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辽宁省大连市2012届高三5月第二次模拟考试


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2012 年大连市高三第二次模拟考试 理科数学参考答案
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一.选择题

1.C

2.B 3.D 4.D

5.A 6.B 7.B 8.A 9.B 10.A
32 6n 1515. 41 16 . 4n ? . 16. n 3 3 ?1

11.D

12.C

二.填空题

13.

?
2

14.(??, ?1] ? [1, ??)

三.解答题
4 17.解(Ⅰ)得分为 4 分, 可以前 4 次中, 5 次不中, 第 概率为 ( ) ?

3 5

2 , ……………………………………………3 5

分 或者前 4 次中 2 次,第 5 次中,概率为

2 2 3 C 4 ( ) 3 ? ( ) 2 ,…………………………………………………………………6 分 5 5
所以得分为 4 分的概率为

3 2 2 162 2 3 ( ) 4 ? + C4 ( )3 ? ( ) 2 ? ……………………………………………………………8 分 5 5 5 5 625 162 ) ,所以 (Ⅱ) 得分为 4 分的投篮点的个数为 X 服从二项分布 B (5, 625 162 162 EX ? 5 ? ? ………………………12 分 625 125
18.解 (Ⅰ) f ( x) ? a ? b ? ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? …4 分
2 (Ⅱ) a n ? n f (

? ?

2? ) …………………………………………………… 3

n? 11? ? ? ) ? 2n 2 sin( n? ? ) ………………………………………………………………… 2 24 4

…………6 分 所以

S2n ? 2[12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? ? ? (2n ? 1) 2 ? (2n) 2 ] …………………………………………………… …8
分 又

(2n ? 1) 2 ? (2n) 2 ? ?4n ? 1………………………………………………………………………………………
… …10 分 所以

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S 2n ? 2 ?
…12 分

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(?3 ? 4n ? 1)n ? ?2 2n 2 ? 2n ………………………………………………………………… 2 1 AA? 2

? 19.(Ⅰ)证法一:取 A?B中点 M,连接 EM 、C ?M,又 ? E为AB 中点, EM // ? ? AA?//BB?//CC ? , F为CC ?中点, FC ?//

? EF // C ?M ,………………………………………………………2 分
又 EF ? 平面A?BC ?, C ?M ? 平面A?BC ? ,? EF // 平面A?BC ? …………………………………………………4 分

1 AA?, FC ?//EM ? EM C ?F为平行四边形 ? 2

A E B

A'

M
B'

证法二:

? CC ? ? BC ? ? 2 , BC ? 2, ? ?CC ?B是BC为斜边的等腰直角三角 形

C

F

C'

取BC中点O, 连接AO、C ?O 有AO ? BC, C ?O ? BC
C ? 面 ABC ? 面 BCC ' B ' , 且 面 A B ? 面 BCC ' B' ? BC ? AO ? 面 BCC ' B ' , C ?O ? 面 ABC
如图建立空间直角坐标系 O ? xyz
C A

z
A' E B

O
F C'

B'

? C(1,0,0),C ?(0,10), A(0,0, b), B(?1,0,0) (b ? 0)

x

y

1 b 1 1 ? E (? ,0, ), F ( , ,0), 2 2 2 2

1 b ? EF ? (1, ,? ) 2 2
设平面 A?BC ? 的法向量为 n ? ( x, y, z) 又 BC? ? (1,1,0) , A?C? ? AC ? (1,0,?b)

?x? y ?0 ? n 的一组解为 n ? (b,?b,1) ?? x ? bz ? 0 ?
? n ? EF ? b ? b b ? ?0 2 2

? n ? EF
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又 EF ? 平面A?BC ?

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? EF // 平面A?BC ? …………………………………………………………………………………………………
………4 分 (Ⅱ)解:利用(Ⅰ)中证法二的坐标系,设平面 AC C ?A? 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) 又 CC ? ? (?1,1,0) , AC ? (1,0,?b)

?? x ? y ? 0 ? n1 的一组解为 ?? x ? bz ? 0 ?

n1 ? (b, b,1) ……………………………………………………………………………5 分
1 b 又 EF ? (1, ,? ) 2 2
? n ? EF n EF
…6 分 解得 b ? 1 , b ?

?

b 2b 2 ? 1 5 b2 ? 4 4

?

2 …………………………………………………………………………… 3

10 2

? AC ? 2 ? b ? 1 …………………………………………………………………………………………………
………8 分 同理可求平面 AA?B 的一个法向量 n 2 ? (1,1,?1)

? cos ? n1 ? n2 ??

1 ……………………………………………………………………………………………… 3

………11 分 所以所求二面角的大小为

arccos

1 。………………………………………………………………………………………12 分 3

20 解(Ⅰ)显然 BC 斜率不为 0,所以可设 BC 方程为 my ? x ? n , 与椭圆联立得: (m ? 3) y ? 2mny? n ? 4 ? 0 ,
2 2 2

? 2m n n2 ? 4 , y1 y 2 ? 2 设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) ,所以 y1 ? y 2 ? 2 . m ?3 m ?3
①…………………………………………………2 分 因为 AB ? AC ,

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所以 ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y2 ) ? (m 2 ? 1) y1 y2 ? (mn ? 2m)( y1 ? y2 ) ? n 2 ? 4n ? 4 ? 0 , ②……………………4 分 ①带入②化简可得 n 2 ? 3n ? 2 ? 0 , n ? ?1 或 ? 2(舍) 即 .所以 BC 恒过定点 (-1, ………………………6 0) 分 (Ⅱ) ?ABC 面积

1 S ? | y1 ? y 2 |? 2
设t ?
2

4m 2 ? 9 ? m2 ? 3

4 3 ? 2 , m ? 3 (m ? 3) 2
2

……………………………9 分

1 1 1 ? (0, ] ,所以 S ? 4t ? 3t 2 ,当 t ? 时, S 最大 3 3 m ?3 即 m ? 0 时 S 最大为 1 .………………………………………………………………………………………………12 分

1 a( x ? )(x ? a) a ax ? (a ? 1) x ? a (ax ? 1)(x ? a) a 21.解: (Ⅰ) f ' ( x) ? ax ? (a 2 ? 1) ? ? ? ? x x x x
2 2

(1)当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 在 (0,??) 恒成立, f ( x ) 在 (0,??) 递减; (2)当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 解集为 ( , a ) , f ' ( x) ? 0 解集为 (0, ) ? (a,?? ) ,

1 a

1 a

1 1 f ( x) 在 ( , a ) 递减,在 (0, ), (a,?? ) 上递增; a a 1 1 (3)当 0 ? a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 解集为 (a, ) , f ' ( x) ? 0 解集为 (0, a ) ? ( ,?? ) , a a 1 1 f ( x) 在 (a, ) 递减,在 (0, a ), ( ,?? ) 上递增; a a
(4)当 a ? 1 时, f ' ( x) ? 0 解集为 (0,1) ? (1,??) , 在 且 所以 f ( x ) 在 (0,??) 递增; …………………4 f ( x) 在 (0,1) 递增, (1,??) 上递增, f ( x) 在 x ? 1 不间断, 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? 1 , f ( x) ?

x2 ? 2 x ? ln x , 2

要比较

x1 ? x 2 与 1 的大小,只需比较 x2 与 2 ? x1 的大 2

小. . …………………………………………………………6 分 因为 f ( x2 ) ? f (2 ? x1 ) ? ?3 ? f ( x1 ) ? f (2 ? x1 ) ? ? x1 ? 2x1 ? 1 ? ln x1 ? ln(2 ? x1 )
2



F ( x1 ) ? ? x12 ? 2x1 ? 1 ? ln x1 ? ln(2 ? x1 ) . ……………………………………………………………………
………8 分

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则 F ' ( x1 ) ?

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2( x1 ? 1) 3 x1 (2 ? x1 )

当 x1 ? (0,1) 时, F ' ( x1 ) ? 0 , F ( x1 ) 为减函数,当 x1 ? (1,2) 时, F ' ( x1 ) ? 0 , F ( x1 ) 为增函数,所以

F ( x1 ) ? F (1) ? 0
. ……………………………………………………………………………………………………………………… ……10 分 所以 f ( x2 ) ? f (2 ? x1 ) ,又因为 f ( x ) 为增函数,所以 x2 ? 2 ? x1 ,所以

x1 ? x2 x ? x2 ? a. ? 1 ,即 1 2 2

. ……………………………………………………………………………………………………………………… ……12 分 22. (Ⅰ)解:连接 OD. 设⊙O 的半径为 r. ∵BC 切⊙O 于点 D,∴OD⊥BC. ∵∠C=90° ,∴OD∥AC,∴△OBD∽△ABC. OD OB r 10-r 15 ∴ = ,即 = . 解得 r = , AC AB 6 10 4 15 ∴⊙O 的半径为 . …………………………………………………………………4 分 4 (Ⅱ)结论:四边形 OFDE 是菱 形. …………………………………………………………………………………5 分 证明:∵四边形 BDEF 是平行四边形,∴∠DEF=∠B. 1 1 ∵∠DEF= ∠DOB,∴∠B= ∠DOB. 2 2 ∵∠ODB=90° ,∴∠DOB+∠B=90° ,∴∠DOB=60° . ∵DE∥AB,∴∠ODE=60° .∵OD=OE,∴△ODE 是等边三角形. ∴OD=DE.∵OD=OF,∴DE=OF.∴四边形 OFDE 是平行四边形. ∵OE=OF,∴平行四边形 OFDE 是菱 形. …………………………………………………………………………10 分 23.解:设 P( ? ,? ) ,则由 | OM | ? | OP |? 12 得 M (
A E C D

O

F

B

12

?

,? ) ,所以

12

?

cos? ? 3 ,即

? ? 4 cos? ( ? ? 0) ,………4 分
化为平面直角坐标系的方程为

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4( x ? 0) ,………………………………………………………………5 分

? sin ? ? ? cos? ? m 化为平面直角坐标系的方程为
y ? x ? m ? 0 ,…………………………………………………6 分
因为有且只有一个点 P 在直线 ? sin ? ? ? cos? ? m 上, 所以 y ? x ? m ? 0 和 ( x ? 2) ? y ? 4( x ? 0) 相
2 2

切,即

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m = - 2

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2 2 …………………………………………………………………………………………………

………………8 分 或过原点,即 m ? 0 .………………………………………………………………………………………………………10 分 24.解:

? ? 3x ? 1, x ? 2 ? 1 ? | x ? 2 | ? | 2 x ? 1 |? ? x ? 3,? ? x ? 2 …………………………………………………………………………3 2 ? ? ? 3x ? 1, x ? ? 1 ? 2 ?
分 当 x ? 2 时, ? x 2 ? 3x ? 3 ? (3x ? 1) ? ? x 2 ? 4 ? 0 恒成立;

1 1 ? x ? 2 时, ? x 2 ? 3x ? 3 ? ( x ? 3) ? ? x 2 ? 2x ? 0 在 (? ,0) 恒成立; 2 2 1 当 x ? ? 时, ? x 2 ? 3x ? 3 ? (?3x ? 1) ? ? x 2 ? 6x ? 2 ? 0 恒成立; 2
当?

?? x 2 ? 3x ? 3, x ? 0 ? 所以 f ( x) ? ? x ? 3,0 ? x ? 2 ,…………………………………………………………………6 分 ?? x 2 ? 3x ? 3, x ? 2 ?
当 x ? 0 时, f ( x) ? 3 ;当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ? 5 ;当 x ? 2 时, f ( x) ? 5 . 综上: f (x) 最大值为 5. …………………………………………………10 分

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