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《走向高考》2014高三数学二轮专题复习课件:6-1不等式与线性规划


走向高考· 数学
新课标版 ·二轮专题复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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专题九

选 内 考 容

专题九 选考内容

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专题


第三讲 不 式 讲 等 选

专题九

第三讲

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考向聚焦

3

高频考点

核心整合

4

课后强化作业

专题九

第三讲

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考向聚焦

专题九

第三讲

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考向分析 () 考查含绝对值不等式的解法和证明. 1 () 考查证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析 2 法. 命题规律 单独命制含绝对值不等式的解法或含参数的讨论问题及 证明不等式,其中恒成立问题和不等式有解的讨论是重点考 查、经常考查内容.

专题九

第三讲

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核心整合

专题九

第三讲

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知识方法整合 1.不等式的基本性质 () 对于任意两个实数a、b有且只有以下三种情况之一成 1 立:a>b?a-b>0,a<b?a-b<0,a=b?a-b=0. () 不等式的基本性质 2 ①a>b?b<a. ②a>b,b>c?a>c. ③a>b?a+c>b+c.

专题九

第三讲

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④a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc. ⑤a>b>0?an>bn>( n∈N*,n≥2). 0 ⑥a>b>0? a> b>( n∈N*,n≥2). 0 2.基本不等式 a+b () 如果a、b都是正数,那么 2 ≥ ab ,当且仅当a=b 1 时取等号. n n

专题九

第三讲

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() 已知x、y都是正数,①如果积xy是定值P, 么 2 那 当 x=y 时,和x+y有最小值2 P;②如果和x+y是定值S,那么当x= S2 y时,积xy有最大值 4 . a+b+c 3 () 如果a、b、c∈R+, 么 3 那 ≥ abc ,当且仅当a 3 =b=c时,等号成立.

专题九

第三讲

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2.绝对值不等式 () 设a、b为实数,则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. 1 () 设a、b、c为 数 则 2 实, |a-c|≤|a-b|+|b-c|.

() 含绝对值不等式的解法 3 ①|ax+b|>c或|ax+b|<c型,利用a>0时|x|<a?-a<x<a, |x|>a?x<-a或x>a求 . 解 ②|x-a|| x-b|≥c或|x-a|| x-b|≤c型 可 用 义 段 ± ± ,利定分 讨论,也可构造函数图解或利用几何意义求解.

专题九

第三讲

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3.不等式的证明方法:比较法、分析法、综合法、反证 法、放缩法.

专题九

第三讲

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疑难误区警示 1.应用不等式的性质时,要注意限制条件. 2.|a-b|≤|a|+|b|中 号 立 条 是 等成的件 b|≤|a|+|b|中 号 立 条 是 等成的件 ab≥0; ab≥0. a· b≤0;|a+

||a|-|b||≤|a-b|等 成 的 件 号立条是

3.用基本不等式求最值时,若连续进行放缩,只有各等 号成立的条件保持一致时,结论的等号才成立.

专题九

第三讲

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高频考点

专题九

第三讲

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含绝对值不等式的解法
(03 21· 唐徕回中模拟)设函数f(x)=|2x-m|+4x. f(x)≤1;

() 当m=2时 解 等 : 1 ,不式

() 若不等式f(x)≤2的 集 2 解 为 {x|x≤-2},求m的值.

专题九

第三讲

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[分析]

() 不等式f(x)≤1,即|2x-2|+4x≤1,令2x-2= 1

0得x=1,可按x≥1与x<1分段讨论. m m m () 令2x-m=0得x= 2 ,按x≤ 2 及x> 2 ,将f(x)表 为 2 示分 段函数,求出f(x)≤2的 集 再 解 为 解,由集 值. {x|x≤-2}确定m的

专题九

第三讲

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[解析]

() 当x≥1时 原 等 化 : 1 ,不式为

2x-2+4x≤1,即

1 x≤2,此时无解; 当x<1时 原 等 化 : ,不式为 2-2x+4x≤1,

1 1 即x≤- ,∴不等式的解x≤- , 2 2 1 综上:不等式的解集为{x|x≤-2}.

专题九

第三讲

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m ? ?6x-m ?x≥ 2 ?, () 解法1:f(x)=? 2 ?2x+m ?x<m?. 2 ? m m 函数f(x)在(-∞, )上为增函数,在[ ,+∞)上为增函 2 2 m 数,且在x= 2 时,函数是连续的,所以,函数f(x)在(-∞, +∞)上是单调递增的. 若不等式f(x)≤2的 集 解 为 {x|x≤-2},

专题九

第三讲

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m 若 ≥-2,则2×(-2)+m=2,此时m=6, 2 m 若 2 <-2,则6×(-2)-m=2,此时m=-14, 所以,m=6或m=-14时,不等式f(x)≤2的 集 解为 {x|x≤2}.

专题九

第三讲

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m ? ?6x-m ?x≥ 2 ?, 解 2:∵f(x)=? 法 ?2x+m ?x<m?. 2 ? ∴不 式 f(x)≤2化 等 为 ?6x-m≤2, ?2x+m≤2, ? ? ? m 或? m ?x≥ 2 , ?x< 2 . ? ? ? 2+m ?x≤ 6 , ∴? ?x≥m, 2 ? ? 2-m ?x≤ 2 , 或? ?x<m. ? 2
专题九 第三讲

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∵f(x)≤2的解集为{x|x≤-2}, ?2+m ? =-2, 6 ? 2-m m ?m 2+m ∴ 2 =-2< 2 或? < 2 6 , ? ?2-m m ? 2 >2. ? ∴m=6或m=-14.

专题九

第三讲

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(文)03 ( 1· 2

哈三中模拟)设函数f(x)=|2x+1|-|x-3 .|

() 解不等式f(x)0 ; 1 > () 已知关于x的不等式a+3<f(x)恒 立 求 数 2 成,实 范围. a的取值

专题九

第三讲

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[解析]

() ∵f(x)=|2x+1|-|x-3| 1

x≥3, ?x+4, ? ?3x-2, -1≤x<3, 2 =? ? 1 ?-x-4, x<- . 2 ? ∴不等式f(x)0 化为 >
?x+40 , > ? ? ?x≥3, ?

> > ?3x-20 , ?-x-40 , ? ? 或? 1 或? 1 ?-2≤x<3, ?x<-2. ? ?

专题九

第三讲

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2 ∴x<-4或x> , 3 2 即不等式的解集为(-∞,-4)∪(3,+∞). () ∵f(x)m 2 n i 7 13 2,∴a<- 2 . 7 =- ,∴要使a+3<f(x)恒 立 只 成,要 2 a+3<-

专题九

第三讲

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(理)03 ( 1· 2 g(x)=x+3.

新课标Ⅰ,2) 已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|, 4

() 当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集; 1 a 1 () 设a>-1,且当x∈[- , )时,f(x)≤g(x),求a的取值 2 2 2 范围.

专题九

第三讲

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[解析]

() 当a=-2时 不 1 , 等 式f(x)<g(x)化为

|2x-1|+|2x-2|-x-30 <. 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则 1 ? ?-5x,x<2, ? 1 y=? ?-x-2,2≤x≤1, ? 1 ?3x-6,x>.

专题九

第三讲

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其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x∈(2 0) , y<0,所以原不等式的解集是{x|< x<} . 0 2

时,

专题九

第三讲

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a 1 () 当x∈[- , )时,f(x)=1+a. 2 2 2 不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3. a 1 所以x≥a-2对x∈[- , ]都成立. 2 2 a 4 故-2≥a-2,即a≤3. 4 ∴a的取值范围是(-1,3].

专题九

第三讲

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不等式有解与恒成立问题

(02 21·

河南乡、平顶山、许昌三调)已知函数f(x)

=|x-3|+|x-a|,a∈R. (1)当a=0时,解关于x的不等式f(x)4 ; > () 若?x∈R, 得 等 2 使不式 数a的取值范围. |x-3|+|x-a|4 成 , 实 < 立求

专题九

第三讲

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[分析] 求解.

() 按x=0和3分段讨论或利用绝对值的几何意义 1

() ?x∈R,使不等式f(x)4 成立,即f(x)的 小 小 2 < 最值于

4.

专题九

第三讲

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[解析]

() 由a=0知 不 式 1 原等为

|x-3|+|x|4 >

7 当x≥3时,2x-34 , 得 x>2. > 解 当0≤x<3时,34 , 解 > 无. 1 当x<0时,-2x+34 , 得 x<- . > 解 2 1 7 故解集为{x|x<-2或x>2}.

专题九

第三讲

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() 由?x∈R,|x-3|+|x-a|4 成立可得,(|x-3|+|x- 2 < a|)m <. n 4 i 又|x-3|+|x-a|≥|x-3-(x-a)|=|a-3|, 即(|x-3|+|x-a|)m =|a-34 <. | n i 解得-1<a<. 7

专题九

第三讲

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[点评]

设 数 y=f(x)的最大值为M,最小值为m,若 函

f(x)<c恒成立,则c>M;若f(x)>c恒成立,则c<m;若f(x)<c有 解,则c>m;若f(x)>c有 , 解 则 c<M.

专题九

第三讲

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(02 21·

河洛市考 南阳统

)设 数 f(x)=|x+1|+|2x-4 函 .|

() 画 函 1 出 数 y=f(x)的 象 图; () 若 于 x的 等 2 关 不 式 f(x)≥a +1恒 立 试 实 x 成,求数 值围 范. a的 取

专题九

第三讲

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[解析]

() 由于f(x)=|x+1|+|2x-4| 1

?-3x+3,x≤-1, ? =?-x+5,-1<x≤2, ?3x-3,x>2, ? 则函数y=f(x)的 象 图 示 图如所.

专题九

第三讲

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() 当x=2时,f() =3. 2 2 当直线y=ax+1过点(3 2) , 时,a=1.

由函数y=f(x)与函数y=ax+1的图象知, 当且仅当-3≤a≤1时,函数y=f(x)的 象 有 函 图没在数 =ax+1的图象的下方, 因此f(x)≥ax+1恒 立 , 成时 a的取值范围为[-3,1 ] . y

专题九

第三讲

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不等式的证明
(文)已知a、b、c均 正 , 明 为数证:
?1 1 1? +?a+b+ c?2≥6 ? ?

a2+b2+c2

3,并确定a、b、c为何值时,等号成立.

[分析]

根基不式均不式明 据本等或值等证.

专题九

第三讲

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[解析]

证 : (证法1) 明

因为a、b、c均为正数,由平均值不等式得 2 a +b +c ≥3(abc)3①
2 2 2

1 1 1 1 + + ≥3(abc)- a b c 3
? 1 1 1? 2 ? + + ?2≥9(abc)- ② 所以 a b c 3 ? ?

故a +b +c

2

2

2

?1 1 1? 2 2 ? + + ?2≥3(abc) +9(abc)- . +a b c 3 3 ? ?

专题九

第三讲

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2 2 又3(abc) +9(abc)- ≥2 27=6 3③ 3 3 所以原不等式成立. 当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当 2 2 3(abc) =9(abc)- 时,③式等号成立. 3 3 1 即当且仅当a=b=c=34时,原式等号成立.

专题九

第三讲

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(证法2) 因为a、b、c均为正数,由基本不等式得 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac. 所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac① 1 1 1 1 1 1 同理a2+b2+c2≥ab+bc+ac② 故a +b +c
2 2 2

?1 1 1? +?a+b+c ?2 ? ?

专题九

第三讲

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3 3 3 ≥ab+bc+ac+ + + ≥6 3.③ ab bc ac 所以原不等式成立. 当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a =b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立. 1 即当且仅当a=b=c=34时,原式等号成立.

专题九

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[点评]

本考基不式均不式基知, 题查本等、值等等本识

同时考查了等号成立的条件及论证推理能力.

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(理)02 ( 1· 2

河邯市拟 北郸模

)) 若|a|1 ,|b|1 ,比较|a+b| ( 1 < <

+|a-b|与2的 小 并 明 由 大,说理; () 设m是|a|、|b|和1中 大 一 , 2 最的个当 b + 2<. |2 x |x|>m时 求 : ,证 a | x

专题九

第三讲

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[解析]

() a+b|-|a-b|2 1 | <.

∵|a|1 ,|b|1 , < < ∴当a+b≥0,a-b≥0时,|a+b|+|a-b|=(a+b)+(a- b)=2a≤2|a|2 , < 当a+b≥0,a-b<0时,|a+b|+|a-b|=(a+b)+(b-a) =2b≤2|b|2 , < 当a+b<0,a-b≥0时,|a+b|+|a-b|=(-a-b)+(a-b) =-2b≤2|b|2 , <

专题九

第三讲

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当a+b<0,a-b<0时,|a+b|+|a-b|=(-a-b)+(b-a) =-2a≤2|a|2 , < 综上知,|a+b|+|a-b|2 <. () ∵m是|a|,|b|与1中 大 一 , 2 最的个 又∵|x|>m,∴|x|1 , > |a| |b| ∴|x|>m≥|a|,|x > ≥|b|,∴|x| <1,|x2|<1, |1
2

∴m≥1,

a b |a| |b| ∴| + 2|≤ + 2 <1+1=2, x x |x| |x | ∴原不等式成立.
专题九 第三讲

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(03 21·

全国新课标Ⅱ理,24)设a、b、c均 正 , 为数且

a+b

+c=1,证明: 1 () ab+bc+ac≤3; 1 a2 b2 c2 () b + c + a ≥1. 2

专题九

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[解析] 得,

() 由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca 1

a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 1 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤3.

专题九

第三讲

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a2 b2 c2 () 因为 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c, 2 b c a a2 b2 c2 故 b + c + a +(a+b+c)≥2(a+b+c), a2 b2 c2 即 + + ≥a+b+c. b c a a2 b2 c2 所以 b + c + a ≥1.

专题九

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[方法规律总结] 1.解含绝对值符号的不等式一般用分段讨论法:令各绝 对值号内表达式为零,解出各分界点,按分界点将实数集分 段. 2.注意区分a<f(x)有 与 a<f(x)恒成立,设m≤f(x)≤M, 解 则a<f(x)有解?a<M,a<f(x)恒成立?a<m.

专题九

第三讲

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课后强化作业(点此链接)

专题九

第三讲


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