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数学选修4-1几何证明选讲总复习题(学生版)


数学选修 4-1 几何证明选讲总复习题
一、相似三角形 (一)相似三角形与全等三角形的区别 全等三角形 定义 能够完全重合的两个三角形 相似三角形 对应角相等,对应边成比例的两个三角形

图形 性质 形状、大小完全一样 表示 方法 相似 比 区别 与联 系 形状一样、大小未必一样

?ABC ≌ ?A ' B ' C '
AB BC AC ? ? ?1 A?B? B?C ? A?C ?

?ABC ∽ ?A ' B ' C '
AB BC AC ? ? ? k (k 为正实数) ? ? ? ? AB BC A?C ?

(1) 找对应元素的方法一样 (2) 全等三角形是相似比为 1 的相似三角形,但相似三角形不一定全等

(二)相似三角形的判定方法 预 备 定 理 判 定 方 法 1 判 定 方 法 2 判 定 方 法 3 (三)相似三角形性质: (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比; (2)相似三角形的周长比等于相似比; (3)相似三角形的面积比等于相似比的平方. (四)直角三角形的射影定理 ∵ ∴ ?ABC ∽ ?ADE

∵ ∴ ?ABC ∽ ?A ' B ' C '

∵ ∴ ?ABC ∽ ?A ' B ' C '

∵ ∴ ?ABC ∽ ?A ' B ' C '

1

射影定理: 直角三角形斜边上的高是 两直角边在斜边上射影的比例中项; 两直角边分别是它们在斜边上射影 与斜边的比例中项。 二、圆的相关概念 (一)垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

△ ACD∽△CBD∽△ABC
AC 2 ? _________ CD 2 ? _________ BC 2 ? _________

A

推论 1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即可推 出其它 3 个结论,即: ① AB 是直径 ② AB ? CD ③ CE ? DE ④ 弧 BC ? 弧 BD
C O A B D
C B O E D

⑤ 弧 AC ? 弧 AD .中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙ O 中,∵ AB ∥ CD (二)圆心角定理 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相 等。 此定理也称 1 推 3 定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的 1 个相等,则可以推出其它的 3 个结论, 即:① ?AOB ? ?DOE ;② AB ? DE ; ③ OC ? OF ;④ 弧 BA ? 弧 BD (二)圆周角定理 1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即:∵ ?AOB 和 ?ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角 ∴ ?AOB ? 2?ACB 2、圆周角定理的推论: 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧; 即:在⊙ O 中,∵ ?C 、 ?D 都是所对的圆周角,∴ ?C ? ?D
B O C

∴弧 AC ? 弧 BD
E F O D A C

B

D

C

A

B

O A

C

B

推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。 即:在⊙ O 中,∵ AB 是直径 ∴ ?C ? 90? 或∵ ?C ? 90? ∴ AB 是直径
B

O

A

C

推论 3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 即:在△ ABC 中,∵ OC ? OA ? OB ∴△ ABC 是直角三角形或 ?C ? 90? (三)圆内接四边形 圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即:在⊙ O 中,∵四边形 ABCD 是内接四边形 ∴ ?C ? ?BAD ? 180?
B C

O

A

D

?B ? ?D ? 180?

?D A E ? ? C
2

A

E

(四)切线的性质与判定定理 (1)切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵ MN ? OA 且 MN 过半径 OA 外端 ∴ MN 是⊙ O 的切线 (2)性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 (五)切线长定理 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即:∵ PA 、 PB 是的两条切线∴ PA ? PB , PO 平分 ?BPA . (六)圆幂定理 (1)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。 即:在⊙ O 中,∵弦 AB 、 CD 相交于点 P , ∴ PA ? PB ? PC ? PD
C D B O P A

O

M

A

N

推论 1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。

(3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即:在⊙ O 中,∵ PA 是切线, PB 是割线∴ PA ? PC ? PB
2

(4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图) 。 即:在⊙ O 中,∵ PB 、 PE 是割线∴ PC ? PB ? PD ? PE (七)四点共圆: (1)如果四边形的对角互补,则此四边形内接于圆; (2)若两点在一条线段同侧,且对该线段张角相等,则此两点与线段的两个端点共圆; 1.【北京市房山区 2013 届高三第二次模拟考试数学试题】如图, A, B , C , D 是⊙O 上的四个点,过点 B 的切线与
DC 的延长线交于点 E.若 ?BCD ? 110? ,则 ?DBE ? (
D P C O B A E

)

A. 75 ?

B. 70 ?

C. 60 ?

D. 55 ?

2 .一个圆的两弦相交 , 一条弦被分为 12 cm 和 18 cm 两段 , 另一弦被分为 3: 8 , 则另一弦的长为 ( A. 11cm B. 33cm C. 66cm D. 99cm )

)

3.圆内接四边形 ABCD 中, ? A 、 ? B 、 ?C 的度数比是 2 : 3 : 6 ,则 ?D ? ( A. 67.5? B. 135? C. 112.5? D. 110?

4.已知三角形的 3 条中位线分别为 3cm、4cm、6cm,则这个三角形的周长是( A.3cm B.26cm C.24cm D.65cm )

)

5.如图,已知 AD//BE//CF,下列比例式成立的是(

3

A
A B C

D E F

AB AD ? BE A. DE

BC EF ? DF B. AC

AC DF ? EF C. AB

AB DE ? BC D. EF
3 , AC ? 2 ,则 cos B 2

6.如图, ?O 是 △ ABC 的外接圆, AD 是 ?O 的直径,连接 CD ,若 ?O 的半径 r ?
A

B

O

的值是(



A.

3 2

B.

5 3

C.

5 2

D.

2 3

D 第4题图

C

7.如图,AB 为⊙O 的直径,PD 切⊙O 于点 C,交 AB 的延长线于 D,且 CO=CD,则∠PCA=( A.30° P C A D B.45° C.60° D.67.5°



O

B

8.如图所示,若 D 是 ? AC 的中点,则与∠ABD 相等的角的个数是(

)

A.7

B.3

C.2

D.1

? 9.如图, AB 是圆 O 的直径, C 、 D 是圆上的点, ?BAC ? 20 ,弧

和弧
?

的长相等, DE 是圆 O 的切线, D. 35
?

则 ?EDC ? (

)

A. 70

?

B. 40

?

C. 20

10.如图所示,在△ABC 中,M 在 BC 上,N 在 AM 上,CM=CN,且

AM BM = ,下列结论中正确的是 ( AN CN

)

A.△ABM∽△ACB

B.△ANC∽△AMB

C.△ANC∽△ACM

D.△CMN∽△BCA

11. 【改编自 2013 年陕西高考题】如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E, EF ? DB ,垂足为 F,
4

若 AB ? 6 , AE ? 1 ,则 DF ? DB ?





A.3

B.5

C. 5 2

D. 2 3

12.【改编自 2013 年湖北高考题】如图,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E, EF ? DB ,垂足为 F, 若 AB ? 6 , AE ? 1 ,则 DF ? DB ? ( ) A. 4 B. 2 6 C.

6

D. 5

13.如右图:已知 AC=BD,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线 E 点,若 ?ACE = 40 ,则 ?BCD =
0

.

14.如图,点 M 为 ? O 的弦 AB 上的一点,连接 MO . MN ? OM , MN 交圆于 N ,若 MA ? 2 , MB ? 4 ,则

MN ?

.

N

O

A M

B

15.如图,已知 Rt ?ABC 的两条直角边 AC , BC 的长分别为 3cm , 4cm ,以 AC 为直径的圆 与 AB 交于点 D ,则 BD =

cm .
___.

16.如图,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且 AB=6,AC=4,AD=12,则 BE=_____

17.如图, AB、 CD 是圆的两条弦, 且 AB 是线段 CD 的中垂线, 已知 AB=6, CD= 2 5 , 则线段 AC 的长度为
D B E C



A

? 18.如图,在 △ ABC 中, AB ? 5 ,BC ? 3 ,?ABC ? 120 ,以点 B 为圆心,线段 BC 的长为半径的半圆交 AB

所在直线于点 E 、 F ,交线段 AC 于点 D ,则线段 AD 的长为
5

.

19.如图 4,过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A, B 。且 PB ? 7 , C 是圆上一点使得

BC ? 5 , ?BAC ? ?APB ,则 AB ?

.

20.如图,从圆 O 外一点 P 引圆 O 的切线 PA 和割线 PBC ,已知 PA ? 2 2 , PC ? 4 ,圆心 O 到 BC 的距离 C O? 为 3 ,则圆 O 的半径为__ ___. A B P

21.【北京市西城区 2013 年高三二模试卷(理科) 】如图, AB 是半圆 O 的直径, P 在 AB 的延长线上, PD 与 半圆 O 相切于点 C , AD ? PD .若 PC ? 4 , PB ? 2 ,则 CD ? ___ ___.

22.【北京市东城区 2013 届高三下学期综合检测(二)数学试题】如图, AB 为⊙ O 的直径, AC 切⊙ O 于点 A , 且 过 点 C 的 割 线 CMN 交 AB 的 延 长 线 于 点 D , 若 C M ? M N? N D , AC ? 2 2 , 则 CM ? ________ ,

AD ? ________.
A O B D N M C

23. 【北京市丰台区 2013 届高三第二次模拟考试数学】如图,已知⊙O 的弦 AB 交半径 OC 于点 D, 若 AD=4,BD=3,OC=4,则 CD 的长为______。

24.

6

a 如图,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD= ,点 E,F 分别为线段 AB,AD 的中点, 2 则 EF=________. 25.(2013· 高考北京卷)

如图, AB 为圆 O 的直径, PA 为圆 O 的切线, PB 与圆 O 相交于 D, 若 PA=3, PD∶DB=9∶16, 则 PD=________, AB=________.

26.(2013· 深圳市调研考试)如图,在⊙O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E,EF⊥BC,垂足为 F,若 AB=6, CF· CB=5,则 AE=________.

27.(2013· 惠州市调研考试)如图,PA 切⊙O 于点 A,割线 PBC 经过圆心 O,OB=PB=1,OA 绕点 O 逆时针旋 转 60°得到 OD,则 PD 的长为________. 28.如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,

E 是 AB 延长线上一点,且 DF=CF= 2,AF∶FB∶BE=4∶2∶1.若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为________. 29.

(2012· 高考陕西卷)如图所示,在圆 O 中,直径 AB 与弦 CD 垂直,垂足为 E,EF⊥DB,垂足为 F,若 AB=6, AE=1,则 DF· DB=_____ ___.
7

30.如图,AB 为半圆的直径,DE 为半圆的一条切线,点 C 为切点,AD⊥DE 于 D,BE⊥DE 于 E 交半圆于 F, 若 AD=3,BE=7,那么线段 DE 的长为________.

31.已知:如图,PT 切⊙O 于点 T,PA 交⊙O 于 A、B 两点且与直径 CT 交于点 D.CD=2,AD=3,BD=6, 则 PB=____ ____.

32. 【唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试】如图, AB 为圆 O 的直径, CD 为垂直于 AB 的一条弦,垂 足为 E ,弦 BM 与 CD 交于点 F .(Ⅰ)证明: A、E、F、M 四点共圆; (Ⅱ)证明: AC ? BF ? BM ? AB .
2 2

33.如图所示,圆内的两条弦 AB、CD 相交于圆内一点 P,已知 PA=PB=4,PC=

1 PD.求 CD 的长. 4

34.如图:⊙O 为 △ABC 的外接圆,AB=AC,过点 A 的直线交⊙O 于 D,交 BC 延长线 于 F,DE 是 BD 的延长线,连 接 CD。

求证:∠EDF=∠CDF;

②求证:AB =AF·AD。

2

8


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