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数学方法的优美 观点和方法是数学的两个方 面:既紧密联系,又有所区别。 但方法影响观点。 我们来看看数学方法的美。 “不能不” 法 反证 通常的证明方法: “对” 矛盾 “不对” 例1 2是 无 理 数 . 反证法:假 设 q p 2是 有 理 数 , 那 么 存 在 不 可 约 的 正 整 数 p, q,使 得 2 ? ? 2p 2 2 ? q 2 2 ? q为 偶 数 . 设 q ? 2 m , 则 p ? 2 m , 于 是 p 也 为 偶 数 .矛 盾 . 1 7 是 有 理 数 至 多 7步 就可以找到规律. 例2(抽屉原理) 3个苹果放进2个抽屉中,至少有1个 抽屉中有两个苹果。 (反证法易得) 10本书,共3类(抽屉),文学类 (A)、史学类(B)和数学类 (C),证明至少有一类有4本或4 本以上。 10本书,共3类(抽屉),文学类 (x)、史学类(y)和数学类(z), 证明x,y,z至少有一个大于或等于4。 抽象为一个纯数学问题: 假 设 x , y , z是 非 负 整 数 , 且 x ? y ? z ? 1 0 , 则 或 x ? 4 , 或 y ? 4 , 或 z ? 4 .此 即 为 不 定 方 程的非负解的下界估计问题. 假设人类的头发最多为200万根,那 么长春市至少有2人的头发根数一样 多。(长春市人口超过200万) 作业:在任意6人中,一定可以找到 3个相互认识,或3个相互不认识的 人。 RMI:R-relation, M-mapping, I-inversion. 即关系、映射和取逆。它 属于形式逻辑范畴。如“三段式”给 人以逻辑美。RMI方法体现了辨证思 想的方法。 例1 2 2 11 ? 2?2 3 10 ? 2 ? 1024 ? 2048 4 11 ? 2 ? 2 ? 2 ? 8 ? 16 ? 16 ? 8 ? 256 ? 2048 4 显得容易。 1 例2 2 11 等 于 多 少 ? 1 11 很 难 , 但 是 lg 2 ? 1 11 lg 2 ? 0 .3 0 1 0 11 ? 0 .0 2 7 3 从反对数表得到 : 11 2 ? 1 .0 6 5 . lg x 运算 x ? lg x ? 1 0 ? x 数值 曲折:化难为易 曲折:创造、发明 曲折:实现的根据是对数 Galileo:给我空间、时间和对数, 我即可创造一个宇宙。 RMI的体现:R:2 I:10 lgx 1/11 ,M:lgx , 例3: 求和 y ? 1? 1 3 ? 1 5 ? 1 7 ? ? ? ( ? 1) n 1 2n ? 1 ?? R y(x) ? x ? x 3 ? x 5 ? x 7 ? ? ? ( ? 1) n x 2 n ?1 3 5 7 2n ? 1 ?? M,逐项微分 y '( x ) ? 1 ? x 2 ? x 4 ? x 6 ? ? ? ( ? 1) x n 2n ?? ? 1 1? x 2 I,积分 x y(x) ? ?1? x 0 1 2 d x ? a rc ta n x , y ? y (1) ? ? 4 . 数学上互逆的运算很多:如0的作 用是+项与-项;1的作用是乘项与 除项. 抽象=枯燥乏味? 语言学抽象吗? 美、神、好 文学抽象吗?诗歌 艺术抽象吗?绘画、舞蹈 音乐抽象吗?高山流水、悲 欢离和

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