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安徽省师大附中2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题新人教A版


安师大附中 2013~2014 学年第一学期期末考试 高 二 数 学 试 卷
温馨提示:请注意,第 9、10、15 和 21 题,文理科试题不一样! 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.直线 3x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 ( ). ? ? ? 2? A. B. C. D. 4 6 3 3 百吨)的一组数据. 由散点图知, 用水量 y 与月份 x 之间有较 2.下表是某厂 1~4 月用水量(单位: ? ? ?0.7 x ? a ? ,则 a ?= ( 好的线性相关关系,其线性回归直线方程为 y ). 月份 用水量 A.10.5 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 1 4.5 B.5.15 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 2 4 C.5.2 ). D. x ? 2 y ? 1 ? 0 ). C. 2 x ? y ? 2 ? 0 3 3 4 2.5 D.5.25

3.经过点(1,0),且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是(

4.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,则下列命题正确的是( A.若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n C.若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? B.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ∥ ? D.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ∥ n

5.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是 (

).

1 ? 4? A. 4?
2 2

1 ? 2? B. 2?
2

C.
2

1 ? 2?

?

1 ? 4? D. 2?
). ). D.内切 D. 8 2

6.圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 0 与圆 C2 : x ? y ? 4 y ? 0 位置关系是( A.相离 A.8 B.相交 B.10
m

C.外切 C. 6 2
2 2

7.某四面体的三视图如图所示,则该四面体四个面的面积中最大的是(
2

8.已知直线 3x ? y ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? n 相切,其中 m, n ? N * , 且 n ? m ? 5 , 则 满 足 条 件 的 有 序 实 数 对 (m ,n )共 有 的 对 数 为 ( ). A.1 B.2 C.3 D.4 ( C. 14? D. 64? ). 9.(文科)已知某长方体的三个相邻面的表面积分别为 2,3,6,且该长方体的顶点都在同一个 球面上,则这个球的表面积为 A.

7? 2

B. 56?

(理科) 已知如图, 四面体 ABCD 中,P, Q, R 分别在棱 BC, CD, DA 上, 且 BP ? 2PC, CQ ? 2QD, DR ? RA, 则 A, B 两点到平面 PQR 的距离 之比为 ( A. 1: 4 ). B. 1: 3 C. 1: 2
2 2

D. 1:1

10.(文科)直线 y ? kx ? 3 与圆 C : ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M , N 两点. 若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围是 ( A. ? ? ,0 ? ? 4 ?
? 3 ? ? 3?

). C. ? ?
? ? 3 3? , ? 3 3 ?

B. ???, ? ? U?0, ? ?? 4? ?

D. ? ? ,0 ? ? 3 ?
-1-

? 2

?

( 理 科 ) 已 知 满 足 条 件 x2 ? y 2 ≤1 的 点 ( x ,y) 构 成 的 平 面 区 域 的 面 积 为 S1 , 满 足 条 件

[ x]2 ? [ y]2 ≤1 的点 ( x ,y) 构成的平面区域的面积为 S 2 , (其中 [ x] 、 [ y ] 分别表示不大于 x 、 y
的最大整数) ,则下列关系正确的是 ( A. S1 ? S2 B. S1 ? S2 ). C. S1 ? S2 D. S2 ? S1 ? ?
2 2 2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.用一个与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 π ,则该球的体积为 .

12.已知 200 辆汽车在通过某一段公路的时速的频率分布直方图如图所示,则时速在[60, 70]之间的汽车大约有 辆.

13.如果执行如图所示的程序框图,输入 n ? 6, m ? 4 , 那么输出的 p 值为 .

第 12 题图

第 13 题图

14. 已 知 P( x, y为 ) 直 线 y?x 上 的 动 点 ,
2 2 m ? ( x ?1 ) ? y ( ? 2 )? x

(2?

2y ? ) 2 m? (的最小值 1 ) ,则

为 . 15.(文科)如图,在直角梯形 ABCD 中, BC ? DC ,

AE ? DC, M、N 分别是 AD、BE 的中点,将 ?ADE 沿

AE 折起( D 不在平面 ABC 内).下列说法正确的是 ①不论 D 折至何位置都有 MN / / 平面 DEC ; ②不论 D 折至何位置都有 MN ? AE ; ③不论 D 折至何位置都有 MN / / AB ; ④在折起过程中,一定存在某个位置,使 EC ? AD ; ⑤在折起过程中,一定存在某个位置,使 MN / / BD .



(理科)已知如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为1, E , F 分别为 棱 DD1 , AB 上的点(不含顶点) .则下列说法正确的是_________.

-2-

① A1C ? 平面 B1 EF ; ② ?B1 EF 在侧面 BCC1 B1 上的正投影是面积为定值的三角形; ③在平面 A1 B1C1 D1 内总存在与平面 B1 EF 平行的直线; ④平面 B1EF 与平面 ABCD 所成的二面角(锐角)的大小与点 E 位置有关,与点 F 位置无关; ⑤当 E , F 分别为中点时,平面 B1EF 与棱 AD 交于点 P ,则三棱锥 P ? DEF 的体积为

1 . 72

三、解答题:本大题共 6 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写 在答题卡上的指定区域内. 16.(本小题满分 8 分) 求经过点 A(1, 2) ,且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程. 17.(本小题满分 8 分) 已知直线 l : (2m ? 1) x ? (m ? 1) y ? 7m ? 4 ? 0(m ? R) ,圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 25 .
2 2

(Ⅰ)证明:直线 l 与圆 C 相交; (Ⅱ)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时,求 m 的值.

18.(本小题满分 8 分) 已 知 如 图 , 在 斜 三 棱 柱 A1 B1C1 ? ABC 中 , 侧 面 AA1C1C ? 底 面 ABC , 侧 面 AA1C1C 为 菱 形 ,

?A1 AC ? 60? , E , F 分别是 A1C1 , AB 的中点. (Ⅰ)求证: EF ∥平面 BB1C1C ; (Ⅱ)求证: CE ⊥面 ABC .

19.(本小题满分 9 分) 汽车是碳排放量比较大的行业之一.欧盟规定,从 2012 年开始,将对 CO2 排放量超过
130 g/km 的 M1 型新车进行惩罚.某检测单位对甲、乙两类 M1 型品牌车各抽取 5 辆进行 CO2

排放量检测,记录如下(单位: g/km ). 甲 乙 80 100 110 120 120 140 150 160

x

y

经测算发现,乙品牌车 CO2 排放量的平均值为 x乙 ? 120 g/km . (Ⅰ)从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆,则至少有一辆不符合 CO2 排放量的概率是多 少? (Ⅱ)若 90 ? x ? 130 ,试比较甲、乙两类品牌车 CO2 排放量的稳定性. (参考公式: s 2 ?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? L ? ( xn ? x)2 ] ) n
-3-

20.(本小题满分 8 分) 已知如图,直线 l : x ? y ? 5 ? 0 ,圆 C 经过 A(1,0)、B(3,0) 两点,且与直线 l 相切,圆心

C 在第一象限.
(Ⅰ)求圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 P 为 l 上的动点,求 ?APB 的最大值,以及此时 P 点坐标.

21.(本小题满分 9 分) (文科)已知如图,在三棱锥 P ? ABC 中,顶点 P 在底面的投影 H 是 ?ABC 的垂心. (Ⅰ)证明: PA ? BC ; (Ⅱ)若 PB ? PC , BC ? 2 ,且二面角 P ? BC ? A 度 数为 60? ,求三棱锥 P ? ABC 的体积 VP ? ABC 的值.

(理科)已知如图,四边形 ABCD 是矩形, PA ? 面 ABCD ,其中 AB ? 3, PA ? 4 .若在

PD 上存在一点 E ,使得 BE ? CE . (Ⅰ)求线段 AD 长度的取值范围; (Ⅱ)若满足条件的 E 点有且只有一个,求二面角 E ? BC ? A 的正切值.

高二数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A D B B B D 文C 理A 文A 理C 二、填空题 11. 8 2 ? 12. 80; 13. 360; 14. 4 ; 15.文①②④,理 ②③⑤.
3

-4-

三、解答题 16.解:当截距为 0 时,设 y ? kx ,过点 A(1, 2) ,则得 k ? 2 ,即 y ? 2 x ;?????3 分 当截距不为 0 时,设直线为

x y x y ? ? 1或 ? ? 1, a a a ?a

因为直线过点 A(1, 2) ,则得 a ? 3 ,或 a ? ?1 ,即 x ? y ? 3 ? 0 ,或 x ? y ? 1 ? 0 ,?7 分 综上可知,所求直线方程为: y ? 2 x , x ? y ? 3 ? 0 ,或 x ? y ? 1 ? 0 17.(Ⅰ)直线 l 方程变形为 (2 x ? y ? 7)m ? ( x ? y ? 4) ? 0 ,
2 x ? y ? 7 ? 0 ,得 ? x ? 3 ,所以直线 恒过定点 由? P(3,1) , l ? ? ?y ?1 ?x ? y ? 4 ? 0

?????8 分

?????????2 分

又 | PC |? 5 ? 5 ,故 P 点在圆 C 内部,所以直线 l 与圆 C 相交;?????????4 分 (Ⅱ)当 l ? PC 时,所截得的弦长最短,此时有 kl ? k PC ? ?1 , ?????????6 分 而 kl ? ?

3 2m ? 1 1 2m ? 1 , k PC ? ? ,于是 ? ?1 ,解得 m ? ? . 4 m ?1 2 2(m ? 1)

????????8 分

18.(Ⅰ)证明:取 BC 中点 M,连结 FM, C1 M .在△ABC 中, ∵F,M 分别为 BA,BC 的中点, ∴FM ∥ ∵E 为 AC 1 1 的中点,AC ∥ AC 1 1
1 AC. 2

∴FM ∥ EC1 .

∴四边形 EFMC1 为平行四边形 ∴ EF ∥C1M . ∵ C1M ? 平面 BB1C1C ,且 EF ? 平面 BB1C1C , ∴EF∥平面 BB1C1C .??????4 分 (Ⅱ)证明:连接 A1C ,∵ AA1C1C 是菱形, ?A1 AC ? 60? , ∴△ A1C1C 为等边三角形 ∵E 是 AC 1 1 的中点,∴CE⊥ A1C1 , ∵四边形 AA1C1C 是菱形 , ∴ A1C1 ∥ AC . ∴CE⊥ AC .

∵ 侧面 AA 1C1C ⊥底面 ABC, 且交线为 AC, CE ? 面 AA 1C1C ∴ CE⊥面 ABC. ???????????????8 分

19. 解: (Ⅰ)从被检测的 5 辆甲类品牌车中任取 2 辆,共有 10 种不同的 CO 2 排放量结果: ( 80, 110 );( 80, 120 );( 80, 140 );( 80, 150 );( 110 , 120 ); ( 110 , 140 );( 110 , 150 );( 120 , 140 );( 120 , 150 );( 140 , 150 ).

-5-

设“至少有一辆不符合 CO 2 排放量”为事件 A ,则事件 A 包含以下 7 种不同的结果: ( 80, 140 ); ( 80, 150 ); ( 110 , 140 ); ( 110 , 150 ); ( 120 , 140 ); ( 120 , 150 ); ( 140 , 150 ). 所以, P( A) ?

7 ? 0.7 . 10

???????????????4 分

(Ⅱ)由题可知, x甲 ? x乙 ? 120 , x ? y ? 220 .
2 5S甲 ? ? 80 ? 120 ? ? ?110 ? 120 ? ? ?120 ? 120 ? ? ?140 ? 120 ? ? ?150 ? 120 ? ? 3000 2

2

2

2

2

2 5S乙 ? ?100 ? 120 ? ? ?120 ? 120 ? ? ?x ? 120 ? ? ? y ? 120 ? ? ?160 ? 120 ?

2

2

2

2

2

? 2000 ? ?x ? 120 ? ? ? y ? 120 ?
2

2

???????????????6 分
2 2

2 ? 2000 ? ?x ? 120 ? ? ?x ? 100 ? , ? x ? y ? 220,? 5S乙

2 令 x ? 120 ? t ,? 90 ? x ? 130 ,? ?30 ? t ? 10 ,? 5S乙 ? 2000 ? t ? ?t ? 20 ? ,
2

2

2 2 ? 5S乙 ? 5S甲 ? 2t 2 ? 40t ? 600 ? 2(t ? 30)(t ? 10) ? 0

2 2 ? x甲 ? x乙 ? 120 , S乙 <S甲 ,∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好. ????????9 分

20. 解: (Ⅰ)由题知,设圆心 C (2, b), b ? 0 ,半径为 r ,
?r ? (2 ? 1) 2 ? (b ? 0) 2 ? ?b ? 1 则? ,解得 ? , ? | 2?b?5| r ? 2 ? ? r ? ? 1?1 ?

所以圆 C 的标准方程为: ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 ; ???????????????4 分 (Ⅱ)如图,令圆 C 与直线 l 相切于 P0 点,由平面几何知识可知 ?APB ? ?AQB ? ?AP 0B , 所以 P 取切点 P0 时, ?APB 取得最大值, ???????????????6 分

? y ? x ?1 易求直线 lCP0 : y ? x ? 1 ,由 ? 解得 P0 (3, 2) , ?x ? y ? 5 ? 0
易知 ?AP 0 B 为等腰直角三角形,则 ?AP 0 B ? 45? , 所以 ?APB 最大值为 45? ,此时 P 点坐标为 (3, 2) .???????????????8 分 21.(文科) (Ⅰ)连接 AH ,并延长交 BC 于 D ,连接 BH ,并延长交 AC 于 E ,连接 PD , 由 PH ? 面ABC ,得 PH ? BC , 又 H 是 ?ABC 的垂心,可得 AD ? BC ,而 PH ? AD ? H , 则 BC ? 面PAD ,所以 PA ? BC ;????????????4 分
-6-

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 BC ? 面PAD ,则 BC ? PD , 所以 ?PDA 为二面角 P ? BC ? A 的平面角,则有 ?PDA=60? 由 BC ? PD , PB ? PC ,可知 BD=DC ,又 BC ? AD ,所以 AB=AC 在 ?ABC 中,因为 H 是垂心,由平面几何可知 ?ABD ~ ?BHD , 所以 AD ? BD , ? AD ? DH ? BD 2 ? 1 ,则 S?PAD ? 1 AD ? PH ? 1 AD ? DH ? tan 60? ? 3 , 2 2 2 BD DH 所以 VP ? ABC ?

1 1 3 3 . S?PAD ? BC ? ? ?2 ? 3 3 2 3

???????????????9 分

(理科) (Ⅰ) 如图,过点 E 作 AD 的垂线,垂足为 F ,连结 BF .过点 F 作 AB 的平行线,交 BC 于 G ,连结 EG . 令 EF ? x, AD ? a .易知 EF∥PA, DF ?
2 2 2 2 2 2

EF ax x ? AD ? , AF ? (1 ? )a, PA 4 4
2

? x? BE ? BF ? EF ? AB ? AF ? EF ? 9 ? ? 1 ? ? a 2 ? x 2 . ? 4?
因为 BE ? CE ,所以 BC ? BE ? CE .
2 2 2
2 因为 BC ? a, CE ? EF ? FC ? EF ? FD ? CD ? x ?
2 2 2

2

2

2

1 2 2 a x ? 9, 16

所以有 a ? 18 ? (1 ?
2

x2 x 2 a2 a2 ? )a ? 2 x 2 , ( ? 2) x 2 ? x ? 18 ? 0 ①. 8 2 8 2

4 2 由 ? ? 0 ,得 a ? 36 a ? 576 ? 0 ,解得 a ? 4 3 . ??????????????5 分
2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知当 a ? 4 3 时,方程①即 4 x ? 12 x ? 9 ? 0, ? ? 0. 方程①有且仅有一个实

根 , 故存在唯一的点 E . 因为 EF ? 面 ABCD, BC ? FG, BC ? EG , 所以 ?EGF 是二面角

3 EF 2 1 E ? BC ? F 的平面角,于是 tan ?EGF ? ? ? . ??????????9 分 GF 3 2

-7-


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