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福建省南安第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文


南安一中 2015~2016 上学期高二年期末考数学(文)试卷

本试卷考试内容为:人教版选修 1—1(1,2 章) ,选修 1—2(1 章) 。分第 I 卷(选择题)和第 II 卷,共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 参考公式: (1)给定临界值表

P(K ? k0 )

0.50 0.455

r />
0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.84

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.83

k0
(2) K 2 ?

n(ad ? bc) 2 , 其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量。 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

第Ⅰ卷(选择题共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.把答案填在答题卡相应位置) 1. 一位母亲记录了儿子 3—9 岁的身高,收集了好几组数据(略) ,由此建立的身高与年龄的回 归模型为 y ? 7.18x ? 73.95,用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高,则 正确的叙述是( A. 身高在 145.75cm 以上 B. 身高在 145.75cm 左右 C. 身高一定是 145.75cm D. 身高在 145.75cm 以下 2.已知直线方程 为 x ? y ? 1 ? 0 ,则该直线的倾斜角为( ) A. 45
o



B. 60

o

C. 90

o

D. 135

o

3.原命题“若 x ? ?3 ,则 x ? 0 ”的逆否命题 是( .... A.若 x ? ?3 ,则 x ? 0 C.若 x ? 0 ,则 x ? ?3
2



B.若 x ? ?3 ,则 x ? 0 D.若 x ? 0 ,则 x ? ?3 )

4.当 K ? 6.635时,认为事件 A 与事件 B ( A.有 95 % 的把握有关 C.没有理由说它们有关

B.有 99 % 的把握 有关 D.不确定 )

5.直线 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 9 相交于 A、B 两点,则 AB 的长度等于( A. 4 2
2

B. 2

C. 2 2 )

D.1

6. “ x ? 1 ? 0 ”是“ x ? 1 ”的( A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.已知焦点在 x 轴上的椭圆过点 A(?3, 0) ,且离心率 e ?

5 ,则椭圆的标准方程是( 3



1

A.

x2 y 2 ? ?1 9 81 4 x2 y 2 ? ?1 81 9 4

B.

x2 y 2 ? ?1 4 9

C.

D.

x2 y 2 ? ?1 9 4

8. 已 知 F1 , F2 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 , 过 F1 且 与 椭 圆 长 轴 垂 直 的 直 线 交 椭 圆 于 A, B 两 点 , 若 △ ABF2 是正三角形, 则这个椭圆的离心率为( )

A.

2 2

B.

2 3

C.

3 3

D.

3 2

x2 y2 9.设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程为( ) a b
A. y ? ? 2 x B . y ? ?2 x C . y??

2 x 2

D. y ? ?

1 x 2

10.设线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动, 且|AB|=4,点 M 是线段 AB 的中 点,则点 M 的轨迹方程是( A. )
2 2

x2 y2 ? ?1 9 4

B. x ? y ? 4

C. x ? y ? 4
2 2

D.

y2 x2 ? ?1 25 9

2 11.直线 y ? x ? 3 与抛物线 y ? 4 x 交于 A、B 两点,过 A、B 两点向抛物线的准线 l 作垂线,垂足

分别为 P、Q,则梯形 APQB 的面积为( A. 48 12.椭圆: B. 36 C. 56

) D. 64

y x2 y2 ? ? 1 上的一点 A 关于原点的对称点为 B, F2 为它的右焦点, A 25 16 o ) B

若 A F2 ⊥B F2 ,则三角形△A F2 B 的面积是( A. 15 B. 32 C. 16 D. 18

F2

x

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置) 13.命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 的否定 ?p 是 14.抛物线 x ? ?2 y 的焦点坐标是
2

. .

2

15.如果实数 x,y 满足 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ,则

y 的最大值是 x



16.已知 M (?5,0) , N (5, 0) 是平面上的两点,若曲线 C 上至少存在一点 P ,使 |PM | ?| PN| ? 6 , 则称曲线 C 为“黄金曲线” .下列五条曲线:

y 2 x2 ? ?1; 16 9 x2 y 2 ? ? 1; ④ 4 9


② y2 ? 4x ;



x2 y 2 ? ?1; 4 9

⑤ x2 ? y 2 ? 2 x ? 3 ? 0 .(写出所有 “黄金曲线”的序号) ..

其中为“黄金曲线”的是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (12 分)已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 和 l 2 : x ? (a ? 1) y ? a 2 ? 1 ? 0 . (Ⅰ)若 l1 ? l 2 , 求实数 a 的值;(Ⅱ)若 l1 // l 2 , 求实数 a 的值.

18.(12 分) 抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴的正半轴的抛物线的焦点到准线的距离为 2. (Ⅰ)求抛物线的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? 2 x ? 1与抛物线相交于 A,B 两点,求 AB 的长度.

19. (12 分)已知命题 p : “?x ?[1,2], x 2 ? a ? 0” , 命题 q :关于 x 的方程 x ? 2ax ? a ? 2 ? 0 有
2

解。若命题“ p 且 q ”是真命题, 求实数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分) “奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查,统计出售价 x 元和销售量 y 杯之间的一 组数据如下表所示: 价格 x 销售量 y 5 12 5.5 10 6.5 6 7 4

通过分析,发现销售量 y 对奶茶的价格 x 具有线性相关关系。 (Ⅰ)求销售量 y 对奶茶的价格 x 的回归直线方程; (Ⅱ )欲使销售 量为 13 杯,则价格应定为多少?
3

?? ?x ? a ? 中, b 注:在回归直线 y ? b
4

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx 2

?x
i ?1

? x. ? = y -b ,a

2 i

?x
i ?1

2 i

? 5 2 ? 5.5 2 ? 6.5 2 ? 7 2 ? 146.5

x2 y 2 21. (小题满分 12 分)设 A, B 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右顶点,双曲线的实 a b
轴长为 4 3 ,焦点到渐近线的距离为 3 . (Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)已知直线 y ?

3 x ? 2 与双曲线的右支交于 M , N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D ,使 3

???? ? ???? ???? OM ? ON ? tOD ,求 t 的值及点 D 的坐标.

22. (本小题满分 14)如图,中心在原点的椭圆的焦点在 x 轴上,长轴长为 4,焦距为 2 3 , O 为 坐标原点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)是否存在过 M (0, 2) 的直线与椭圆交于 A , B 两个不同点,使以 AB 为直径的圆过原点?若 存在,求出直线方程,若不存在,请说明理由.

y

o
(第 22 题图)

x

4

南安一中 2015~2016 上学期高二年期末考数学(文)试卷 参考答案 1-6 BDCBAB 7-12 DCCBAC 14. (0,? )

13. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 17

1 2

15.

3

16. ②⑤

(1) 若 l1 ? l 2 , 则 a ? 1 ? 2( a ? 1) ? 0 ? a ?

2 . ................6 分 3

(2) 若 l1 // l 2 , 则 a ? (a ? 1) ? 1? 2 ? 0 ? a ? ?1或2. .... .................10 分 经检验, a ? 2 时, l1 与 l 2 重合. a ? ?1 时, 符合条件.? a ? ?1. .......12 分 18.解(1)由题意可知 p=2。??2 分∴抛物线标准方程为:x =4y????5 分 (2)直线 l:y=2x+l 过抛物线的焦点 F (0,1) ,设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ) 联立 ?
2

? y ? 2x ? 1 ?x ? 4 y
2

得 x -8x-4=0??????8 分

2

∴x1+x2=8?????10 分 ∴ AB ? y1 ? y2 ? 2 ? 2x1 ? 1 ? 2x2 ? 1 ? 2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 20 ?????12 分 19.解: p ? a ? ( x 2 ) min ? 1. ????????????????????4 分

q ? ? ? 4a 2 ? 4(a ? 2) ? 0 ? a ? ?1或a ? 2. ???????????8 分
∵“p 且 q”为真命题,∴p、q 都是真命题?????????10 分

? a ? ?1 ? “p 且 q”是真命题时, 实数 a 的取值范围是 (??,?1] ???12 分
20. 解: (Ⅰ)

?x y ?x
i ?1 i ?1 4 i 2 i

4

i

? 182???1分

x ? 6, y ? 8???2分 ? ? -4,a ?x ? 32???6分 ? ? y ?b b

? 4 x 2 ? 2.5??? 4分

? ? ?4 x ? 32???7分 故回归直线方程为 y x ? 4.75???11分 (Ⅱ) 令 - 4 x ? 32 ? 13???9分 答:商品的价格定为 4.75元???12分 b 21. ( Ⅰ ) 双 曲 线 的 渐 近 方 程 为 y ? ? x , 焦 点 为 F (?c, 0) , ? 焦 点 到 渐 近 线 的 距 离 为 a bc ? b ? 3 ,?????????????2 分 a 2 ? b2 x2 y 2 ? ? 1 .???????? ?????4 分 又 2a ? 4 3,?a ? 2 3 ,双曲线的方程为 12 3
(2)设点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), D( x0 , y0 )

5

? 3 y? x?2 ? ? 2 3 由? 得: x ? 16 3x ? 84 ? 0 ,?????????????6 分 2 2 ?x ? y ?1 ? ?12 3
? x1 ? x2 ? 16 3, y1 ? y2 ? 3 ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 12 ?????????????8 分 3

? 16 3 x0 ? ? ???? ? ???? ???? ? t ??????10 分 ? OM ? ON ? tOD ,?t ( x0, y0 ) ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,有 ? ? y ? 12 0 ? t ?
16 3 2 12 2 ( ) ( ) t ? t ? 1 , 解得 t 2 ? 16 ,? 点 D 在双曲线的右支上, 又点 D( x0 , y0 ) 在双曲线上,? 12 3
? t ? 0 ,? t ? 4 ,此时点 D(4 3,3) .????????????12 分
22(Ⅰ)设椭圆的方程为:

? 2a ? 4 ? a ? 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2
?????????????1 分 ?????????????2 分 ?????????????3 分
2

? 2c ? 2 3 ?c ? 3 ?b2 ? a 2 ? c 2 ? 1
所以,椭圆的方程为:

x ? y2 ? 1 ?????????????4 分 4 (Ⅱ)法一:假设存在过 M (0, 2) 的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两个不同点,使以 AB 为直径的圆 过原点,依题意可知 OA ? OB . ①当直线 l 的斜率不存在时, A 、 B 分别为椭圆短轴的端点,不符合题意 ?5 分 ②当直线 l 的斜率存在时,设为 k ,则直线 l 的方程为: y ? kx ? 2 ? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 得: (4k 2 ? 1) x2 ? 16kx ? 12 ? 0 ?????????7 分 2 ? ? y ?1 ?4 令 ? ? 0 ,得: (16k )2 ? 4 ? (4k 2 ? 1) ?12 ? 4k 2 ? 3 ? 0 3 ?k2 ? ?????????????8 分 4 16k 12 , x1 x2 ? 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? 2 ??????9 分 4k ? 1 4k ? 1 又 y1 ? kx1 ? 2 , y2 ? kx2 ? 2

? y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4
? 12 32k 2 ? ?4 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 ?20k 2 4 ? 4k 2 ? 2 ?4? 2 4k ? 1 4k ? 1

?????????????10 分
6

? OA ? OB

? x1x2 ? y1 y2 ? 0

12k 2 4 ? 4k 2 ? ?0 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 3 ?k2 ? 4 ? 4 ? k ? ?2 ????????????????????13 分 ? 直线 l 的方程为: y ? ?2 x ? 2 ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 或 2 x ? y ? 2 ? 0 所以, 存在过 M (0, 2) 的直线与椭圆交于 A 、B 两个不同点, 使以 AB 为直径的圆过原点, 其方程为: 2 x ? y ? 2 ? 0 或 2 x ? y ? 2 ? 0 ??????????14 分 (Ⅱ) 法二:假设存在过 M (0, 2) 的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两个不同点,使以 AB 为直径的圆 过原点,依题意可知 OA ? OB ,设直线 l 的方程为: x ? m( y ? 2) ???5 分 ? x ? m( y ? 2) ? 由 ? x2 得: (m2 ? 4) y 2 ? 4m2 y ? 4m2 ? 4 ? 0 ???????7 2 ? y ? 1 ? ?4 令 ? ? 0 ,得: 16m4 ? 4 ? (m2 ? 4) ? (4m2 ? 4) ? 64 ? 48m2 ? 0 4 ? 0 ? m2 ? ??????????????8 3 4m 2 4m 2 ? 4 , y1 y2 ? 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? 2 ?????9 m ?4 m ?4 12m 2 又 x1x2 ? m( y1 ? 2) ? m( y2 ? 2) ? m2[ y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4] ? 2 ??10 分 m ?4 12m2 4m2 ? 4 ? OA ? OB ? 2 ? ?0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 m ? 4 m2 ? 4 1 4 1 ? m2 ? ? ? m ? ? ????13 分 4 3 2 1 ? 所求直线的方程为: x ? ? ( y ? 2) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 或 2 x ? y ? 2 ? 0 2 所以, 存在过 M (0, 2) 的直线与椭圆交于 A 、B 两个不同点, 使以 AB 为直径的圆过原点, 其方程为: 2 x ? y ? 2 ? 0 或 2 x ? y ? 2 ? 0 ?????????????14 ?

7


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