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1.3.1函数单调性与导数-改好


§1.3.1 函数的单调性与导数
编写:费美霞 审核:高二备课组 时间:2015-5-18

二.自主探究 分组合作 展示交流 探究一:函数的导数与函数的单调性的关系: 观察下面一些函数的图象, 说说函数的单调性与其导函数正负的有什么关系?
y
y?x
y ? x2

教学目标

1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性,会求基本函数的单调区间.
教学重点:利用求导的方法研究和判断函数的单调性。 教学难点:探索发现函数的导数与单调性的关系 教学过程: 一.创设情景 引入课题 引例 如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象. 具体分析:我们知道,曲线 y ? f ( x) 的切线的斜率就是函数 y ? f ( x) 的
2

y ? x3

y?

1 x

x

.

y
f?x? = ?x2-4?x?+3

从函数 y ? x ? 4 x ? 3 图像来观察其关系: 在区间(2, ? ? )内,切线的斜率为 ,函数 y ? f ( x) 的值随着 x 的增大 而 ,即 y ? ? 0 时, 函数 y ? f ( x) 在区间(2, ? ? )内为 函数; 在区间( ? ? ,2)内,切线的斜率为 ,函数 y ? f ( x) 的值随着 x 的增大 而

B O
1 2 3

? ,即 y 0 时,函数 y ? f ( x) 在区间( ? ? ,2)内为
/

函数.

A

x

结论:一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间 ?a , b ? 内有导数, 如果在这个区间内 f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是 规律总结:一般地,如果一个函数在某一范围内导数的 得快,这时,函数的图象就比较“ 较大,那么函数在这个范围内变化 ”些. 区间 ?a , b ? 叫函数的 区间; 函数; 函数. 区间;
' 如果在这个区间内 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是

函数,

” (向上或向下) ;反之,函数的图象就“ ” , 在
2

区间 ?a , b ? 叫函数的
'

如上右图, 函数 y ? f ( x) 在 (0, b) 或 (a, 0) 内的图象 “



内的图象 “平缓” .

若在这个区间内恒有 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是 小试牛刀:1.已知导函数 f ( x) 的下列信息: 当 1 ? x ? 4 时, f ( x) ? 0 ;
' '

引例 2.高台跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 ,那么高台跳水运动员 的速度 v 随时间 t 变化的函数是 ,请分别画出这两个函数的图像:

f(x)的图像:

并分析运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? 通过观察图像,我们可以发现: (1) 运动员从起点到最高点,离水面的高度 h 随时间 t 的增加而 相应地, v(t ) ? h (t ) ___0 .
'

当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;
'

当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0
'

,即 h(t ) 是 ,即 h(t ) 是

函数. 函数.

试画出函数 y ? f ( x) 图像的大致形状. 变式:函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,试画出导函数 f ?( x) 图象的大致形状.

(2) 从最高点到入水,运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而 (3) 相应地, v(t ) ? h (t ) ___0 . 回顾 高一学习的函数单调性的定义:.
'

对于任意的两个数 x1, x2∈I, 且当 x1<x2 时, 都有

, 那么函数 f(x)就是区间 I 上的

函数.

变式 2:已知函数 y ? f ? x ? 在定义域 ? ?4,6? 内的图象如图, 记 y ? f ? x ? 的导函数为 y ? f ? ? x ? , 则不等式 f ? ? x ? ? 0 的解集为

一.复习回顾:在区间(a,b)内函数的导数与单调性有如下关系:
导 数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0 函数的单调性 单调递___ 单调递___ 函数 分组合作 展示交流 函数的单调性 单调递增 单调递减 常函数 导 数 f′(x)____0 且使 f′(x)=0 的 x 值 f′(x) ____0 且使 f′(x)=0 的 x 值 f′(x)=0

2.判断下列函数的的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x) ? x3 ? 3x ; (2) f ( x) ? e x ?1 ;

二.自主探究

例 1:已知函数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? ? 2a ? 3? x ?1 , (1)求函数 f ? x ? 单调区间; (2)若 f ? x ? 的单调减区间为 ? ?1,1? ,求 a 的取值集合;

(3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) ; (4) f ( x) ? ln x ? x .

(3)若 f ? x ? 在区间 ? ?1,1? 内单调递减,求 a 的取值集合.

规律小结:用导数求函数单调区间的步骤: 例 2:已知函数 f ? x ? ? x ?
2

a ? x ? 0, a ? R ? ,若函数 f ? x ? 在 ? 2, ?? ? 上单调递增,求 a 的取值范围。 x

ln x 4.(1)证明:函数 f(x)= x 在区间(0,e)上是增函数. (2)证明:函数 f(x)=x3 在 R 上是增函数.
练习: 1 .已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? x ?1 在?? ? ,???上为减函数 , 求a的取值范围 .

2 .已知函数 f ( x) ? x3 - ax2 ? 1 在?0 , 2?上为减函数 , 求a的取值范围 .
课后延伸思考:在某个区间 ? a, b ? 内, 如果 f ? ? x ? ? 0 ,那么函数 y ? f ? x ? 在这个区间内 如果 f ? ? x ? ? 0 ,那么函数 y ? f ? x ? 在这个区间内 写出上述命题的逆命题:
3 2 4. 若函数 f ? x ? ? x ? bx ? cx ? d 的单调减区间为 ? ?1, 2? ,则 b ?



3. 设 f(x)=ax3+x 恰好有三个单调区间, 求实数 a 的取值范围.

,c ?



上述逆命题正确吗?若正确请说明理由;若不正确,该如何修改? 三.反思回顾 自我总结 例 3: 例3. 当x ? 0时,证明 : ln( x ? 1) ? x ?

(1)函数单调性的导数定义

1 2 x . 2

(2)用导数求函数单调区间的步骤及注意事项.

小结:1. 含参数单调性问题的常见解法有: 2. 恒成立问题的常见解法有:


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