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知识讲解


平面向量应用举例
【学习目标】 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 3.体会用向量方法解决实际问题的过程,知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具,提高运算能 力和解决实际问题的能力. 【要点梳理】 要点一:向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面: (1)证明线段相等、平行,常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,有时用到向量减法的 意义. (2)证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常运用向量平行(共线)的条 件: a // b ? a ? ? b (或 x1y2-x2y1=0) . (3)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断两直线(线段)是否垂直等,常运 用向量垂直的条件: a ? b ? a ? b ? 0 (或 x1x2+y1y2=0) . (4)求与夹角相关的问题,往往利用向量的夹角公式 cos ? ?

a ?b . | a || b |

(5)向量的坐标法,对于有些平面几何问题,如长方形、正方形、直角三角形等,建立直角坐标系, 把向量用坐标表示,通过代数运算解决几何问题. 要点诠释: 用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面,解决这类题的关键是正确选择基底,表示出相 关向量,这样平面图形的许多性质,如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来,从而 把几何问题转化成向量问题,再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了 . 要点二:向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中,有序实数对(x,y)既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量,使向量 与解析几何有了密切的联系,特别是有关直线的平行、垂直问题,可以用向量方法解决. 常见解析几何问题及应对方法: (1)斜率相等问题:常用向量平行的性质. (2)垂直条件运用:转化为向量垂直,然后构造向量数量积为零的等式,最终转换出关于点的坐标 的方程. (3)定比分点问题:转化为三点共线及向量共线的等式条件. (4)夹角问题:利用公式 cos ? ?

a ?b . | a || b |

要点三:向量在物理中的应用 (1)利用向量知识来确定物理问题,应注意两方面:一方面是如何把物理问题转化成数学问题,即 将物理问题抽象成数学模型;另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象. (2)明确用向量研究物理问题的相关知识:①力、速度、位移都是向量;②力、速度、位移的合成 与分解就是向量的加减法;③动量 mv 是数乘向量;④功即是力 F 与所产生位移 s 的数量积. (3)用向量方法解决物理问题的步骤:一是把物理问题中的相关量用向量表示;二是转化为向量问 题的模型,通过向量运算解决问题;三是把结果还原为物理结论.

【典型例题】 类型一:向量在平面几何中的应用 例 1.用向量法证明:直径所对的圆周角是直角. 已知:如下图,AB 是⊙O 的直径,点 P 是⊙O 上任一点(不与 A、B 重合) ,求证:∠APB=90°.

证 明 : 联 结 OP , 设 向 量 OA ? a,OP ? b , 则 OB ? ? a 且 PA ? OA ? OP ? a ? b ,

?

?

?

?

?

?

? ? ? PB ? OB ? OP ? ?a ? b

? ? 2 2 ? PA? PB ? b ? a ?| b | 2 ? | a | 2 ? 0

? ? ? PA ? PB,即∠APB=90°.
【总结升华】解决垂直问题,一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零,而在此过程 中,则需运用向量运算,将目标向量用基底表示,通过基底的数量积运算式使问题获解,如本题便是将向 量 PA , PB 由基底 a , b 线性表示.当然基底的选取应以方便运算为准,即它们的夹角是明确的,且长 度易知. 举一反三: 【变式 1】P 是△ABC 所在平面上一点,若 PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则 P 是△ABC 的( A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【答案】D

??? ?

??? ?

?

?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?



DE ? DC 【变式 2】 已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点 E 是 AB 边上的动点, 则 DE ? CB 的值为________; 的最大值为________.
【解析】 DE ? CB ? DE ? DA ?| DE | ?| DA | cos? DE, DA? = | DA | ? | DA |?| DA |2 =1

??? ? ??? ?

???? ????

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ???? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? DE ? DC ?| DE | ? | DC | cos? DE, DC?
= | DE | ? | DC | cos ?EDC ? = | DE | cos ?EDC

??? ?

????

?? ?? ? ?EDC ? ? 2? ?4

??? ?

= | DF |

????

(F 是 E 点在 DC 上的投影)

????

?1
当 F 与 C 点重合时,上式取到等号. 例 2.如图所示,四边形 ADCB 是正方形,P 是对角线 DB 上一点,PFCE 是矩形,证明: PA ? EF .

??? ?

??? ?

【思路点拨】如果我们能用坐标表示 PA 与 EF ,则要证明结论,只要用两向量垂直的充要条件进行 验证即可.因此只要建立适当的坐标系,得到点 A、B、E、F 的坐标后,就可进行论证. 【解析】以点 D 为坐标原点,DC 所在直线为 x 轴建立如图所示坐标系,设正方形的边长为 1,

??? ?

??? ?

??? ? 2 2 2 2 ?, ? ) , E (1, ? ) , F ( ? ,0) , | DP |? ? ,则 A(0,1) , P( 2 2 2 2
于是 PA ? (?

y A B

??? ?

??? ? 2 2 2 2 ? ,1 ? ? ) , EF ? ( ? ? 1, ? ?) , 2 2 2 2
DO

P

E C x

??? ? ??? ? 2 2 2 2 ∵ PA ? EF ? (? ? ) ? ( ? ? 1) ? (1 ? ? ) ? (? ?) 2 2 2 2 ?? 2 2 2 2 ? ? ( ? ?1?1? ?) ? ? ? ?0 ? 0 2 2 2 2
??? ?

F

∴ PA ? EF . 举一反三: 【变式 1】在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(―1,―2) ,B(2,3) ,C(―2,―1) . (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数 t 满足 ( AB ? tOC ) ? OC ? 0 ,求 t 的值. 【答案】 (1) 4 2 , 2 10 (2) ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

11 5

【解析】 (1)由题设知 AB ? (3,5) , AC ? (?1,1) ,则 AB ? AC ? (2,6) , AB ? AC ? (4, 4) . 所以 | AB ? AC |? 2 10 , | AB ? AC |? 4 2 . 故所求的两条对角线长分别为 4 2 , 2 10 . (2)由题设知 OC ? (?2, ?1) , AB ? tOC ? (3 ? 2t ,5 ? t ) . 由 ( AB ? tOC) ? OC ? 0 ,得(3+2t,5+t)·(―2,―1)=0,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

从而 5t=―11,所以 t ? ?

11 . 5

类型二:向量在解析几何中的应用 例 3.已知圆 C: (x-3) +(y-3) =4 及定点 A(1,1) ,M 为圆 C 上任意一点,点 N 在线段 MA 上,且
2 2

???? ???? MA ? 2 AN ,求动点 N 的轨迹方程.
【思路点拨】设出动点的坐标,利用向量条件确定动点坐标之间的关系,利用 M 为圆 C 上任意一点, 即可求得结论. 【答案】x2+y2=1 【解析】设 N(x,y) ,M(x0,y0) ,则由 MA ? 2 AN 得(1―x0,1―y0)=2(x―1,y―1) , ∴?

????

????

?1 ? x0 ? 2 x ? 2 ? x0 ? 3 ? 2 x ,即 ? . ?1 ? y0 ? 2 y ? 2 ? y0 ? 3 ? 2 y

代入(x―3)2+(y―3)2=4,得 x2+y2=1. 【总结升华】本题考查轨迹方程,解题的关键是利用向量条件确定动点坐标之间的关系,属于中档题. 举一反三: 【变式 1】已知△ABC 的三个顶点 A(0,―4) ,B(4,0) ,C(―6,2) ,点 D、E、F 分别为边 BC、 CA、AB 的中点. (1)求直线 DE、EF、FD 的方程; (2)求 AB 边上的高 CH 所在直线的方程. 【答案】 (1)x―y+2=0,x+5y+8=0,x+y=0(2)x+y+4=0 【解析】 (1)由已知得点 D(―1,1) ,E(―3,―1) ,F(2,―2) , 设 M(x,y)是直线 DE 上任意一点, 则 DM // DE . DM ? ( x ? 1, y ?1) , DE ? (?2, ?2) . ∴(-2)×(x+1)―(―2)(y―1)=0, 即 x―y+2=0 为直线 DE 的方程. 同理可求,直线 EF,FD 的方程分别为 x+5y+8=0,x+y=0. (2)设点 N(x,y)是 CH 所在直线上任意一点,则 CN ? AB . ∴ CN ? AB ? 0 .又 CN ? ( x ? 6, y ? 2) , AB ? (4, 4) . ∴4(x+6)+4(y―2)=0, 即 x+y+4=0 为所求直线 CH 的方程. 【总结升华】 (1)利用向量法来解决解析几何问题,首先要将线段看成向量,再把坐标利用向量法则 进行运算. (2)要掌握向量的常用知识:①共线;②垂直;③模;④夹角;⑤向量相等则对应坐标相等. 类型三:向量在物理学中“功”的应用 例 4. 一个物体受到同一平面内三个力 F1, F2, F3 的作用, 沿北偏东 45°的方向移动了 8 m, 其中|F1|=2

???? ? ??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

N,方向为北偏东 30°;|F2|=4 N,方向为北偏东 60°;|F3|=6 N,方向为北偏西 30°,求合力 F 所做的功. 【答案】 24 6 【解析】 以物体的重心 O 为原点,正东方向为 x 轴的正半轴建立直角坐标 系. 如图,则 F 1 ? (1, 3) , F 2 ? (2 3,2) , F 3 ? (?3,3 3) , 则F ?F 1?F 2 ?F 3 ? (2 3 ? 2,2 ? 4 3) . 又位移 s ? (4 2, 4 2) , 合力 F 所做的功为 W ? F ? s ? (2 3 ? 2) ? 4 2 ? (2 ? 4 3) ? 4 2 ? 4 2 ? 6 3 ? 24 6 (J) . ∴合力 F 所做的功为 24 6 J. 【总结升华】用向量的方法解决相关的物理问题,要将相关物理量用几何图形表示出来,再根据它的 物理意义建立数学模型,将物理问题转化为数学问题求解,最后将数学问题还原为物理问题. 举一反三:

s ? ( , ) ,则共点力对物 【变式 1】已知一物体在共点力 F 1 ? (2,2), F 2 ? (3,1), 的作用下产生位移
体所做的功为( ) A、4 B、3 【答案】C C、7 D、2

?? ?

?? ?

?

1 3 2 2

【解析】对于合力 F ? ? 5,3? ,其所做的功为 W ? F ? S ? 类型四:向量在力学中的应用

??

?? ? ?

5 9 ? ? 7 .因此选 C. 2 2

例 5.如图,用两条同样长的绳子拉一物体,物体受到重力为 G.两绳受到的拉力分别 为 F1、F2,夹角为 ? . (1) 求其中一根绳子受的拉力|F1|与 G 的关系式, 用数学观点分析 F1 的大小与夹角 ? 的 关系; (2)求 F1 的最小值; (3)如果每根绳子的最大承受拉力为|G|,求 ? 的取值范围. 【答案】 (1) ? 增大时,|F1|也增大(2)

|G| (3)[0°,120°] 2

【解析】 (1)由力的平衡得 F1+F2+G=0,设 F1,F2 的合力为 F,

1 ? 2 | F | |G| ? 则 F=―G,由 F1+F2=F 且|F1|=|F2|,|F|=|G|,解直角三角形得 cos ? , 2 | F1 | 2 | F1 |
∴ | F1 |?

|G| 2cos

?
2

, ? ∈[0°,180°],由于函数 y=cos ? 在 ? ∈[0°,180°]上为减函数,∴ ? 逐渐

增大时, cos

?
2

逐渐减小,即

|G| 2cos

?
2

逐渐增大,∴ ? 增大时,|F1|也增大.

(2)由上述可知,当 ? =0°时,|F1|有最小值为

|G| . 2

|G| ?| F1 |?| G | , 2 1 ? 1 1 ∴ ? ? 1 ,即 ? cos ? 1 . 2 2 2 2cos ? 2
(3)由题意, 由于 y=cos ? 在[0°,180°]上为减函数,∴ 0? ?

?
2

? 60? ,

∴ ? ∈[0°,120°]为所求. 【总结升华】生活中“两人共提一桶水,夹角越大越费力” , “在单杠上做引体向上,两臂的夹角越小 就越省力”等物理现象,通过数学推理与分析得到了诠释. 举一反三: 【变式 1】两个大小相等的共点力 F 1, F 2 ,当它们间夹角为 90 时,合力的大小为 20N,则当它们的夹角 为 120 时,合力的大小为(
0

?? ? ?? ?

0



A、40N B、 10 2 N C、 20 2 N D、 10 N 【思路点拨】力的合成关键是依平行四边形法则,求出力的大小,然后再结合平行四边形法则求出新的 合力. 【解析】对于两个大小相等的共点力 F 1, F 2 ,当它们间夹角为 90 时,合力的大小为 20N 时,这二个力 的大小都是 10 2 N,对于它们的夹角为 120 时,由三角形法则,可知力的合成构成一个等边三角形,因 此合力的大小为 10 2 N. 正确答案为 B. 【总结升华】力的合成可用平行四边形法则,也可用三角形法则,各有优点,但实质是相通的,关键 是要灵活掌握;对于第一个平行四边形法则的应用易造成的错解是 F1 ? 10 N ,这样就会错选答案 D. 类型五:向量在速度中的应用 例 6.在风速为 75( 6 ? 2) km / h 的西风中,飞机以 150 km / h 的航速向西北方向飞行,求没有风时 飞机的航速和航向. 【思路点拨】这是航行中的速度问题,速度的合成与分解相当于向量的加法与减法,处理的方法和原则 是三角形法则或平行四边形法则. 【答案】 150 2 ,北偏西 60° 【解析】设风速为ω ,飞机向西北方向飞行的速度为 va,无风时飞机的速度为 vb,则如图,vb=va-ω , 设 | AB |?| va | , | BC |?| ? | , | AC |?| vb | ,过 A 点作 AD∥BC,过 C 作 CD⊥AD 于 D,过 B 作 BE⊥AD 于 E,则∠BAD=45°, | AB |? 150 , | BC |? 75( 6 ? 2) . 所以 | CD |?| BE |?| EA |? 75 2 , | DA |? 75 6 . 从而 | AC |? 150 2 ,∠CAD=30°. 所以没有风时飞机的航速为 150 2 km / h,航向为北偏西 60°. 【总结升华】本题主要考查向量在物理学中的应用.此类问题一般采用向量加法、减法的平行四边形 法则和三角形法则来解决,注意画图辅助思考. 举一反三:
0

?? ? ?? ?

0

?? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

【变式 1】一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水流速为 2 km / h ,求 船实际航行的速度的大小与方向. 【 解 析 】 如 图 所 示 , 由 向 量 的 三 角 形 法 则 知 , 对 于 v水 ? 2 km / h , v船 ? 2 3km / h , 得
0 k m/ h v船实际 ? 4 ? 1 2 ? 4 ,方向为逆水流与水流成 30 夹角.

【总结升华】对于船的航行问题关键是要注意运用向量的合成法则进行,当然要 特别注意“船的实际航速和航向”和“船在静水中的航速和航向


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