koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

上海市六校2014届高三3月联考数学(文)试题


2014 年上海市高三年级 六校联考 数学试卷(文科) 2014 年 3 月 6 日 (完卷时间 120 分钟,满分 150 分)
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横 线上,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 已知 ? ? ?

4 ?? ? , ? ? , sin ? ? ,

则 tan ? ? 5 ?2 ?



2.

已 知 集 合 A ? ??1, m? , B ? ?x | x ? 1? , 若 A 是 .

B?? , 则 实 数 m 的 取 值 范 围

3.

设等差数列 ?a n ? 的前项和为 S n ,若 a9 ? 11 , a11 ? 9 ,则 S19 等于 若 ? a ? i ?? 2 ? i ? 是 纯 虚 数 ( i 是 虚 数 单 位 ) , 则 实 数 a 的 值 为 . 开始



4.

5.

抛 物 线 y2 ? 4x 的 焦 点 到 双 曲 线 是 .

x2 ? y2 ? 1 的 渐 近 线 的 距 离 4

输入 i

n ?1
S ?0
n ? n ?1

6.

已 知 向 量 a ? 2 , b ? 1 , a ?b ?1 , 则 向 量 a 与 a ? b 的 夹 角 为 . 执行右图的程序框图,如果输入 i?6 ,则输出的 S 值 为 . 不等式 是

S ? S ?n
n?i?
否 是

7.

8.

ax 1

1 则实数 a 的取值范围 ? 0 对任意 x ? R 恒成立, x ?1

n

输出 S 结 束

9.

若 an 是 ? 2 ? x ? 则 lim ?

? n ? N , n ? 2, x ? R ? 展开式中 x
*

2

项的系数,

? 22 23 2n ? ? ? ??? ? ? ? n ?? a an ? ? 2 a3



10. 已知一个圆锥 的侧面展开图是一个半径为 3 ,圆心角为 .

2 ? 的扇形,则此圆锥的体积为 3

?3 x ? y ? 2 ? 0, ? 11. 设 x, y ? R ,若不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 所表示的平面区域 是一个锐角三角形,则实数 a 的 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
取值范围是 .
2

12. 从 1, 2, ???,9 这 10 个整数中任意取 3 个不同的数作为二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c 的系数, 则使



f ?1? ? Z 的概率为 2



13. 已知点 F 为椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1的左焦点,点 P 为椭圆 C 上任意一点,点 Q 的坐标为 ? 4,3? , 2


则 PQ ? PF 取最大值时,点 P 的坐标为

14. 已知 A 、 B 、 C 为直线 l 上不同的三点,点 O ? 直线 l ,实数 x 满足关系式

x2 OA ? 2xOB ? OC ? 0 ,有下列命题:
① OB ? OC ? OA ? 0 ;
2

② OB ? OC ? OA ? 0 ;

2

③ x 的值有且只有一个; ④ x 的值有两个; ⑤ 点 B 是线段 AC 的中点. 则正确的命题是 .(写出所有正确命题的编号) 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论, 其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应的正确代号用 2B 铅笔涂黑,选对得 5 分, 不选、选错或者选出的代号超过一个,一律得零分. 15. 若 a, b ? R ,则“ a ? b 成立”是“ a ? b 成立”的
2 2





(A)充分非必要条件 (C)充要条件

(B)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件 ( )

16. 下列函数中,既是偶函数,又在区间 ?1, 2 ? 内是增函数的为 (A) y ? log2 x (B) y ? cos 2 x (D) y ? log 2

2 x ? 2? x (C) y ? 2

2? x 2? x

17. 已知 m 和 n 是两条不同的直线, ? 和 ? 是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推 出 m ? ? 的是
A) ? ? ? 且 m ? ? ( )

?

(B) ? ? ? 且 m (D) m ? n 且 ?

?∥

[来源:学。科。网]

(C) m

n 且n ? ?

?

18. 对于函数 f ? x ? ,若存在区间 A ? ? m, n? ,使得 y y ? f ? x ? , x ? A ? A ,则称函数 f ? x ? 为 “可等域函数”,区间 A 为函数 f ? x ? 的一个“可等域区间”. 下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 ( )

?

?

(A) f ? x ? ? sin ?

?? ?2

? x? ?

(B) f ? x ? ? 2x2 ?1 (D) f ? x ? ? log2 ? 2x ? 2?

(C) f ? x ? ? 2x ? 1

三、解答题(本大题共 5 题,满分 74 分)每题均需写出详细的解答过程. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c , 且 cos

A?C 1 ? . 2 2

(1)若 a ? 3 , b ? (2)若 f ? A ? ? sin A

7 ,求 c 的值;

?

3 cos A ? sin A ,求 f ? A? 的取值范围.

?

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分. 如图,几何体 EF ? ABCD 中, CDEF 为边长为 2 的正方形, ABCD 为直角梯形, AB / / CD ,AD ? DC ,AD ? 2 ,AB ? 4 ,

?ADF ? 90 .
(1)求异面直线 BE 和 CD 所成角的大小; (2)求几何体 EF ? ABCD 的体积.

E

F

C D A B

21. (本题满分 14 分) 本题共有 2 小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分. 为了保护环境,某工厂在国家的号召下,把废弃物回收转化为某种产品,经测算,处理成 本 y (万元)与处理量 x (吨)之间的函数关系可近似的表示为:

y ? x2 ? 50x ? 900 ,且每处理一吨废弃物可得价值为 10 万元的某种产品,同时获得国家补贴
10 万元.
(1)当 x ??10,15? 时,判断该项举措能否获利?如果能获利,求出最大利润; 如果不能获利,请求出国家最少补贴多少万元,该工厂才不会亏损? (2)当处理量为多少吨时,每吨的平均处理成本最少?

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 6 分. 已知各项为正数的数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,对任意的 k ? N , a2k ?1 , a2k , a2k ?1 成等比数列,
*

公比为 qk ; a2 k , a2 k ?1 , a2 k ?2 成等差数列,公差为 dk ,且 d1 ? 2 . (1)求 a2 的值; (2)设 bk ?

1 ,证明:数列 ?bk ? 为等差数列; qk ? 1

(3)求数列 ?dk ? 的前 k 项和 Dk .

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3) 小题满分 8 分. 如图,圆 O 与直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 相切于点 P ,与 x 正半轴交于点 A ,与直线 y ? 3x 在 第一象限的交点为 B . 点 C 为圆 O 上任一点,且满足 OC ? xOA ? yOB ,动点 D ? x, y ? 的轨 迹记为曲线 ? . (1)求圆 O 的方程及曲线 ? 的轨迹方程; (2)若直线 y ? x 和 y ? ? x 分别交曲线 ? 于点 A 、 C 和 B 、 D , 求四边形 ABCD 的周长; (3)已知曲线 ? 为椭圆,写出椭圆 ? 的对称轴、顶点坐标、范围和焦点坐标.

y B C O A x

P

2014 年上海市高三年级 六校联考 数学试卷(文科)答案
一、填空题 1. ? 6、

4 3

2. ?1, ?? ? 7. 21

3. 190 8.

4.

1 2

? 6
1 3

? ?4,0? ? 0, ?1?

9. 8 14.①③⑤

2 5 5 2 2 10. ? 3
5.

11、 [ ?2, ? ]

12.

41 90

13.

二、选择题 15. C

16. A

17. C

18. B

三、解答题 19. 解:(1)在△ ABC 中, A ? B ? C ? ? . 所以 cos

A?C ? ?B B 1 ? cos ? sin ? . 2 2 2 2
??????3

B ? ? ? ,所以 B ? . 2 6 3
分 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,
2 2 2

得 c ? 3c ? 2 ? 0 .
2

解得 c ? 1 或 c ? 2 . 分 (2) f ? A? ? sin A( 3 cos A ? sin A)

??????6

3 1 ? cos 2 A sin 2 A ? 2 2 ?? 1 ? ? sin ? 2 A ? ? ? . 6? 2 ? ?
分 由(1)得 B ? 则 2A ?

?????? 9

?
3

,所以 A ? C ?

2? ? 2? , A ? ? 0, 3 ? 3

? ?, ?

?

? ? 3? ?? , 6 ?6 2

? ?. ?

∴ sin ? 2 A ?

? ?

??

? ? (?1,1] . 6?

∴ f ? A? ? ? ? , ? . 2 2 ∴ f ? A? 的取值范围是 ? ? 分 20. 解:(1)解法一:在 CD 的延长线上延长至点 M 使得 CD ? DM ,连接 ME, MB, BD . 由题意得, AD ? DC , AD ? DF , DC , DF ? 平面 CDEF ,

? 3 1? ? ?

? 3 1? , . ? 2 2? ?

??????12

?

∴ AD ? 平面 CDEF ,∴ AD ? DE ,同理可证 DE ? 面 ABCD . ∵ CD / / EF , CD ? EF ? DM , E ∴ EFDM 为平行四边形, ∴ ME / / DF . 则 ?MEB (或其补角)为异面 直线 DF 和 BE D 所成的角. ??????3 分 M 由平面几何知识及勾股定理可以得

F

C B

N

ME ? 2 2,BE ? 2 6,BM ? 2 10 在 △MEB 中,由余弦定理得 ME 2 ? BE 2 ? BM 2 3 . cos ?MEB ? ?? 2ME ? BE 6 ? ?? ∵ 异面直线的夹角范围为 ? 0, ? , ? 2? 3 ∴ 异面直线 DF 和 BE 所成的角为 arccos . 6

A

??????7 分

解法二:同解法一得 AD, DC, DE 所在直线相互垂直,故以 D 为原点, DA, DC , DE 所在直线 分别为 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, ??????2 分 可得 D ? 0,0,0? , F ? 0,2,2? , B ? 2,4,0? , E ? 0,0,2? , ∴ DF ? (0, 2, 2), BE ? (?2, ?4, 2) , 得 DF ? 2 2, BE ? 2 6 . 设向量 DF , BE 夹角为 ? ,则 ??????4 分
E z F

cos ? ?

DF ? BE DF ? BE

?

0 ? ? ?2 ? ? 2 ? ? ?4 ? ? 2 ? 2 2 2 ?2 6

??

3 . 6
x A

D

C B

y

∵ 异面直线的夹角范围为 ? 0, ? , 2

? ?

?? ?

∴ 异面直线 DF 和 BE 所成的角为 arccos

3 . 6

??????7 分

(2)如图,连结 EC ,过 B 作 CD 的垂线,垂足为 N ,则 BN ? 平面 CDEF ,且 BN ? 2 . ??????9 分 ∵ VEF ? ABCD ? VE ? ABCD ? VB ? ECF ?????11 分 F E

1 1 ? S△ABCD ? DE ? S△EFC ? BN 3 3 1 1 1 1 ? ? ? (4 ? 2) ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 3 2 3 2 16 ? . 3 16 ∴ 几何体 EF ? ABCD 的体积为 .??14 分 3

D C A B

N

21. 解:(1)根据题意得,利润 P 和处理量 x 之间的关系:

P ? (10 ? 10) x ? y

? 20 x ? x2 ? 50 x ? 900 ? ? x 2 ? 70 x ? 900
? ? ? x ? 35 ? ? 325 , x ? [10,15] .
2

??????2 分
2

∵ x ? 35 ?[10,15] , P ? ? ? x ? 35 ? ? 325 在 [10,15] 上为增函数, 可求得 P ?[?300, ?75] . ∴ 国家只需要补贴 75 万元,该工厂就不会亏损. (2)设平均处理成本为

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

??????5 分 ??????7 分

y 900 ? x? ? 50 x x 900 ? 2 x? ? 50 ? 10 , x 900 当且仅当 x ? 时等号成立,由 x ? 0 得 x ? 30 . x 因此,当处理量为 30 吨时,每吨的处理成本最少为 10 万元. Q?
22. 解:(1)由题意得
2 ? ? a2 ? a1a3 , a22 ? a2 ? 2 , a2 ? 2 或 a2 ? ?1 . ? ? ? a3 ? a2 ? 2 故数列 ?an ? 的前四项为 1, 2, 4,6 或 1, ?1,1,3 .

??????9 分 ??????11 分

??????14 分

??????2 分 ??????4 分

(2)∵ a2k ?1 , a2 k , a2 k ?1 成公比为 qk 的等比数列,

a2k ?1 , a2k ?2 , a2 k ?3 成公比为 qk ?1 的等比数列 ∴ a2 k ?1 ? a2 k qk , a2k ?2 ? a2k ?1qk ?1 又∵ a2 k , a2 k ?1 , a2 k ?2 成等差数列, ∴ 2a2k ?1 ? a2k ? a2k ?2 . a 1 得 2a2 k ?1 ? 2 k ?1 ? a2 k ?1qk ?1 , 2 ? ? qk ?1 , qk qk
[来源:学.科.网]

??????6 分

qk ? 1 ? qk ?1 ? 1 , qk q 1 1 1 1 ∴ , ? k ? 1? ? ? 1 ,即 bk ?1 ? bk ? 1 . qk ?1 ? 1 qk ? 1 qk ? 1 qk ?1 ? 1 qk ? 1 1 1 1 ∴ 数列数列 ?bk ? 为公差 d ? 1 等差数列,且 b1 ? ??8 分 ? 1 或 b1 ? ?? . q1 ? 1 q1 ? 1 2 3 ∴ bk ? b1 ? ? k ?1? ?1 ? k 或 bk ? k ? . ??????10 分 2 1 k ?1 (3)当 b1 ? 1 时,由(2)得 bk ? . ? k , qk ? qk ? 1 k
a2 k ?1 ? k ? 1 ? a2 k ?1 a2 k ?1 a ? k ?1 ? ?? ? ????? 3 ? a1 ? ? ? , a2 k ?1 ? ? a2 k ?1 ? k ? a2 k ?1 a2 k ?3 a1 ? k ? a a2 k ? 2 k ?1 ? k ? k ? 1? , qk
2

2

2 ? k ? ? 2? ?? ? ????? ? ? ? 1 ? ? k ? 1? , ? k ?1 ? ?1?

2

2

dk ? a2k ?1 ? a2k ?
当 b1 ? ?

k ? k ? 3? a2k ?1 . ? k ? 1, Dk ? qk 2

??????13 分 ??????16 分

1 时,同理可得 dk ? 4k ? 2 , Dk ? 2k 2 . 2
这个数列,猜想 qm ?

解法二: (2)对 1, ?1,1,3, ⅰ)当 m ? 1 时, q1 ?

2 ?1 ? 1 ? ?1 ,结论成立. 2 ?1 ? 3

2m ? 1 ? m ? N* ? , 下面用数学归纳法证明: 2m ? 3

* ⅱ)假设 m ? k k ? N 时,结论成立,即 qk ?

?

?

则 m ? k ? 1时,

2k ? 1 . 2k ? 3
2

2k ?1 ? 2k ?1 ? 由归纳假设, a2k ? a2k ?1 , a2k ?1 ? a2k ?1 ? ? . 由 a2k , a2k ?1 , a2k ?2 成等差数列可知 2k ? 3 ? 2k ? 3 ? ? 2k ? 1?? 2k ? 1? a 2k ? 1 a2 k ? 2 ? 2a2 k ?1 ? a2 k ? a2 k ?1 ? ,于是 qk ?1 ? 2 k ? 2 ? , 2 a2 k ?1 2k ? 1 ? 2k ? 3 ? ∴ m ? k ? 1时结论也成立. 2m ? 1 m ? N* ? . 所以由数学归纳法原理知 qm ? ??????7 分 ? 2m ? 3 1 1 3 此时 bk ? ? ?k? . qk ? 1 2k ? 1 ? 1 2 2k ? 3 k ?1 1 1 同理对 1, 2, 4, 6, 这个数列,同样用数学归纳法可证 qk ? . 此时 bk ? ? ?k. k qk ? 1 k ? 1 ? 1 k 3 ∴ bk ? k 或 bk ? k ? . ??????10 分 2

(3)对 1, ?1,1,3,

这个数列,猜想奇数项通项公式为 a2 k ?1 ? ? 2k ? 3 ? .
2
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

显然结论对 k ? 1 成立. 设结论对 k 成立,考虑 k ? 1 的 情形.

2k ? 1 由(2) , qk ? ? k ? 1, k ? N ? 且 a2k ?1, a2k , a2k ?1 成等比数列, 2k ? 3
2 ? 2k ? 1 ? 2 ? 2k ? 1 ? 故 a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? ? ? ? ? 2k ? 3? ? ? ? ? ? 2k ? 1? ,即结论对 k ? 1 也成立. ? 2k ? 3 ? ? 2k ? 3 ? 2 从而由数学归纳法原理知 a2 k ?1 ? ? 2k ? 3 ? .于是 a2k ? ? 2k ? 3?? 2k ?1?(易见从第三项起每项均为 2 2

正数)以及 dk ? a2k ?1 ? a2k ? 4k ? 2 ,此时 Dk ? 2 ? 对于 1, 2, 4, 6,

? ? 4k ? 2? ? 2k 2 . ??????13 分

a2k ? k ? k ?1? , dk ? a2k ?1 ? a2k ? k ?1 .
此时 Dk ? 2 ? 3 ?

这个数列,同样用数学归纳法可证 a2k ?1 ? k 2 ,此时

? ? k ? 1? ?

k ? k ? 3? . 2

??????16 分

23. 解:(1)由题意圆 O 的半径 r ?
2

2 1 ?

? 3?
?
2

2

? 1,
??????2 分

故圆 O 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1. 由 OC ? xOA ? yOB 得, OC ? xOA ? yOB , 即 OC ? x OA ? y OB ? 2 xy OA OB cos 60 ,得
2 2 2 2 2

2

?

? 2 3 2 3? , x2 ? y 2 ? xy ? 1 ( x, y ? ? ? ? )为曲线 ? 的方程.(未写 x, y 范围不扣分)?4 分 3 3 ? ?

? ?x ? ?y ? x ? (2)由 ? 2 解得: ? 2 ? x ? y ? xy ? 1 ?y ? ? ?
所以,A(

3 ? ?x ? ? 3 或? ? 3 ? y?? ? 3 ?

3 3 , 3 3

3 3 3 3 , ),C(- ,- ) 3 3 3 3

同理,可求得 B(1,1),D(-1,-1) 所以,四边形 ABCD 的周长为:
2 2

17 9

(3)曲线 ? 的方程为 x ? y ? xy ? 1 ( x, y ? ? ?

? 2 3 2 3? , ? ), 3 ? ? 3

它关于直线 y ? x 、 y ? ? x 和原点对称,下面证明:
2 2 为P 1 在曲线 ? 上,故曲线 ? 关于直线 y ? x 对称, 1 ? y0 , x0 ? ,显然 y0 ? x0 ? y0 x0 ? 1 ,所以点 P

设曲线 ? 上任一点的坐标为 P ? x0 , y0 ? ,则 x02 ? y02 ? x0 y0 ? 1 ,点 P 关于直线 y ? x 的对称点 同理曲线 ? 关于直线 y ? ? x 和原点对称.

可以求得 x2 ? y 2 ? xy ? 1 和直线 y ? x 的交点坐标为 B1 ? ?

? ? 3 3? 3 3? , ? , B ? ? 2 ? 3 ? ? 3 , 3 ? ? 3 ? ? ? ? 2 2 x ? y ? xy ? 1 和直线 y ? ? x 的交点坐标为 A1 ? ?1,1? , A2 ?1, ?1? ,

[来源:Zxxk.Com]

2 3 6 2 2 , OA1 ? OB1 ? , OA1 ? 2 , OB1 ? 3 3
在 y ? ? x 上取点 F1 ? ? 曲线 ? 为椭圆: 其焦点坐标为 F1 ? ?

OA1 ? OB1 2

2

2

?

6 . 3

? ? ?

? 6 6 6? 6? , , F , ? ? ? ? 2 ? 3 ? . 3 3 ? 3 ? ? ?

? ? ?

? 6 6 6? 6? , , F , ? ? ? ? 2 ? 3 ?. 3 3 ? 3 ? ? ?


推荐相关:

上海市六校2014届高三3月第二次联考数学理试题

上海市六校2014届高三3月第二次联考数学试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。上海市六校2014届高三3月第二次联考数学试题,word版含答案2014...


上海2015届高三3月六校联考数学文试题 (Word版含答案)

上海2015届高三3月六校联考数学文试题 (Word版含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。上海2015届高三3月六校联考数学文试题 (Word版含答案) ...


上海市六校2014届高三3月第二次联考数学文试题

2014上海市高三年级 六校联考 数学试卷(文科) 20143 月 6 日 (完卷时间 120 分钟,满分 150 分)一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 ...


上海市六校2014届高三3月第二次联考数学文试题

上海市六校2014届高三3月第二次联考数学文试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。上海市六校2014届高三3月第二次联考数学文试题,word版含答案2014...


上海市高三数学六校联考卷(2015.3)

上海市高三数学六校联考卷(2015.3)_高三数学_数学_...3n ? 2 , (文)54 2015 1 ,(文) [ , 2 ?...


上海市六校2015届高三3月联考数学理试题

上海市六校2015届高三3月联考数学试题_数学_高中教育_教育专区。2015 年上海市高三年级六校联考 数学试卷(理科) 2015 年 3 月 6 日 (完卷时间 120 分钟,...


浙江省六校2015届高三3月联考数学(理)试题

浙江省六校2015届高三3月联考数学()试题_数学_高中教育_教育专区。浙江省六校 2015 届高三年级联考 数学(理)试题本试题卷分选择题和非选择题两部分,考试时间为...


2014年上海市高三年级六校联考数学试卷与答案

2014上海市高三年级 六校联考 数学试卷(理科) 20143 月 6 日 (完卷时间 120 分钟,满分 150 分)一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 ...


2014年上海市高三年级六校联考数学试卷(文

2014上海市高三年级六校联考数学试卷(文2014上海市高三年级 六校联考 数学试卷(文科) (完卷时间 120 分钟,满分 150 分) 20143 月 6 日 一、...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com