角
A ? PD ? C 的大小。

图2

解:作辅助线 CE ? PD 于点 E ,连接 AC 、 AE 。 由于 AD ? CD , PA ? PC ,所以 三角形PAD ? 三角形 PCD。即 AE ? PD 。由于
CE ? PD,所以 ?AEC 即为所求的二面角的大小。

通过计算可以得到: PC ? 2 , PD ? 3 ,又 CD ? 1 ,在三角形 PCD 中可以计算

2

得到 CE ?

6 6 。由此可以得到: AE ? CE ? ,又 AC ? 2 。 3 3

2 2 2 2 2 ? ?2 AE ? CE ? AC 1 3 3 由余弦定理: cos ?AEC ? ? ?? 2 2 AE ? AC 2 2? 3 2? 即: ?AEC ? 。 3
2、空间变换法 空间变换法指的是基本的空间方法,包括三垂线法、补角法、垂面法等方法。 下面用例 3 介绍三垂线法、补角法和垂面法。

图3

例 3:如图 3 所示,现有平面 ? 和平面 ? ,它们的交线是直线 DE ,点 F 在平面 ? 内, 点 C 在平面 ? 内。求二面角 F ? DE ? C 的大小 分析:过点 C 作辅助线 CA 垂直于 DE ,作 CB 垂直于平面 ? 于点 B 。
2.1 补角法

直 接 求 解 二 面 角 F ? DE ? C 的 大 小 是 有 些 困 难 的 , 那 么 可 以 先 求 解 二 面 角
C ? DE ? B 。因为二面角 F ? DE ? C 与二面角 C ? DE ? B 是互补的关系,现在先求出

二面角 C ? DE ? B 后,二面角 F ? DE ? C 的大小就很容易计算了。
2.2 三垂线法

由于 CA ? DE , CB ? 平面 ? 。那么根据三垂线定理可以得知: CA 在平面 ? 内的 射影 AB 垂直于两平面的交线 DE 。即 AC ? DE 且 AB ? DE ,根据定义可知,二面角
C ? DE ? B 的大小即为 ?CAB 的大小。那么二面角 F ? DE ? C 的大小可以用补角法得

到。

3

2.3 垂面法

切面法的基本思想是做一个垂面,它垂直于两个平面的交线,在所得的图形中就可 以很容易观察与计算二面角。如图 3 所示,可以作平面 CAB 垂直于两个平面的交线

DE ,平面 CAB 与平面 ? 的交线是 AC ,平面 CAB 与平面 ? 的交线是 AB ,根据二面
角的定义知 ?CAB 即为所求二面角的补角,根据补角法,可以求出二面角 F ? DE ? C 的大小。 下面用例 4 来详细讲解一下垂面法。 例 4: 在图 4 中,PA ? 平面ABC ,?ABC ? 90o 。 其中 PA ? AB ? 1 ,PB ? BC ? 2 。

E 是 PC 的中点, DE ? PC 。求二面角 C ? BD ? E 的大小。

图4

解:由于 E 是 PC 的中点,且 ?PBC 是等腰三角形,那么 BD ? PC 。 又 DE ? PC ,可以推出: PC ? 平面BDE 。所以: PC ? BD 。 又 PA ? 平面ABC ,则 BD ? PA ,所以 BD ? 平面PAC 。 可以得出: 平面PAC 是 平面CBD 和 平面EBD 的公共垂面。 由此,根据垂面法知 ?CDE 即为所求二面角的平面角。 由于 VCDE ? ?CPA ,那么:

CD ?

CE 1 2 3 CE 1 3 , DE ? 。 ? CP ? ?2 ? ? PA ? ?1 ? CA 3 CA 3 3 3
1 1 1 PC ? BP 2 ? BC 2 ? 2 ? 2 ? 1。 2 2 2

又: CE ?

在三角形 CDE 中根据余弦定理可知:

4

4 1 2 ? ?1 CD ? DE ? CE 1 cos ?CDE ? ? 3 3 ?3? 4 2CD ? DE 2 3 2 3 2? ? 3 3 3
2 2 2

那么 ?CDE ? 60o 。 即求二面角 C ? BD ? E 的大小是 60 o 。
2.4 补形法

以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法,以下通过一个单独的例子 来讲解第四种方法——补形法。

例 5:在图 5 中, PA ? 平面ABCD ,四边形 ABCD 是一个直角梯形,其中 PA ? 1 ,

AD ? 1 , CD ? 1 , AB ?

1 。 ?BAD ? ?ADC ? 90? 。求半平面 PAD 与半平面 PBC 所 2

成二面角余弦值的大小。

图5

解:延长直线 DA 与 BC ,它们相交于点 E ,连接 PE 。 由题意可知, BA 平行于 CD , AB 的长度是 CD 的一半,且 BA ? AD , BA ? PA , 那么 BA ? 平面PED , CD ? 平面PED , AE ? 1 , PE ? 2 。 在三角形 PED 中, PD ? PE ? 2 , ED ? AE ? AD ? 2 。那么根据勾股定理可知
?DPE ? 90? ,即 DP ? PE 。

CD ? 平面PED , DP ? PE ,且 DP 是 CP 在平面 PED 内的射影,根据三垂线定理

知: CP ? PE 。 又 DP ? PE ,即 ?CPD 即为所求的二面角。

5

在 Rt ?CDP 中, CD ? 1 , PD ? 2 , PC ? 3 。那么 cos ?CPD ?
6 。 3

6 。 3

所以平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的余弦值大小是

在有些问题中,所给的图形不是能够很好观测到二面角的平面角,可以通过补形的 方法来观测二面角的平面角。 在例 5 中, 很好的运用了补形法和三垂线法来解决问题, 这也告诉我们,可以在一个问题中使用多种方法来达到解决问题目的。 3、向量法
3.1 二面角和两平面的夹角之间的关系

两平面的夹角有两个,它们之间互补,取它们中角度较小的为 ?1 ,那么 ?1 的取值范

? 围是 (0, ] 。而二面角是指两个特定的半平面所组成的图形,二面角 ? 2 的取值范围是 2
(0, ? ) 。

但是我们可以利用两个平面的夹角来求二面角,它们之间的关系具体如下: 如果 0 ? ? 2 ? 如果

?
2

, ?2 ? ?1 。 (1)

?
2

? ? 2 ? ? , ?2 ? ? ? ?1 。 (2)

因此,在用空间向量法求解二面角的时候,必须先判断二面角的大小是锐角还是钝 角,然后由以上发现的规律来求解。当然,前提是先求出两平面的夹角。
3.2 平面法向量的求法

两平面间的夹角一般根据两平面的法向量来求。如果平面方程已知,平面的法向量 可以直接给出,如果平面方程未知,法向量可以根据平面内的三个点的坐标求出来。 如图 7 所示: 例 6 : 如 图 6 所 示 在 平 面 ? 内 , 已 知 三 点 X ? ( x1 , y1 , z1 ) , Y ? ( x2 , y2 , z2 ) ,

Z ? ( x3 , y3 , z3 ) 。

图6

6

下面求解平面 ? 的一个法向量 n 。 解法一: 设平面 ? 的方程为 Ax ? By ? Cz ? D ? 0 将点 X , Y , Z 的坐标分别代入方程可以解出系数 A , B , C , D 。 在此特别强调一下, 三个点带入方程后得到的应该是一个四元三次方程, 可能无解, 如果有解,那么一定有无数多个解。可以通过解方程,将 A , B , C 全部用 D 表示, 这样就可以得到一个形如 2Dx ? 5Dy ? 4Dz ? D ? 0 的方程,可以将新得到的方程两边 同时除以 D ( D一定不等于0 ,否则 A=B ? C ? D ? 0 ,方程无意义) ,那么就可以得 到平面的方程 2 x ? 5 y ? 4 z ? 1 ? 0 。 得到了平面的一般方程,即得平面的法向量坐标 n ? {A, B, C} 。 解法二: 在图 7 中,由所给的信息,可以求出向量 XY 、 XZ 的大小。设平面 ? 的一个法向 量 n ? {x, y, z} 。 若 XY ? {a1, b1, c1} , XZ ? {a2 , b2 , c2} 。 由 n ? XY ? 0 , n ? XZ ? 0 可以得到:

? a1 x ? b1 y ? c1 z ? 0 ? ?a2 x ? b2 y ? c2 z ? 0
可以求解出 x , y , z 的关系。此方程一定有无数多个解,可以将 x , y 用 z 表示。 如 n ? {2z, 4z, z} ,由此可知向量 n ? {2, 4,1} 是平面 ? 的一个法向量。
3.3 两平面夹角的公式

两平面相交时,定义它们之间的夹角 ? 为它们法向量的夹角为 ? n1 , n2 ? ,其中 。于是: ni ? { Ai , Bi , Ci }, i? 1, 2
cos ? ? n1 ? n2 n1 ? n2 ? A1 ? A2 ? B1 ? B2 ? C1 ? C2 A12 ? B12 ? C12 ?
2 2 2 A2 ? B2 ? C2

7

3.4 两平面的夹角转化成二面角

利用上述方法,先求出两平面的法向量,再求两平面的夹角,从而得出二面角的大 小。 例 7:如图 7,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直, AB= 2 ,AF=1,M 是
线段 EF 的中点。 (Ⅰ)求证 AM∥平面 BDE; (Ⅱ)求二面角 A—DF—B 的大小; 解: (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系。设 AC ? BD ? N ,连接 NE,
? 2 2 2 2 (0,0,1), ∴ NE =( ? , ,0) 、 ,? ,1) , 2 2 2 2 2 2 0) 又点 A、M 的坐标分别是( 2, 2, 、 ( , ,1) 2 2 ? 2 2 ∴ AM =( ? ,? ,1) ∴NE=AM 且 NE 与 AM 不共线, 2 2 ∴NE∥AM。又∵ NE ? 平面 BDE, AM ? 平面 BDE,

则点 N、E 的坐标分别是(

∴AM∥平面 BDF。 (Ⅱ)∵AF⊥AB,AB⊥AD,AF ? AD ? A, ∴AB⊥平面 ADF。 ∴ AB ? (? 2 ,0,0) 为平面 DAF 的法向量。 ∵ NE · DB =( ?
?
?
?

图7

? ? 2 2 2 2 ,? ,1) · ,? ,1) · ( 2 , 2 ,0) =0 (? 2 , 2 ,0) =0,∴ NE · NF =( ? 2 2 2 2 ? ? ? 1 得:NE⊥DB,NE⊥NF,∴ NE 为平面 BDF 的法向量。∴cos< AB , NE >= AB 与 NE 的夹角是 2

60? 。即所求二面角 A—DF—B 的大小是 60? 。

4、另类方法 比较常用的另类方法是四面体体积法、角度法和面积摄影法。
4.1 四面体体积法

例 8:如图 8 所示,在空间四面体 A ? BCD 中,四面体的所有棱长都是 1,求二面 角 A ? BD ? C 正弦值的大小。

图8

分析:过点 A 作辅助线 AO ? 平面 BCD 于点 O ,过点 A 作辅助线 AE ? BD 于点 E , 连接直线 EO ,?AEO ? ? ,sin ? ?
AO 。 由于四面体 A ? BCD 是一个正四面体, ?AEO AE
8

即为所求二面角。 (也可以推导出当四面体不是正四面体时 ?AEO 同样是所求的二面 角) 正四面体 A ? BCD 的棱长是 1,可以求出正四面体 A ? BCD 的体积是
2 12

VA? BCD ?

1 AO ? S BCD 3

AO ? S BCD ? ( BD ? AE ) AE 2sin ? ? S BCD ? S ABD ? ? 3 BD 3 BD
2 3 , BD ? 1, S ABD ? S BCD ? 12 4

根据已知条件可知: VA? BCD ? 可以求出: sin ? ?
2 2 3

当四面体 A ? BCD 不是正四面体时也可以用这种方法求解,只需要知道体积、两个 面的面积、公共边的长度就可以解出二面角的大小了。
4.2 角度法

例 9: 如图 9 所示, 以点 A 为顶点的三条射线分别是 AB 、AC 、AD , 其中 AB 、AD
AC 的夹角是 ? 2 , AC 、 的夹角是 ?1 , 现在要求二面角 C ? AB ? D AB 、 AD 的夹角是 ? 3 。

的大小。

图9

分析:现在设 CB ? AB ,并且 DB ? AB (由于 AB 、 AC 、 AD 的长度没有给出, 这样的假设是合理可行的) ,那么 ?CBD 即为所求二面角的大小。 根据已知条件可以得到:

BD ? AB ? tan ?1, AD ?

AB cos ?1

9

BC ? AB ? tan ?2 , AC ?
2 2 2

AB cos ?2

又 CD ? AC ? AD ? 2 AC ? AD ? cos ?3 将 AD ?
2

AB AB 、 AC ? 带入得到: cos ?1 cos ?2
2

CD ? AB (

2cos ?3 1 1 ? ? ) 2 2 cos ?1 cos ?2 cos ?1 ? cos ?2

在三角形 BCD 中,
BC ? BD ? CD cos ?CBD ? 2 BC ? BD
2
2 2 2

AB ? tan 2 ?1 ? AB ? tan 2 ?2 ? AB ( ?
2

2

2

2cos ?3 1 1 ? ? ) 2 2 cos ?1 cos ?2 cos ?1 ? cos ? 2

2 AB ? tan ?1 ? tan ?2
(tan 2 ?1 ? 2cos ?3 1 1 ) ? (tan 2 ? 2 ? )? 2 2 cos ?1 cos ? 2 cos ?1 ? cos ? 2 2 tan ?1 ? tan ? 2

?

2 cos ?3 ?1?1 cos ?1 ? cos ? 2 ? 2 tan ?1 ? tan ? 2
? cos ?3 ? cos ?1 ? cos ? 2 cos ?1 ? cos ? 2

即: ?CBD ? arccos

cos ?3 ? cos ?1 ? cos ? 2 cos ?1 ? cos ? 2

通过这种方法,可以在没有任何长度条件的情况下求解出二面角的大小,因此,该 方法是一个比较特殊实用的方法。
4.3 面积射影法

例 10: 一个平面多边形的面积为 S, 它在另一个平面上的射影多边形的面积为 S 1 , 若多边形所在平面与另一个平面构成的二面角为 ? ,则 cos? ?
S1 S

10

D1

C1

解:如图 10,设 AB ? 3 ,
F

9 3 11 , S ?AEF ? 可求得 2 2 (? AE ? EF ? 10, AF ? 22) S ?ABC ?
且 ?AEF 在平面 ABCD 上的射影为 ?ABC
S ?ABC S ?AEF 9 3 ? 2 ? , 3 11 11 2

A1

B1

D

E

C

A

B

? cos? ?

图 10

tan? ?

2 3

D1

C1 B1

A1

F

或解:如图 11 把 ?AEF 、 ?ABC 分别扩充 成菱形 AEFG、正方形 ABCD。 同样,菱形 AEFG 在底面上的射影 为正方形 ABCD,同上也可求出正确
A B G D C

E

图 11

答案。注:面积射影法对这种“无棱二面角”比较方便。

5.小结
首先要指出的是给出的 3 种另类方法,如果给出的问题条件特殊,可以用四面体体 积法、角度法或者面积射影法来解决,使用 3 种另类方法无疑是最简单的方法,直接 套用公式即可解出结果。 如果遇到的问题不能用另类方法解决,则尽量运用概念法和几何法来解决,因为这 两种方法的计算量小,不容易出错。但是很多问题所给的条件不够的,很多图形都只 给出了部分条件, 其他条件需要推导计算出来, 因此, 要灵活运用概念法、 三垂线法、 割补法以及切平面法,有时甚至需要几种方法的混合使用才能够求解出二面角,例 4 和例 5 中也可以看出这几种方法混合使用的效果。 还有, 如果问题给出的图形容易建立直角坐标系, 并且各个点的坐标不是很复杂时, 使用空间向量法是一个不错的选择。它可以省去很多推导过程,只需要细心地运算, 就可以把平面的二面角解出来。 当然, 倘若问题的数据巨大, 这种方法就不是很适用。 到目前为止只总结出了这些方法,可能还有很多实用的方法没有考虑到。总结出的 方法中可能有不足之处,还请指出改正。
11

参考文献 [1] 周建军.浅析二面角的平面角定位[J].Manage Journal,2010 年,06 期,349-349 页 [2] 李淑芸.求解二面角的六种常规方法[J].中学教学参考,2010 年,08 期,31-32 页 [3] 程从鲁.二面角问题解法概述[J].安庆师范学院学报,2004 年,02 期,118-120 页 [4] 李天宁.求二面角的一个实用模型[J].中学教学参考,2010 年,28 期,75-75 页 [5] 陈发帮.浅谈二面角中两类常见模型及特殊求角技巧[J].科学咨询,2010 年,04 期,85-85 页 [6] 苏承湖.三棱锥的侧棱所成的角与侧面所成二面角的关系[J].数学通讯,2006 年,06 期,45-47 页 [7] 温得成.二面角的另一求法[J].数学学习与研究,2010 年,09 期,69-69 页 [8] 李开琥.返璞归真培养学生空间思维能力[J].中学数学教学,2010 年,03 期,27-28 页 [9] 文丽,吴良大.高等数学(第二册)[M].北京.北京大学出版社.2001 年,67-67 页 [10] 刘绍学.人教版-新课程高中数学 A 必修二[M].北京.人民教育出版.2004 年.71-71 页 [11] Vratislav Horálek. Stereology of dihedral angles[J]. Applications of Mathematics, 2000 年,第 45 卷,第 6 期,411-417 页

12


推荐相关:

二面角大小的几种求法(归类总结分析)

二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强,方法的灵活性较大,一般而言,二面角的大小往往转化 为其平面角的大小,从而又化归为三角形的内角大小,在...


二面角大小的几种求法(归类总结分析)

二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强,方法的灵活性较大,一般而言,二 面角的大小往往转化为其平面角的大小,从而又化归为三角形的内角大小,...


二面角的几种求法1

二面角的几种求法1_数学_高中教育_教育专区。二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下: 一、定义法:以二面角的棱 a 上任意一点 O 为端点,在两个...


二面角求法大全

二面角求法大全_高二数学_数学_高中教育_教育专区。定义法,三垂线法,垂面法,...面积法比找棱法似乎要简单些, 但看问题不能简单化, 5 的第二种解法是非常...


二面角求法及经典题型归纳

以下是求二面角的五种方法总结,及题形归纳。 定义法: 定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这 两个半平面...


例谈二面角的几种求法 2

P A O B 例、在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 是正方形,PA⊥ 平面 ABCD, PA=AB=a,求二面角 B-PC-D 的大小。 P H A j B 二、三垂线定理法: 已知二面角...


二面角问题求解方法大全

五法求二面角 一、 定义法: 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面, 在棱上取 点,分别在...


五种方法法求二面角及限时练习

五种方法法求二面角及限时练习_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 五种方法法求二面角及限时练习_数学_高中教育_教育专区。...


20160328示范课材料《二面角的几种求法》

20160328示范课材料《二面角的几种求法》_高三数学_数学_高中教育_教育专区。二面角的几种求法 学案一、知识要点 1、二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com