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100测评网高三数学复习广东省茂名市2009年第一次高考模拟考试(理科)数学


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广东省茂名市 2009 年第一次高考模拟考试理科数学
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 A ? {x | x 2 ? 9 x ? 0, x ? N

* }, B ? { y | A.0 个 B.1 个

4 ? N *},则A ? B 中元素个数为( ) y
D.3 个

C.2 个

2.在等差数列 {an } 中,若 a3 ? a5 ? a7 ? a9 ? a11 ? 100 , 则3a9 ? a13 的值为( ) A.20 B.30 C.40 D.50

3.甲校有 3600 名学生,乙校有 5400 名学生,丙校有 1800 名学生,为统计三校学生某方面的情 况,计划采用分层抽样法,抽取一个样本容量为 90 人的样本,应在这三校分别抽取学生( A. 30 人, 30 人, 30 人 C. 20 人, 30 人, 10 人 B. 30 人, 45 人, 15 人 D. 30 人, 50 人, 10 人 )

4.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 对任意 x 都有 f ( A. 2 或 0 B. ?2 或 2 C. 0 D. ?2 或 0

?
6

? x) ? f (

?

? x), 则 f ( ) 等于( ) 6 6

?

5.“ a ? 2 ”是“ ( x ? a)6 的展开式的第三项是 60 x 4 ”的 A.充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要

条件

D. 既不充分也不必要

6. 甲、乙两间工厂的月产值在 08 年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙 以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到 08 年 11 月份发现两间工厂的月产值又相同.比 较甲、乙两间工厂 08 年 6 月份的月产值大小,则有( A. 甲的产值<乙的产值 B. 甲的产值=乙的产值 ) C. 甲的产值>乙的产值 D.不能确定

7. 已知函数 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数,且 f ( x ? 1) ? 么 f ( x ) 在 [2,3] 上是 ( ) A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数

1 ,若 f ( x ) 在 [?1, 0] 上是减函数,那 f ( x)

D. 先减后增的函数

8. 将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中,使满足条件: (1)每一个自然数“放置” 在一个“整点” (横纵傺标均为整数的点)上; (2)0 在原点,1 在(0,1)点,2 在(1,1) 点,3 在(1,0)点,4 在(1,-1)点,5 在(0,—1)点,6 在(-1,-1)点,??,即 所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上,则“放置”数字 (2n ? 1) 2 (n ? N *)

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的整点坐标为( ) A. (n ? 1, n) B. (?n,?n ? 1) C. (?n, n ? 1) D. (n, n ? 1)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 13-15 题是选做题, 考生只能选做二题,三题全答的,只计算前两题得分. 9. 从 5 名外语系大学生中选派 4 名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动,要求
翻译有 2 人参加,交通和礼仪各有 1 人参加,则不同的选派方法共有 . (用数字作答)
开始

10. 定义某种运算 S ? a ? b ,运算原理如图 1 所示,则式子:

5? ? ? ?1? ? 2 tan ? ? ln e ? lg100? ? ? 的值是 4 ? ? ? 3?

?1

.
输入两个数

a

和b

11. 如图 2,由两条曲线 y ? ? x 2 ,4 y ? ? x 2 及直线 y ? ?1 所围成的图形的面积为





a≥b
输出 ax(b-1)

输出 ax(b+1)

图2
结束

?x ? y ? 2 ? 0 ? 12. 已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 ,目标函数 z ? y ? ax(a ? R) .若取最大值时的唯 ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
一最优解是(1,3),则实数 a 的取值范围是 .

◆第 13-15 题是选做题,考生只能选做二题,三题全答的,只计算前两题得分◆

? 13. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 把 极 坐 标 方 程 ? cos(? ? ) ? 1 化 为 直 角 坐 标 方 程 6
是 .

14.(不等式选讲选做题)函数 y ? 5 x ?1 ? 10 ? 2x 的最大值为_________________。

15. (几何证明选讲选做题)如图,梯形 ABCD , AB // CD ,
E 是对角线 AC 和 BD 的交点, S?DEC

D E A

C

: S?DBC ? 1: 3 ,

B

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则 S?DEC

: S ABD ?



三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分,在答题卡的相应位置写出文字说明、证 明过程或演算步骤。 16、 (本题满分 12 分)
y

?(x ? ? 已 知 f (x )? A s i n
如右图

) A (?

? 0? ,

? 0 ,? ? ? ) 象 的图 2 2

?

?

4

(Ⅰ)求 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)说明 y ? f ( x) 的图象是由 y ? sin x 的图象经过怎样的变换 得到?

0

?4

? 6

?

x

17、 (本小题满分 12 分)
旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路,每个旅游团任选其中一条. (Ⅰ)求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率; (Ⅱ)求选择甲线路旅游团数的分布列和期望.

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已知一动圆 M,恒过点 F (1, 0) ,且总与直线 l : x ? ?1 相切, (Ⅰ)求动圆圆心 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)探究在曲线 C 上,是否存在异于原点的 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,当 y1 y2 ? ?16 时,直线 AB 恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.

19、 (本小题满分 14 分)如图,在四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

CA ? CB ? CD ? BD ? 2 , AB ? AD ? 2.
(Ⅰ)求证: AO ? 平面 BCD; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; (Ⅲ)求点 E 到平面 ACD 的距离. B

A

D O C E

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已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ?

ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R. x

(Ⅰ)讨论 a ? 1 时, f ( x ) 的单调性、极值; (Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

1 ; 2

(Ⅲ)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } , a1 ? a2 ? 2 , an?1 ? an ? 2an?1 (n ? 2) (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an (Ⅱ)当 n ? 2 时,求证:

1 1 1 ? ? ... ? ? 3 a1 a2 an

(Ⅲ)若函数 f ( x ) 满足: f (1) ? a1 , f (n ? 1) ? f 2 (n) ? f (n). (n ? N * ) 求证:

? f (k ) ? 1 ? 2 .
k ?1

n

1

1

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广东省茂名市 2009 年第一次高考模拟考试 理科数学参考答案
一、选择题:D C B B A C A C 11、

二、填空题:9、60 ; 10、8

4 ;12、 (1, ??) 3

13、 3x ? y ? 2 ? 0 ;14、1:6 ; 15、

6 3
三、解答题: 16、解:解: ( 1) 由图知 A= 4????1 分 3分 由 由

3T ? 5? 10? 9 ?? ? ? ,得 T ? 所以 ? ? ? 4 6 6 9 5

? ? 单位得 y ? sin( x ? ) 的图象?????8 分 5 5 ? 5 9 ? ② 再由 y ? sin( x ? ) 图象的横坐标缩短为原来 得 y ? sin( x ? ) 的图象????10 分 5 9 5 5 9 ? 9 ? ③由 y ? sin( x ? ) 的图象纵坐标伸长为原来的 4 倍得 f ( x) ? 4sin( x ? ) 的图象???? 5 5 5 5
(2) ①由 y ? sin x 得图象向左平移 12 分 17、解:1)3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为:P1=
3 A4 3 ? 3 8 4

9 ? ? ? 9 ? ? ? ? ? ,得 ? ? ?????5 分, 所以, f ( x) ? 4sin( x ? ) ?????6 分 5 6 2 5 5 5

??4 分

(2)设选择甲线路旅游团数为ξ ,则ξ =0,1,2,3??????5 分

C ?3 33 27 P (ξ =0) = 3 ? P (ξ =1) = 3 3 64 4 4
1

2

27 ? 64

1 C3 ?3 9 ? P (ξ =2) = 3 64 4

P (ξ =3) =

3 C3 1 ? ? 3 64 4

9分 ∴ξ 的分布列为: ξ P 0
27 64

1
27 64

2
9 64

3
1 64

??????10 分

∴期望 Eξ =0× 18、 (本小题 14 分)

27 27 9 1 3 +1× +2× +3× = ??????12 分 64 64 64 64 4

(1) 因为动圆 M,过点 F (1, 0) 且与直线 l : x ? ?1 相切,所以圆心 M 到 F 的距离等于到直线 l 的距离.

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所以,点 M 的轨迹是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,且

p ? 1 , p ? 2 , 所以所求的轨迹方程为 2

y 2 ? 4x ?????5 分
(2) 假设存在 A,B 在 y 2 ? 4 x 上, 所以,直线 AB 的方程: y ? y1 ?

y2 ? y1 y12 y2 ? y1 ( x ? ) ( x ? x1 ) ,即 y ? y1 ? 2 y2 y12 4 x2 ? x1 ? 4 4

即 AB 的方程为: y ? y1 ?

y2 4 ( x ? 1 ) ,即 ( y1 ? y2 ) y ? y12 ? y1 y2 ? 4x ? y12 y1 ? y2 4

即: ( y1 ? y2 ) y ? (16 ? 4 x) ? 0 , 令 y ? 0 ,得 x ? 4 , 所以,无论 y1 , y2 为何值,直线 AB 过定点(4,0) 19.解:解:方法一:⑴.证明:连结 OC 分

BO ? DO, AB ? AD,? AO ? BD. ???? 1

BO ? DO, BC ? CD , CO ? BD . ??? 2 分
在 ?AOC 中,由已知可得 AO ? 1, CO ? 3. ? 3 分 而 AC ? 2 , ? AO2 ? CO2 ? AC 2 , ??????? 4 分 O B

A

M D C E

??AOC ? 90o , 即 AO ? OC. ??????? 5 分
BD OC ? O, ∴ AO ? 平面 BCD .

??????????? 6 分

⑵.解:取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点知 ME∥AB,OE∥DC , ∴ 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角,????? 8 分 在 ?OME 中, EM ?

1 2 1 AB ? , OE ? DC ? 1, 2 2 2
∴ cos ?OEM ?

OM 是直角 ?AOC 斜边 AC 上的中线,
OE 2 ? EM 2 ? OM 2 2 ???? ? 2 ? OE ? EM 4

∴ OM ? 10 分

1 AC ? 1 ????? 9 分 2

∴异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为

2 . ?????????? 11 分 4

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⑶.解:设点 E 到平面 ACD 的距离为 h . 12 分 在 ?ACD 中 , C A ?
1 3 2 3. S?CDE ? ? ?2 ? 2 4 2
C? 2 D,
1 2 7 , ?S A ?D 2 ? 2 ? 22 ? ( )2 ? ?ACD ? 2 2 2

1 1 VE ? ACD ? VA?CDE ,? h ? S?ACD ? ? AO ? S ?CDE 3 3

?

, 而 AO ? 1 ,

3 1? AO ? S ?CDE 2 ? 21 , ∴h ? ? S ?ACD 7 7 2

∴点 E 到平面 ACD 的距离为

21 ?14 分 7

方法二: ⑴. 同方法一. ⑵. 解: 以 O 为原点, 如图建立空间直角坐标系, 则 B(1, 0, 0), D(?1, 0, 0),

1 3 C (0, 3, 0), A(0, 0,1), E ( , , 0), BA ? (?1, 0,1), CD ? (?1, ? 3, 0). 2 2

z

A

? cos ? BA, CD ??

BA ? CD BA ? CD

?

2 , 4

?????

9分

2 ∴ 异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 .?? 4
⑶.解:设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ), 则

D 10 分 x B E O C y

? ? ?n ? AD ? ( x, y, z ) ? (?1, 0, ?1) ? 0 ?x ? z ? 0 ,∴ ? ,令 y ? 1, 得 n ? (? 3,1, 3) 是平面 ? ? ? ? 3y ? z ? 0 ?n ? AC ? ( x, y, z ) ? (0, 3, ?1) ? 0
ACD 的一个法向量.又 EC ? (? ,

1 3 , 0), 2 2





E







ACD







h?

EC ? n n

?

3 21 .?14 分 ? 7 7
1 x ?1 ? x x
??1 分

20. (Ⅰ)? f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ?

∴当 0 ? x ? 1 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递减 当 1 ? x ? e 时 , f / ( x ) ? 0 , 此 时 f ( x) 单 调 递 增 ??3 分 ∴ f ( x) 的 极 小 值 为

f (1) ? 1 ??4 分
(Ⅱ) ? f ( x) 的极小值为 1,即 f ( x) 在 (0, e] 上的最小值为 1, ∴ f ( x) ? 0 , f ( x)min ? 1?? 5分

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令 h( x ) ? g ( x ) ?

1 ln x 1 1 ? ln x ? ? , h ?( x) ? , ??6 分 2 x 2 x

当 0 ? x ? e 时, h ?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, e] 上单调递增 ??7 分 ∴ h( x) max ? h(e) ? 9分
/ (Ⅲ) 假设存在实数 a , 使 f ( x) ? ax ? ln x( x ? (0, e] ) 有最小值 3, f ( x ) ? a ?

1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ?| f ( x) | min e 2 2 2

∴在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

1 ?? 2

1 ax ? 1 ? ? x x

9分 ① 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 ,a ? 此时 f ( x) 无最小值. ??10 分 单调递增 ②当 0 ?

4 (舍去) ,所以, e

1 1 1 ? e 时, f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上 a a a

1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. ??11 分 a
③ 当

1 4 ? e 时, f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ? (舍去) ,所 a e

以,此时 f ( x) 无最小值.综上,存在实数 a ? e 2 ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x ) 有最小值 3. 21. 解: (1)

an?1 ? an ? 2an?1 ,两边加 an 得: an?1 ? an ? 2(an ? an?1 ) (n ? 2) ,

? {an?1 ? an } 是以 2 为公比, a1 ? a2 ? 4 为首项的等比数列. ? an?1 ? an ? 4 2n?1 ? 2 2n ? ?
① 由 an?1 ? an ? 2an?1 两边减 2an 得: an?1 ? 2an ? ?(an ? 2an?1 ) (n ? 2) ? {an?1 ? 2an } 是以 ?1 为公比, a2 ? 2a1 ? ?2 为首项的等比数列. ①-②得: 3an ? 2[2n ? (?1)n ]

? an?1 ? 2an ? ?2 (?1)n?1 ? 2 (?1)n ??②
2 n [2 ? (?1) n ] ????5 分 3

所以,所求通项为 an ?

(2) 当 n 为偶数时,

1 1 3 1 1 3 2n ?1 ? 2n ? ? [ n ?1 ? n ] ? an ?1 an 2 2 ? 1 2 ? 1 2 2n ?1 2n ? 2n ? 2n ?1 ? 1 3 2n ?1 ? 2n 3 2n ?1 ? 2n 3 1 1 ? ? ? ( n ?1 ? n )(n ? 2) n ?1 n n ?1 n ?1 n 2 2 2 ? 2 ?1 2 2 2 2 2 2

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1 1? n 1 1 1 3 1 1 1 3 2 ? 3?3 1 ? 3 ? ? ? ... ? ? (1 ? ? 2 ? ... ? n ) ? a1 a2 an 2 2 2 2 2 1? 1 2n 2
当 n 为奇数时,

2 1 an ? [2n ? (?1) n ] ? 0 ,? an?1 ? 0, ? 0 ,又 n ? 1 为偶数 3 an?1

? 由(1)知,
(3)证明:

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? ? ... ? ? ? 3 ????????10 分 a1 a2 an a1 a2 an an?1

f (n ? 1) ? f (n) ? f 2 (n) ? 0

? f (n ? 1) ? f (n),? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ?1) ? ??? ? f (1) ? 2 ? 0


1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? f (n ? 1) f (n) ? f (n) f (n)[ f (n) ? 1] f (n) f (n) ? 1 1 1 1 ? ? ??12 分 f (n) ? 1 f (n) f (n ? 1)
n

?

??
k ?1

1 1 1 1 1 1 1 ?[ ? ]?[ ? ] ? ??? ? [ ? ] f (k ) ? 1 f (1) f (2) f (2) f (3) f (n) f (n ? 1) ??????-14 分 1 1 1 1 ? ? ? ? . f (1) f (n ? 1) f (1) 2

=========================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新版, 外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科: 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小四,小 五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字: 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti, 教学 ,教学研究 ,在线教学 ,在线学 习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,教育,在线教育, 中考,高考,中小学,中小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线练习,在线练习,小学教育, 初中教育,高中教育,小升初复习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料,课外辅导资料,在线 辅导资料,作文,作文辅导,文档,教学文档,真题,试卷,在线试卷,答案,解析,课题,复习资料,复习专题, 专项练习,学习网,在线学习网,学科网,在线学科网,在线题库,试题库,测评卷,小学学习资料,中考学 习资料,单元测试,单元复习,单元试卷,考点,模拟试题,模拟试卷,期末考试,期末试卷,期中考试,期中 试卷

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