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广东省汕头市潮南区两英中学2012-2013学年度高一第一学期第二次阶段考试(数学) (1)


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广东省汕头市潮南区两英中学 2012-2013 学年度高一第一学期第二次阶段考试

数学
一、选择题(10 小题,每题 5 分,共 50 分,在每小题的四个选项中只有一个符合题目的要求) 1. 已知全集 U ? {0,1, 2,3, 4} ,集合 M ? {1,

2,3} , N ? {0,3, 4} ,则 ? U M ? N ? A. ?
0.5

?

?

B. {3, 4}

C. {1, 2}

D. {0, 4}

2. 若 a ? 2 , b ? log? 3 , c ? log2 0.5 ,则 A. b ? c ? a B. c ? a ? b 3. 下列各式中,正确的是 A. sin 3 ? 0 B. sin 4 ? 0 C. a ? b ? c C. tan 3 ? 0 D. b ? a ? c D. tan 4 ? 0

4. 点 P 从 (1, 0) 出发,沿圆心在原点且半径为 1 的单位圆以逆时针方向运动 点,则 Q 点的坐标为

2? 弧长到达 Q 3

A. (?

3 1 , ) 2 2

B. (?

3 1 ,? ) 2 2

C. (? , ?

1 2

3 ) 2

D.

1 3 (? , ) 2 2
5. 设 f ( x) ? lg

x ?1 1 , g ( x ) ? e x ? x ,则 x ?1 e
B. f ( x ) 与 g ( x) 都是奇函数 D. f ( x ) 与 g ( x) 都是偶函数

A. f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数 C. f ( x ) 是偶函数, g ( x) 是奇函数

2 6. 函数 f ( x) ? 4 x ? mx ? 5 在区间 [?2, ??) 上是增函数,则 f (1) 的取值范围是

A. f (1) ? 25

B. f (1) ? 25

C. f (1) ? 25

D. f (1) ? 25

7. 根 据 下 表 中 的 数 据 , 可 以 判 定 函 数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 有 一 个 零 点 所 在 的 区 间

(k , k ? 1)(k ? N? ) ,则 k 为

x
ln x

1 0

2 0.69

3 1. 10

4 1.39

5 1.61

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知圆的半径为 2,一条弦的长度等于半径,则这条弦和这条弦所对的劣弧所组成的弓形 的面积为 A.

4? ?2 3 3

B.

4? ? 3 3

C.

2? ?2 3 3

D.

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2? ? 3 3
9. 若 sin ? ?

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[

?
6

[

?
3

1 ,则 ? 的取值范围是 2 ? 5? ? 2k? , ? ? 2k? ]( k ? Z) A. [2k? , ? 2k? ] ? [ 6 6 5? ? 2 k? , ? 2k? ]( k ? Z) 6 ? 2? ? 2k? , ? ? 2k? ](k ? Z) C. [2k? , ? 2k? ] ? [ 3 3 2? ? 2 k? , ? 2k? ](k ? Z) 3

B.

D.

10. 已知函数 f ( x) ? ?

?4 x ? 4, x ? 1
2 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1

,则关于 x 的方程 f ( x) ? log2 x 的实根个数是 D. 1

A. 4 B. 3 C. 2 二、填空题(每题 5 分,共 20 分.将答案写在答题纸上) 11. 函数 f ( x) ?

x?2 的定义域是____________________. log3 x ? 1 2 1 a b 12. 设 3 ? 4 ? 36 ,则 ? ? ___________________. a b 1 1 ? 2sin ? cos ? ? _______________. 13. 已知 tan ? ? ? ,则 3 sin 2 ? ? cos 2 ? 14. 已知集合 M ? {1, 2,3, 4}, A ? M ,集合 A 中所有元素的乘积称为集合 A 的 “累计值” ,
且规定:当集合 A 只有一个元素时,其累计值即为该元素的数值,空集的累计值为 0.若集合 A 的累计值为 3,则这样的集合 A 共有______个. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15. (12 分)(1)函数 f ( x) ? (a ? b) x ? b ? 3 是幂函数,求 b (2)计算: tan
a 3
2log3 2

?a

?

1 2

的值.

?
4

? cos 4

?
2

? 2sin 3? ? sin 2

?
3

5 ,求 sin ? 和 cos ? 的值. 12 10 x ,求 sin ? 和 tan ? 的值. 17. (14 分)已知角 ? 终边上一点 P( x,3) ,且 cos ? ? 10 4x 18. (14 分)设 f ( x) ? x ,若 0 ? a ? 1 ,试求: 4 ?2 (1) f (a) ? f (1 ? a) 的值; 1 2 3 4024 )? f ( )? f ( ) ?? ? f ( ) 的值; (2) f ( 4025 4025 4025 4025 (3)求 f ( x ) 的值域.
16. (12 分)已知 tan ? ? ? 19. (14 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥 上的车流速度 v (单位:千米/时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密 度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车路
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速度为 60 千米/时.研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v( x) 的表达式; (2) 当车流密度 x 为多大时,车流量 (单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/时) f ( x) ? x ? v( x) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/时)

20. (14 分 ) 已 知 定 义 在 (??,0) ? (0, ??) 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 : ① 对 于 任 意

x, y ? (??, 0) ? (0, ??) , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ;②当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,且 f (2) ? 1 . (1)试判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)判断函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上的单调性; (3)求函数 f ( x ) 在 (0, 4] 的最大值; (4)求定义在 (0, ??) 上的不等式 f (3x ? 2) ? f ( x) ? 4 的解集.

数学答案
一、选择题(每题 5 分) 题号 答案 D

1
C

2
A

3
D

4
A

5
B

6
A

7
D

8
B

9

10
B

二、填空题(每题 5 分) 11、 (0,3) ? (3, ??) 13、 ? 12、 1

1 2

14、 2

三、解答题 15 、 ( 1 ) 解 :

? f ( x)











?b ? 3 ? 0 ??????????????????????????2 分 ?? ?a ? b ? 1
解 得

a ? 4 b ? ?????????????????????????????????? ,
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?????3 分 所以 b
2log3 2 1 2 1 2

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1 4
1 2

?a

?

? 32log3 2 ? 4

?

? 3log3 2 ?

2

1 ? 4 ? ?????????????????????? 2
???????5 分

?
???????6 分 (2) 解: 原式 ? 1 ? 0 ? 0 ? 答对 1 个得 1 分)

7 ??????????????????????? 2

3 ????????????????????????4 分 (每 4

?

1 ??????????????????????????????? 4

???????6 分

16







?t

? a ?? n

5 ? ?? 12

0 为 ,第













角。??????????????????????2 分

? cos 2 ? ?

1 12 ,? cos ? ? ? ?????????????????????? 2 1 ? tan ? 13

????????4 分 ①当 ? 为第二象限角时,

sin ? ? 0,? cos ? ? ?
????????3 分 ② 当 ?

12 5 ? sin ? ? ?????????????????????? 13 13
为 第 四 象 限 角 时 ,

s ? ?i ?

n

1 2 ??0 1 3

5 , ? ?????????????????? ?c ?o ? s s 12 分i 1 3

n

(两种情况,每答对 1 种情况得 5 分)

17


2













r ?|
分 由 三

?????????????????????????????? 1 O |? P ?9 x















cos ? ?

x ? r

x x ?9
2





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? cos ? ?


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10 x 10 x,? ? x ??????????2 分 10 x2 ? 9 10

得 x ? ?1或x ? 0 ????????????????????????????????

??????5 分 当

x ?1





P









(1,3)







cos ? ?


10 3 3 10 3 ?sin ? ? ? , tan ? ? ? 3 ????????8 分 10 10 1 10
时 ,

x ? ?1

P









(?1,3)







cos ? ?

? 10 3 3 1 0 3 ?s ? i? n ? ?? ? , ? ???? t a 11 n分 10 1 0 ? 1 10

3

当 x ? 0 时 , P 点 坐 标 为 (0,3) , 此 时 cos ? ? 0 , sin ? ? 1 , tan ? 的 值 不 存 在。???????????14 分 18 、 解 : ( 1 )

f (a) ? f (1 ? a) ?
??1 分

4a 41?a ? ??????????????????????? 4a ? 2 41?a ? 2

4 a 4 ? a ? 4 ?????????????????? 4 ?2 4 ?2 4a
a

???????2 分

?
???????3 分

4a 4 ? ????????????????? a 4 ? 2 4 ? 2 ? 4x

?
???????4 分

4a 2 ? ?????????????????? a 4 ? 2 2 ? 4x

? 1 ????????????????????????
????????5 分 ( 2 )

?0 ?

1 2 3 4024 ? ? ??? ?1 4025 4025 4025 4025







1



得???????????????????6 分

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f(

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1 2 3 4024 )? f ( )? f ( ) ?? ? f ( ) 4025 4025 4025 4025
1 4024 2 4023 2012 2013 )? f ( )] ? [ f ( )? f ( )]? ? [ f ( )? f ( )] ? ?? ?? ??? ? 4025 4025 4025 4025 4025 4025

?[ f (

????????8 分 ? 1? 2012 ? 2012 ???????????????????????????????? ???????9 分 ( 3 )

4x 2 ? f ( x) ? x ? 1? x ?????????????????????????? 4 ?2 4 ?2
?????10 分 又

4x ? 0 ? 4x ? 2 ? 2 ??????????????????????????????
??????11 分

?0 ?

1 ? 1 ???????????????????????????????? 4 ?2
x

???????12 分

?0 ? 1?

1 ? 1 ?????????????????????????????? 4 ?2
x

???????13 分

? f ( x) ?

4x 4x ? 2









(0,1). ??????????????????????????????14 分 0 ? x ? 20 时 19 、 解 : ( 1 ) 由 题 意 知 , 当



v( x ? )

6 0 ;?????????????????????? 2分

当 20 ? x ? 200 时 , 设 v( x) ? ax ? b , 再 由 已 知 得 ?

0 ?2 0 a0? b ? , 解 得 a?b ? 6 0 ?2 0

1 2 0 0 a ? ? ,b ? ???????5 分 3 3
故 函 数

v( x)











?60, 0 ? x ? 20 ? ?????????????????????6 分 v( x) ? ? 1 200 ? x ? , 20 ? x ? 200 ? 3 ? 3
( 2 ) 依 题 意 并 由 ( 1 ) 可 得

?60 x, 0 ? x ? 20 ? ??????????????????8 分 f ( x) ? ? 1 2 200 ? x ? x, 20 ? x ? 200 ? 3 ? 3
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当 0 ? x ? 20 时 , f ( x ) 为 增 函 数 , 故 当 x ? 20 时 , 其 最 大 值 为

60 ? 20 ? 1200 ;???????????10 分 1 10000 2 x? 100 ) ? , 以 当 x ? 100 时 , 其 最 大 值 为 当 20 ? x ? 200 时 , f ( x ) ? ? ( 所 3 3 10000 。?????12 分 3
综 上 所 述 , 当 x ? 100 时 ,

f ( x) 在 区 间 [0, 200] 上 取 得 最 大 值

10000 ? 3333 ?????????????13 分 3
即 当 车 流 密 度 为 100 辆 / 千 米 时 , 车 流 量 可 以 达 到 最 大 , 最 大 值 约 为 3333 辆 / 时。???????????14 分 20 、 解 : ( 1 ) 令

x ? y ? 1,



f (1?1) ? f (1) ? f (1)







f( 1 ? ) 0 。????????????????? 1分
再 令

x ? y ? ?1,



f [(?1) ? (?1)] ? f (?1) ? f (?1)







f (?1) ? 0 。????????????????2 分
对 于 条 件

f( ? x ? x)

) ?y

( f? ) ) ?1 y , x 令( f y ? )





f (?

x) ?

f(

?f( ? 1 f) x3 分 ( 。??????????

又 函 数 f ( x) 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 , 所 以 函 数 f ( x) 为 偶 函 数。???????????????????4 分 (2)在 (0, ?? ) 上任取 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,则有

x2 ? 1 。又因为 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,所以 x1

f(

x2 ) ? 0 。??6 分 x1 x2 ) ? 0 , 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) , 所 以 函 数 f ( x) 在 (0, ??) 上 是 增 函 x1
f( 4 ? )f ? ( 2? f 2 ) ? , f (又 2 f ) ( 2 ? ) ( , 2 1所 ) 以

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (

数。???????8 分 ( 3 ) 因 为

f( 4 ? ) 2 ,?????????????? 9分
由 ( 2 ) 知

f ( x)



(0, 4]

















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f ( x)max ? f (4) ? 2 ???????????????????10 分
( 4 ) 因 为

f (3x ? 2) ? f ( x) ? f [(3x ? 2) x], 4 ? 2 ? 2 ? f (4) ? f (4) ? f (16) ??????????
???11 分 所 以 原 不 等 式 等 价 于

f [(3x ? 2) x] ? f (16) , ???????????????????????????12 分
又 不 等 式 是 定 义 在

(0, ??)











2





0 ?3 x ? ?2 ? ????????????????????13 分 ?x ? 0 ?( x 3 ? x ?2 ) 1 6 ?
解 得

2 8 ? x ? 。????????????????????????????????? 3 3
??????14 分

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