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矩阵论试题2006


矩阵论试题( , ) 矩阵论试题(06,12) 试题
一. (18 分)填空:设 A = ? 填空: 填空

?0 1? ? 1 1? ?, B = ? ?. ?9 0? ? 1 1?

1. A-B 的 Jordan 标准形为 J= 2. 是否可将 A 看作线性空间 V2 中某两个基之间的过渡矩阵 ( 3. 是否可将 B 看作欧式空间 V2 中某个基的度量矩阵。 中某个基的度量矩阵。 ( 4. ) 。 )

v e c ( B)

p

=(

,其中 ) 其中1 ≤ ,

p < +∞ 。
。 )

5. 若常数 k 使得 kA 为收敛矩阵,则 k 应满足的条件是( 为收敛矩阵, 应满足的条件是( 6. A?B 的全体特征值是( ? 的全体特征值是( 7. 。 )

A ? B 2 =(

。 )
(1)

8. B 的两个不同秩的 的两个不同秩的{1}-逆为 B 逆为 二.(10 分)设 A ∈ C 设 实数 验证
m× n

? =? ?

? (1) ? ?, B = ? ? ?

? ?。 ?

,对于矩阵的 2-范数 对于矩阵的 范数

A 2 和 F-范数 A F , 范数 定义
(任意 A ∈ C
m× n

A =
A
是C
m× n

A2+ AF
2 2



中的矩阵范数, 范数相容。 中的矩阵范数,且与向量的 2-范数相容。 范数相容

? e 3t ? ?1? ? 1 1 ? 1? ? 3t ? ? ? ? ? 0 2 ?, b(t ) = ? e ?, x(0) = ? 1 ? 。 三.(15 分)已知 A = ? 2 已知 ? 0? ? ?1 1 1 ? ? 0? ? ? ? ? ? ?
1. 求 e ; 2. 用矩阵函数方法求微分方程 件 x(0) 的解。 的解。
At

d x(t ) = Ax(t ) + b(t ) 满足初始条 dt

?1 ? ?1 四.(10 分)用 Householder 变换求矩阵 A = 用 ?1 ? ?1 ?
解。

2 0 0? ? 0 3 4? ? 的 QR 分 0 3 0 ? 2 0 4? ?

? 20 1 4 ? ? ? 五.(10 分)用 Gerschgorin 定理隔离矩阵 A = ? 6 8 6 ? 的特征 ( ? ? ? 1 1 i?
(要求画图表示) 值。 要求画图表示)

?0 ? ?1 六. (15 分)已知 A = 已知 ?1 ? ? ?2
1. 求 A 的满秩分解; 的满秩分解;

1 0 1? ?1? ? ? ? 2 1 2? ? 3? ,b = ? ?。 0 1 0? 1 ? ? ? ? 3? 1 2 1? ? ? ?
2. 求 A+;

3. 用广义逆矩阵方法判断线性方程组 Ax=b 是否有解; 是否有解; 4. 求线性方程组 Ax=b 的极小范数解,或者极小范数最小二乘解 x0。 的极小范数解, (要求指出所求的是哪种解) 要求指出所求的是哪种解) 七.(15 分)已知欧式空间 R2×2 的子空间 已知欧式空间 ×

? ? x1 V = ?X = ? ?x ? 3 ?
2 2

x2 ? x1 ? x4 = 0 ? ? ?, x 4 ? x 2 ? x3 = 0 ? ?

R

2×2 ×

? a11 中的内积为 ( A, B ) = ∑∑ aij bij , A = ? ?a i =1 j =1 ? 21

a12 ? ?, a 22 ? ?

b ? ?b B = ? 11 12 ?, V 中的线性变换为 T(X)=XP+XT, ?b ? 中的线性变换为 ? 21 b22 ?
?0 1? P=? ?. 1 0? ?
1. 给出子空间 V 的一个标准正交基; 的一个标准正交基; 2. 验证 T 是 V 中的对称变换; 中的对称变换;

任意 X∈V, ∈ ,

3. 求 V 的一个标准正交基,使 T 在该基下的矩阵为对角矩阵. 的一个标准正交基, 在该基下的矩阵为对角矩阵 八. (7 分) 设线性空间 Vn 的线性变换 T 在基 x1 , x 2 , ? , x n 下的矩 的单位变换, 证明: , 阵为 A, Te 表示 Vn 的单位变换 , 证明 : 存在 x0≠0, 使得 , T(x0)=(Te-T)(x0)的充要条件是 λ 的充要条件是

=

1 的特征值. 为 A 的特征值 2


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