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3.2立体几何中的向量方法6(综合问题)


3.2 立体几何中的向量方法 ——综合问题

一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。

(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何 问题转化为向量问题; (化为向量问题) (2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;

(进行向量运算) (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 (回到图形)

向量的有关知识:
两向量数量积的定义:a· b=|a|· |b|· cos〈a,b〉

a ?b 两向量夹角公式:cos 〈a,b〉 = a?b
直线的方向向量:与直线平行的非零向量 平面的法向量:与平面垂直的向量

例1:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B
处。从A,B到直线 l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
BD ? b , CD ? c , AB ? d . 解:如图, AC ? a , 化为向量问题 根据向量的加法法则 AB ? AC ? CD ? DB
?
C D B

进行向量运算

?
2

A 图3

d ? AB ? ( AC ? CD ? DB )
2

2

? AC ? CD ? BD ? 2( AC ? CD ? AC ? DB ? CD ? DB)
? a 2 ? c 2 ? b2 ? 2 AC ? DB ? a 2 ? c 2 ? b2 ? 2CA ? DB 于是,得 2CA ? DB ? a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2

2

2

2

? 就是库底与水坝所成的二面角。 设向量 CA 与 DB 的夹角为 ? ,

因此

2abcos? ? a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 .

所以

a 2 ? b2 ? c 2 ? d 2 cos? ? . 2ab

回到图形问题
2 2 2 2 a ? b ? c ? d 库底与水坝所成二面角的余弦值为 . 2ab

解2:如图,

?
C

B

D

?

A
图3

例1:如图3,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B 处。从A,B到直线 l(库底与水坝的交线)的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 思考: (1)本题中如果夹角 ? 可以测出,而AB未知,
?
C D A 图3 B

其他条件不变,可以计算出AB的长吗?
分析:由 AB ? ( AC ? CD ? DB )2
2

?

? AB ? CD ? BD ? 2( AC ? CD ? AC ? DB ? CD ? DB )

2

2

2

? a 2 ? c 2 ? b2 ? 2abcos?

∴ 可算出 AB 的长。

(2)如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对

D1
A1 B1 D C B

C1

角线的长,并且以同一顶点为端点的各棱间的夹
角都相等,那么可以确定各棱之间夹角的余弦值 吗? 分析:如图,设以顶点 A 为端点的对角线
2

A

长为 d ,三条棱长分别为 a , 各棱间夹角为 ? 。 b, c,
则 d ? A1C ? ( AB ? AC ? CC1 ) 2
2

? a 2 ? c 2 ? b2 ? 2(ab ? bc ? ac) cos?
? d 2 ? a 2 ? b2 ? c 2 cos? ? 2(ab ? bc ? ac)

(3)如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 a ,并且以某一顶点
为端点的各棱间的夹角都等于? ,那么可以确定这个四棱柱相邻两 D1 个面夹角的余弦值吗? 分析: 二面角 ? 平面角 ?向量的夹角 ? 回归图形 解:如图,在平面 AB1 内过 A1 作 A A1E⊥AB 于点 E, 在平面 AC 内作 CF⊥AB 于 F。
则 A1 E ? CF ? a sin? , AE ? BF ? a cos?
A1 B1 C B F C1

D E

? cos? ? cos ? EA1 , FC ?? cos ? A1 E , CF ?
? A1 E ? CF | A1 E || CF |

?

( A1 A ? AE ) ? (CB ? BF ) a 2 sin2 ?

a 2 cos? ? a 2 cos? cos( ? ? ? ) ? a 2 cos? cos(? ? ? ) ? a 2 cos2 ? ? a 2 sin2 ? cos? ? 1 ? cos? ∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。

例2、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质 量为500kg,在它的顶点处分别受力F1,F2,F3, 每个力与同它相邻的三角形的两边之间的角都 是60°,且|F1|=|F2|=|F3|=200kg.这块钢板在这 些力的作用下将会怎样运动?这三个力最小为多 F3 少时,才能提起这块钢板?
分析:钢板所受重力的大 小为 500kg ,垂直向下作用在 三角形的中心 O ,如果能将各 顶点出所受的力 F1 、F2 、F3 用 向量形式表示,求出其合力,A 就能判断钢板的运动状态.

F1 F2 o

C

500kg

B

F2
F3

F1 A

F1

F3 F2 O C

B
500kg

F2 F3 F1

合力就是以 F1 、 F2 、 F3 为棱的平行六面体的对角线 向量(如图所示)

解:如图,以点 A为原点,平面 ABC为xAy坐标

平面, AB方向为y轴正方向, AB 为y轴的单位长度 建立空间直角坐标系 Axyz, 则正三角形的顶点 3 1 坐标分别为A(0,0,0), B(0,1,0),C (? , ,0). 2 2 z
F1
O A
x 500kg

F3
C

F2
B

y

设力F1方向上的单位向量坐标 为( x, y, z ),
?

由于F1与 AB, AC的夹角均为 60 ,利用向量 1 的数量积运算,得 cos60 ? ? ( x, y, z ) ? (0,1,0), 2 1 ? cos60 ? 2 z 3 1 F3 ? ( x, y , z ) ? ( ? , ,0), 2 2 F1
?

C

F2

1 1 解得x ? ? ,y? . 12 2
x

O A
500kg

B

y

2 又因为x ? y ? z ? 1,因此z ? 3
2 2 2

1 1 2 所以F1 ? 200(? , , ) 12 2 3 类似地
1 1 2 F2 ? 200(? ,? , ) 12 2 3 1 2 F3 ? 200( ,0, ) 3 3
x z

F1
O A

F3
C

F2
B

500kg

y

它们的合力F1+F2 ? F3 1 1 2 1 1 2 1 2 ? 200[(? , , ) ? (? ,? , ) ? ( ,0, )] 12 2 3 12 2 3 3 3 ? 200(0,0, 6 )
这说明,作用在钢板上 的合力方向向上, 大小为200 6kg, 作用点为O. 所以钢板仍静止不动。
x z

F1
O A

F3
C

F2
B

由于200 6 ? 500,

500kg

y

例4、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC, E是PC的中点,作EF ⊥PB交PB于点F。 (1)求证:PA∥平面EDB; (2)求证:PB ⊥平面EFD; (3)求二面角C-PB-D的大小。
P F E C B

D
A

解:如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点, 设DC=1 (1)证明:连结AC,AC交BD于点G,连结EG

依题意得A(1, 0, 0), P (0, 0,1), 1 1 E (0, , ) 2 2

Z

P F
D
G

因为底面ABCD是正方形, 所以点G是此正方形的中心, 1 1 故点G的坐标为( , , 0) 2 2
A X

E

C B

Y

1 1 且 PA ? (1,0,?1), EG ? ( ,0,? ) 所以PA ? 2EG ,即PA// EG 2 2

而EG ? 平面EDB, 且PA ? 平面EDB
所以,PA // 平面EDB
Z

P F
D A X
G

E

C B

Y

(2)证明:依题意得 B(1,1,0), PB ? (1,1,?1)
1 1 1 1 又 DE ? (0, , ), 故 PB ? DE ? 0 ? ? ? 0 2 2 2 2

所以PB ? DE

由已知EF ? PB, 且EF ? DE ? E ,
所以PB ? 平面EFD

Z

P F
D A X
G

E

C B

Y

(3)解:已知PB ? EF,由(2)可知PB ? DF , 故?EFD是二面角C ? PB ? D的平面角。

设点F的坐标为 ( x, y, z),则PF ? ( x, y, z ?1) 因为PF ? k PB
所以( x, y, z ? 1) ? k (1,1, ?1) ? (k , k , ?k )
Z

即x ? k , y ? k , z ? 1 ? k
因为PB ? DF ? 0
所以(1,1,?1) ? (k , k ,1 ? k ) ? k ? k ? 1 ? k ? 3k ? 1 ? 0 1 所以 k ? 3

P F
D A X
G

E

C B

Y

1 1 2 点F的坐标为 ( , , ) 3 3 3

1 1 又点 E的坐标为 (0, , ) 2 2

1 1 1 所以 FE ? (? , ,? ) 3 6 6
因为cos?EFD ? FE ? FD FE FD

1 1 1 1 1 2 1 ( ? , ,? ) ? ( ? ,? ,? ) 1 3 6 6 3 3 3 6 ? ? ? 1 2 6 6 ? 3 6 3

所以?EFD ? 60? ,即二面角C ? PB ? D的大小为 60?.

小结
利用空间向量解决立体几何中的问题, 首先要探索如何用空间向量来表示点、 直线、平面在空间的位置以及它们的关 系.即建立立体图形与向量之间的联系,这 样就可以将立体几何问题转化成空间向 量的问题.解决立体几何中的问题,有三种 常用方法:综合方法、向量方法、坐标方 法,对具体问题要会选用合适得方法.


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