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学案75:《三角恒等变换》小结与复习


高一数学《必修 4》编号 75

编制:刘菊芳

审核:林伟湛

高一( )班 第___组 姓名

时间:



行政签字

三角恒等变换小结与复习
【复习要点】
sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ?

tan(? ? ? ) ?
用 ?? 代 ? 1.熟记以下公式:

sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? tan(? ? ? ) ?

令? ??

sin 2? ? cos 2? ? tan 2? ?
= = 变形

sin ? cos ? ?

sin 2 ? ? cos 2 ? ?

2.三角恒等变换: 常用的数学思想方法技巧如下: (1)角的变换:在三角化简、求值、证明中,表达式中往往出现较多的相异角, 可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解, 对角的变换如: ① 2? 是 的二倍; 4? 是 ③ 的二倍; ? 是 的二倍;

?
2

? 2? 是

的二倍.

② ? ? (? ? ? ) ? ? ;

?
4

?? ?

?

? ( ? ? ) ;④ 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? ( ? ? ) ? ( ? ? ) 等等 2 4 4 4

?

?

?

(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础 ,通常切化 ...... .. 弦,变异名为同名 . ........ (3)常数代换:在三角函数运算、求值、证明中,有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常数“1”的代换变形有: 1 ? sin ? ? cos ? ? sin 90? ? tan 45? .
2 2

(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂 公式有: , . (5)化一公式: a sin ? ? b cos ? ? (其中 sin ? =

a 2 ? b2 (

a a ?b
2 2

sin ? ?
.)

b a ?b
2 2

cos ? ) ? a 2 ? b2 sin(? ? ? )

?= ;c o s

(6)三角函数式的化简运算通常从“角、名、形、幂”四方面入手:

基本规则:切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值与特殊角的三
角函数互化.

1

【课内探究】
例1. 已知 cos(

?

3 ? 12 ? 3? ? ? ? ) ? ,sin( ? ? ) ? , ? ? ( , ), ? ? (0, ) ,求 sin(? ? ? ) 的值. 4 5 4 13 4 4 4

例 2. 已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 sin(? ? x) cos(? x) ?
2

1 .(1)求函数 f ( x ) 最小正周期; 2

(2)求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量 x 的集合; (3)求函数的单调增区间.

2

【课后作业】
1.

sin 15o ? cos15o 的值为( sin 15o ? cos15o
A.



3 B. 3

2? 6 4

C.

2? 6 4


D. ? 3

2.

1 3 cos ? ? sin ? 可化为( 2 2
A. sin?

?? ? ?? ? ? ?? B. sin? ? ?? ?6 ? ?3 ? ? ? ?? 2?

C. sin?

?? ? ?? ? ? ?? D. sin? ? ?? ?6 ? ?3 ?


3. 若 ?、? ? ? 0, ? ,且 tan ? ?

4 1 , tan ? ? ,则 ? ? ? 的值是( 3 7
D.

A.

? 3

B.

? 4

C.

? 6

? 8
) D. T ?

4. 函数 y ? 8 sin x cos x cos 2 x 的周期为 T,最大值为 A,则( A. T ? ?,A ? 4 B. T ?

? ,A ? 4 2

C. T ? ?,A ? 2

? ,A ? 2 2

5.

tan 200 ? tan 400 ? tan1200 ? tan 200 ? tan 400



1 ,则 cos4? ? _____________. 3 4 5 7. 已知 ? , ? 都是锐角, sin ? ? , cos(? ? ? ) ? ,求 tan ? 的值. 5 13
6. 已知 sin ? ? cos ? ?

3

8. 设函数 f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos( x ? ? )cos x( x ? R) . (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)若函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 函数 y ? g ( x) 的图象,求 y ? g ( x) 在 [0,

? 3 个单位,再向上平移 个单位后得到 4 2

?
4

] 上的最大值.

9. 已知函数 f ( x) ? a(cos2 x ? sin x cos x) ? b . (2)当 a ? 0 且 x ? [0,

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调递增区间;

?
2

] 时, f ( x) 的值域是 [3, 4], 求 a , b 的值.

4


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