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2014解三角形高考题精选


一.基础知识 约定用 A,B,C 分别表示△ ABC 的三个内角, a, b, c 分别表示它们所对的各边长

a b c ? ? = ____ .(R 为△ ABC 外接圆半径). sin A sin B sin C 1 △ ABC 的面积为 S△ ABC= ab sin C ? ________ ? __________ . 2 b2 ? c 2 ? a 2 2 2 2 2.余弦定理: a ? b ? c ? 2bc cos A ? cos A ? . 2bc
1.正弦定理: 3.角平分线性质定理:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. 4.锐角三角形性质:若 A>B>C 则 60? ? A ? 90?,0? ? C ? 60? . 5.边角大小关系: a ? b ? A ? B ? sin A ? sin B 6.内角和: A ? B ? C ? 180? 二.基础训练题 题组 1 1.(1) a cos A ? b cos B ,判断 ?ABC 的形状. (2)证明:

a 2 ? b2 sin 2 A ? sin 2 B ? . c2 sin 2 C

(3)证明 a ? b cos C ? c cos B, b ? c cos A ? a cos C, c ? a cos B ? b cos A. (4)证明: c(a cos B ? b cos A) ? a2 ? b2 .

2.(2008 北京文)已知△ABC 中,a= 2 ,b= 3 ,B=60°,那么角 A 等于( A.135° B.90° C.45° D.30°



3.(2007 重庆理)在 ?ABC 中, AB ? 3, A ? 450 , C ? 750 , 则 BC =( A. 3 ? 3 B. 2 C.2 D. 3 ? 3



4.(2008 福建文)在△ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别为 a、b、c,若 a ? c ? b ? 3ac ,则角 B 的值为(
2 2 2



? A. 6

? 2? D. 或 3 3 ? 5. (2006 山东)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 若 A= ,a= 3 ,b=1,则 c=(
? B. 3 ? 5? C. 或 6 6
3
A.1 B.2 C. 3 —1 D. 3

)

1

题组 2 1. (2005 春上海)在△ ABC 中,若 A.直角三角形.

a b c ,则△ ABC 是( ? ? cos A cos B cos C
C.钝角三角形.

) D.等腰直角三角形.

B.等边三角形.

2. (2005 北京春)在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是( A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形

) D.正三角形

3. (2010 上海)若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC ( ) A.一定是锐角三角形.B.一定是直角三角形. C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

4.(2013 安徽)设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c .若 b ? c ? 2a ,则 3sin A ? 5sin B, 则 角 C ? ( A.

).

?
3

B.

2? 3

C.

3? 4

D.

5? 6

5. (2008 湖北文)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,已知 a ? 3, b ? 3, C ? 30?, 则 A=

.

2

题组 3

b, c, 1. (2010 天津理) 在△ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别是 a , 若 a ? b ? 3bc ,sin C ? 2 3 sin B , 则 A=(
2 2

)

A. 30 0

B. 60 0

C. 1200

D. 1500

b, c 满足 (a ? b)? c ? 4 ,且 C=60°,则 ab 的值为( ) 2. (2011 重庆理)若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a ,
2 2

A.

4 3

B. 8 ? 4 3

C. 1

D.

2 3

3. (2011 四川理)在 ? ABC 中. sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C .则 A 的取值范围是
2 2 2

( )

A. (0,

?
6

]

B.[

?
6

,? )

C. (0,

?
3

]

D .[

?
3

,? )

4.(2014 江西理)在△ ( )

? b, c ,若 2 B, C 的对边分别为 a , ABC 中,内角 A , c ? (a ? b)2 ? 6, C ? , 则△ ABC 的面积是
3

A. 3

B.

9 3 2

C.

3 3 2

D.3 3

5. (2013 浙江)在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c , (Ⅰ )求角 A 的大小; (Ⅱ ) 若 a ? 6, b ? c ? 8, 求△ABC 的面积.

且 2a sin B ? 3b

3

题组 4 1.(2013 江西理)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos C ? (cos A ? 3sin A)cos B ? 0 . (1) 求角 B 的大小;(2)若 a ? c ? 1 ,求 b 的取值范围

2. (2013 新课标Ⅱ)△ ABC 在内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B .

(Ⅰ)求 B ;(Ⅱ)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.

3.(2014 新课标Ⅰ理)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且

(2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为

.

4.(2011 全国新课标理) ?ABC 中, B ? 60?, AC ? 3, ,则 AB+2BC 的最大值为_________.

5.(2007 全国 1 理) 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsinA. (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)求 cosA+sinC 的取值范围.

4

题组 5

1.(2009 全国 1)在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c.已知 a ? c ? 2b ,且 sin B ? 4 cos A sin C ,
2 2

求 b.

2. (2008 全国Ⅰ文)设 △ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? 3 , b sin A ? 4 . (Ⅰ)求边长 a ; (Ⅱ)若 △ ABC 的面积 S ? 10 ,求 △ ABC 的周长 l .

3.(2012 辽宁)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,角 A,B,C 成等差数列. (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin

A sin C 的值.

4.( 2014 新课标 Ⅰ 文 ) 如图,为测量山高 MN ,选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点 .从 A 点测得 M 点的仰角 ?MAN ? 60? , C 点的仰角 ?CAB ? 45? 以及 ?MAC ? 75? ;从 C 点测得 ?MCA ? 60? .已知山高 BC ? 100m ,则 山高 MN ? ________ m .

5. (2014 新课标Ⅱ)钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=(

2

) D. 1

A. 5
题组 6

B.

5

C. 2

5

1. (2014 广东)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、C 所对应的边分别为 a 、b 、c ,已 知 b cos C ? c cos B ? 2b ,则 2. (2014 天津)在 D ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c .已知 b ? c ? 值为_______.
3 . (2013 辽宁)在 ?ABC ,内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c. a sin B cos C ? c sin B cos A ?

a ? b

.

1 a , 2sin B = 3sin C ,则 cos A 的 4 1 b, 且 a ? b ,则 2

?B ? (

) A.

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6

B、 C 所对边长分别为 a、、 b c ,若 a ? 5, b ? 8, B ? 60 ,则 c= _______. 4. (2013 上海)在 ?ABC 中,角 A、
5. (2013新课标Ⅰ)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°

1 (1)若 PB= ,求 PA;(2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA 2

探寻解三角形的入手策略

内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中 熊明军 解三角形知识一直是高考常考考点,虽然这一块儿只要运用公式、正弦定理与余弦定理便能解决很多问题,但是 如何针对试题,灵活、准确、快速地选定相关定理去入手解题,则是同学们很难把握的。本文结合具体题目,初步探 寻一些入手策略,期望对同学们有所帮助。

【正弦定理公式】



【余弦定理公式】





如果将公式、正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话,那么解三角形的实质就是把题目中所给的已知条件 按方程的思想进行处理, 解题时根据已知量与所求量, 合理选择一个比较容易解的方程 (公式、 正弦定理、 余弦定理) , 从而使同学们入手容易,解题简洁。 一、直接运用公式、正弦定理、余弦定理 (1)三角公式

①在

中,已知两角

的三角函数值,求第三个角



存在



证明:

有解

有解
6

即,要判断

是否有解,只需



(2)正弦定理

①在

中,已知两角和任意一边,解三角形;

②在

中,已知两边和其中一边对角,解三角形;

(3)余弦定理

①在

中,已知三边,解三角形;

②在

中,已知两边和他们的夹角,解三角形。

直接运用正弦定理、余弦定理的上述情况,是我们常见、常讲、常练的,因此,在这里就不加赘述,同学们可以 自己从教材中找一些题目看一看! 二、间接运用公式、正弦定理、余弦定理 (1)齐次式条件(边或角的正弦) 若题目条件中出现关于角的齐次式或关于边的齐次式, 可以根据角的异同选用公式弦切互化或正弦定理边角互化; 有些题中没有明显的齐次式,但经过变形得到齐次式的依然适用。 1.相同角齐次式条件的弦切互化

【例】在

中,若



,求



【解析】 无论是条件中的 是关于 再利用三角公式求解。 的一次齐次式;

,还是 是关于

都 是关于一个角的齐次 式。 的二次齐次式。因此,我们将弦化切,






7







中,

,且

。代值可得:

①当



时,



②当



时,

(舍去)。

2.不同角(正弦)齐次式条件的边角互化

【例】 在

中,若

,且

,求

的面 积。【解析】 条件

是关于不同角正弦的二次齐次式。因此,我们利用正弦定理将角化为边,然后根 据边的关系利用余弦定理求解。





显然这个形式符合余弦定理的公式,因此,可得



又因为 3.不同边齐次式条件的边角互化

,所以



【例】

的内角

的对边分别为

。已知



,求



8

【解析】条件

是关于不同边的一次齐次式。因此,我们利用正弦定理将边化为角,然后由 将不同角转化为同角,利用化一公式求解。



,又



,可得:

















。 4.边角混合齐次式条件的边角互化 ①边角混合——边为齐次式

【例】

的内角

的对边分别为

,且

,求



【解析】条件 为角,然后将弦化为切求解。

是边角混合——关于不同边的一次齐次式,由于所求为切的值,所以将边化



,又

,则

。 ②边角混合——角(正弦)为齐次式

【例】

的内角

的对边分别为

,且
9



,求



【解析】条件

是边角混合——角(正弦)为不同角的一次齐次式。因此,我们将角

的正弦化为边,然后根据等式形式利用余弦定理求解。



,由于

,我们可以得到:

,显然这个形式符合余弦定理公式,因此,可得

。从而得出 ③边角混合——边、角(正弦)都为齐次式



【例】

的内角

的对边分别为

,且

,求



【解析】条件 以随意边角互化,但是一般将角转化为边求解。

是边角混合——边、角(正弦)各为一次齐次式。因此,我们可





显然这个形式符合余弦定理公式,因此,可得



从而得出



5.非三角形内角正弦但可化为角(正弦)齐次式

【例】 等比数列。

的内角

的对边分别为

,且

,求证:

的三边成

【解析】条件

显然不是齐次式,并且角也不全是三角形的内角。因此,首先得把

这些角转变为三角形的内角,然后再往齐次式化利用正弦定理求解。

由 ,题中的条件就变成了关于不同内角正弦的二次齐次式:

,只要将

变换为

10

。 (2)不同边的平方关系(余弦定理) 若题目条件中出现关于边的平方关系或求边的平方关系,可以选用余弦定理边角互化,在上面的一些情况中,有 利用正弦定理转化出不同边的平方关系,可以作为参考例题。

【例】

的内角

的对边分别为

,且

,求



【解析】条件

含有不同边的平方关系,形式显然符合余弦定理公式。

由 (3)存在消不掉的正弦、余弦值(两定理同时使用,边角互化)



若题目条件中的条件不是上述情况,且始终含有消不去的内角正弦、余弦,可以同时使用正弦、余弦定理边角互 化,要么都化为角(正弦、余弦),要么都化为边。

【例】在

中,已知

,且

,求 。

【解析】由题目中条件

可得



接下来再利用余弦定理可得

,又



,所以





因为



解三角形运用的原理简单,但是题目灵活多变,往往使学生感觉不易下手,以上结合例题谈了一下通过题中条件 的特征,利用三角形内角和、边、角之间的关系快速入手的策略,但这仅仅是初探,更多的策略还需要同学们在解题 中不断地归纳总结。
11

2011-11-18

人教网

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