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2012年广东省高考数学试卷(理科)及详解


2012 年广东省高考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1. (5 分) (2012?广东)设 i 是虚数单位,则复数 A.6+5i B.6﹣5i C.﹣6+5i =( ) D.﹣6﹣5i )

2. (5 分) (2012?广东)设集合 U={1

,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM=( A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6}

3. (5 分) (2012?广东)若向量 A.(﹣2,﹣4) B.(3,4)

,向量 C.(6,10)

,则

=(



D.(﹣6,﹣10) )

4. (5 分) (2012?广东)下列函数,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) B. C. D.

5. (5 分) (2012?广东)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最大值为(



A.12

B.11

C.3

D.﹣1 )

6. (5 分) (2012?广东)某几何体的三视图如图所示,它的体积为(

A.12π

B.45π

C.57π

D.81π )

7. (5 分) (2012?广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是( A. B. C. D.

8. (5 分) (2012?广东)对任意两个非零的平面向量 >0, 与 的夹角 θ∈(0,



,定义

?

=

.若平面向量 , 满足| |≥| |

) ,且 ? 和 ? 都在集合{ |n∈Z}中,则 ? =(



A.

B.1

C.

D.

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) (二)选做 题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 9. (5 分) (2012?广东)不等式|x+2|﹣|x|≤1 的解集为 _________ . 10. (5 分) (2012?广东) 中 x 的系数为 _________ . (用数字作答)
2 3

11. (5 分) (2012?广东)已知递增的等差数列{an}满足 a1=1,a3=a2 ﹣4,则 an= _________ . 12. (5 分) (2012?广东)曲线 y=x ﹣x+3 在点(1,3)处的切线方程为 _________ . 13. (5 分) (2012?广东)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出的 s 的值为
3

_________ . 14. (5 分) (2012?广东) (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 与 C2 的参数方程分别为 (t 为参数)和 (θ 为参数) ,则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为 _________ .

15. (2012?广东) (几何证明选讲选做题)如图,圆 O 中的半径为 1,A、B、C 是圆周上的三点,满足∠ ABC=30°, 过点 A 作圆 O 的切线与 O C 的延长线交于点 P,则图 PA= _________ .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分) (2012?广东)已知函数 (1)求 ω 的值; (其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 10π.

(2)设





,求 cos(α+β)的值.

17. (13 分) (2012?广东) 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示, 其中成绩分组区间是: [40, 50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]. (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ξ,求 ξ 的数 学期望.

18. (13 分) (2012?广东)如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥ 平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥ 平面 BDE. (1)证明:BD⊥ 平面 PAC; (2)若 PA=1,AD=2,求二面角 B﹣PC﹣A 的正切值.

19. (14 分) (2012?广东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 等差数列. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 .

,且 a1,a2+5,a3 成

20. (14 分) (2012?广东)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

的离心率

,且

椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程; 2 2 (2) 在椭圆 C 上, 是否存在点 M (m, n) , 使得直线 l: mx+ny=1 与圆 O: x +y =1 相交于不同的两点 A、 B, 且△ OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的△ OAB 的面积;若不存在,请说明理由. 21. (14 分) (2012?广东)设 a<1,集合 A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x ﹣3(1+a)x+6a>0},D=A∩ B. (1)求集合 D(用区间表示) ; 3 2 (2)求函数 f(x)=2x ﹣3(1+a)x +6ax 在 D 内的极值点.
2

2012 年广东省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1. (5 分) (2012?广东)设 i 是虚数单位,则复数 A.6+5i 考点: 专题: 分析: B.6﹣5i 复数代数形式 的乘除运算. 计算题. 把 C.﹣6+5i =( ) D.﹣6﹣5i

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的分

子分母同时乘 以 i,得到 , 利用虚数单位 的性质,得 , 由此 能求出结果. 解: =

解答:

= =﹣6﹣5i. 故选 D. 本题考查复数 的代数形式的 乘除运算,是基 础题.解题时要 认真审题,仔细 解答. )

点评:

2. (5 分) (2012?广东)设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM=( A.U B.{1,3,5} C.{3,5,6} D.{2,4,6}

考点: 专题: 分析:

解答:

点评:

补集及其运算. 计算题. 直接利用补集 的定义求出 CUM. 解:∵ 集合 U={1,2,3,4, 5,6},M={1, 2,4},则 ?UM={3, 5, 6}, 故选 C. 本题主要考查 集合的表示方 法、求集合的补 集,属于基础 题.
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3. (5 分) (2012?广东)若向量 A.(﹣2,﹣4) B.(3,4) 考点: 专题: 分析: 平面向量的坐 标运算. 计算题. 由向量
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,向量 C.(6,10)

,则

=(



D.(﹣6,﹣10)

,向量

,知

,再由 , 能求出结果. 解:∵ 向量

解答:

,向量

, ∴



∴ =(﹣4,﹣7) ﹣(﹣2,﹣3) =(﹣2,﹣4) . 故选 A. 本题考查平面 向量的坐标运 算,是基础 题.解题时要认 真解答,仔细运 算. )

点评:

4. (5 分) (2012?广东)下列函数,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) B. C. D.

考点:

专题: 分析:

解答:

对数函数的单 调性与特殊点; 函数单调性的 判断与证明. 计算题. 利用对数函数 的图象和性质 可判断 A 正确; 利用幂函数的 图象和性质可 判断 B 错误; 利 用指数函数的 图象和性质可 判断 C 正确; 利 用“对勾”函数的 图象和性质可 判断 D 的单调 性 解:A,y=ln (x+2) 在 (﹣2, +∞)上为增函 数,故在(0, +∞)上为增函 数,A 正确;
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B, 在[﹣1,+∞) 上 为减函数;排除 B C, 在 R 上为减函 数;排除 C

D,



点评:

(0,1)上为减 函数,在(1, +∞)上为增函 数,排除 D 故选 A 本题主要考查 了常见函数的 图象和性质,特 别是它们的单 调性的判断,简 单复合函数的 单调性,属基础 题

5. (5 分) (2012?广东)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最大值为(



A.12 考点: 专题: 分析:

B.11 简单线性规划. 计算题. 先画出线性约 束条件表示的 可行域,在将目 标函数赋予几 何意义,数形结 合即可得目标 函数的最值 解:画出可行域 如图阴影部分,
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C.3

D.﹣1

解答:





C(3,2) 目标函数 z=3x+y 可看做 斜率为﹣3 的动 直线,其纵截距 越大,z 越大, 由图数形结合 可得当动直线 过点 C 时,z 最 大=3×3+2=11 故选 B

点评:

本题主要考查 了线性规划的 思想、方法、技 巧,二元一次不 等式组表示平 面区域的知识, 数形结合的思 想方法,属基础 题 )

6. (5 分) (2012?广东)某几何体的三视图如图所示,它的体积为(

A.12π 考点: 专题: 分析:

B.45π 由三视图求面 积、体积. 计算题. 由题设知,组合 体上部是一个 母线长为 5,底 面圆半径是 3 的 圆锥,下部是一
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C.57π

D.81π

解答:

个高为 5,底面 半径是 3 的圆 柱,分别根据两 几何体的体积 公式计算出它 们的体积再相 加即可得到正 确选项 解:由三视图可 知,此组合体上 部是一个母线 长为 5,底面圆 半径是 3 的圆 锥,下部是一个 高为 5,底面半 径是 3 的圆柱 故它的体积是 5×π×3 + 3× 57π
2 2

π× =

点评:

故选 C 本题考查三视 图还原几何体 及求组合体的 体积,解题的关 键是熟练记忆 相关公式及由 三视图得出几 何体的长宽高 等数据,且能根 据几何体的几 何特征选择恰 当的公式进行 求体积的运算, )

7. (5 分) (2012?广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是( A. B. C. D.

考点: 专题: 分析:

古典概型及其 概率计算公式. 计算题;压轴 题. 先求个位数与 十位数之和为 奇数的两位数 的个数 n,然后
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解答:

再求个位数与 十位数之和为 奇数的两位数 的个数,由古典 概率的求解公 式可求 解:个位数与十 位数之和为奇 数的两位数中, 其个位数与十 位数有一个为 奇数,一个为偶 数,共有 = 45 记:“个位数与 十位数之和为 奇数的两位数 中,其个位数为 0”为事件 A,则 A 包含的结果: 10, 30, 50, 70, 90 共 5 个 由古典概率的 求解公式可得, P(A)= 故选 D 本题主要考查 了古典概率的 求解公式的应 用,解题的关键 是灵活利用简 单的排列、组合 的知识求解基 本事件的个数

点评:

8. (5 分) (2012?广东)对任意两个非零的平面向量 >0, 与 的夹角 θ∈(0, A. B.1



,定义

?

=

.若平面向量 , 满足| |≥| |

) ,且 ? 和 ? 都在集合{ |n∈Z}中,则 ? =( C. D.



考点: 专题:

平面向量数量 积的运算. 计算题;压轴
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分析:

题;新定义. 由题意可得 ? = =

,同理可得 ? = =

,故有 n≥m 且 m、n∈z.再 由 cos θ=
2



与 的夹角 θ∈ (0,
2

) , 可得

cos θ∈( ,1) , 即 ∈( ,1) ,

由此求得 n=3,m=1,从 而得到 ? = =

的值. 解答: 解:由题意可得 ? = =

=

= .

同理可得 ? = =

=

= . 由于| |≥| |>0, ∴ n≥m 且 m、 n∈z. ∴ cos θ=
2

.再

由 与 的夹角 θ∈(0,
2

) ,

可得 cos θ∈ ( , 1) , 即 ( ,1) . 故有 n=3, m=1, ∴? = = , 故选 C. 本题主要考查 两个向量的数 量积的定义,得 到 n≥m 且 m、 n∈z, 且 ∈ ( , ∈

点评:

1) ,是解题的关 键,属于中档 题. 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) (二)选做 题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 9. (5 分) (2012?广东)不等式|x+2|﹣|x|≤1 的解集为 .

考点:

绝对值不等式 的解法.
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专题: 分析:

解答:

计算题. 由题意,可先将 不等式左边变 形为分段函数 的形式,然后再 分三段解不等 式,将每一段的 不等式的解集 并起来即可得 到所求不等式 的解集 解:∵ |x+2|﹣ |x|=

∴ x≥0 时, 不等式 |x+2|﹣|x|≤1 无 解; 当﹣2<x<0 时,由 2x+2≤1 解得 x≤ 有﹣2< x≤ ; , 即

当 x≤﹣2,不等 式|x+2|﹣|x|≤1 恒成立, 综上知不等式 |x+2|﹣|x|≤1 的 解集为

故答案为

点评:

本题考查绝对 值不等式的解 法,其常用解题 策略即将其变 为分段函数,分 段求解不等式.
3

10. (5 分) (2012?广东)

中 x 的系数为 20 . (用数字作答)

考点:

二项式定理.

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专题: 分析:

解答:

计算题. 由题意,可先给 出二项式的通 项,再由通项确 3 定出 x 是展开 式中的第几项, 从而得出其系 数 解:由题意,

的展开式的通 项公式是 Tr+1=

=

x

12﹣3r

令 12﹣3r=3 得 r=3 所以

中 x 的系数为 =20 故答案为 20 本题考查二项 式定理的通项, 属于二项式考 查中的常考题 型,解答的关键 是熟练掌握二 项式的通项公 式
2

3

点评:

11. (5 分) (2012?广东)已知递增的等差数列{an}满足 a1=1,a3=a2 ﹣4,则 an= 2n﹣1 . 考点: 专题: 分析: 等差数列的通 项公式. 计算题. 由题意,设公差 为 d,代入
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, 直 接解出公式 d, 再由等差数列 的通项公式求

解答:

出通项即可得 到答案 解:由于等差数 列{an}满足 a1=1, , 令 公差为 d 所以 1+2d= 2 (1+d) ﹣4, 解得 d=±2 又递增的等差 数列{an},可得 d=2 所以 an=1+2(n ﹣1)=2n﹣1 故答案为 2n﹣1 本题考查等差 数列的通项公 式,解题的关键 是利用公式建 立方程求出参 数,需要熟练记 忆公式.
3

点评:

12. (5 分) (2012?广东)曲线 y=x ﹣x+3 在点(1,3)处的切线方程为 2x﹣y+1=0 考点: 利用导数研究 曲线上某点切 线方程. 计算题. 先求出导函数, 然后将 x=1 代入 求出切线的斜 率,利用点斜式 求出直线的方 程,最后化成一 般式即可. 2 解:y′ =3x ﹣1 令 x=1 得切线斜 率2 所以切线方程 为 y﹣3=2(x﹣ 1) 即 2x﹣y+1=0 故答案为:2x﹣ y+1=0 本题主要考查 导数的几何意
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专题: 分析:

解答:

点评:

义:在切点处的 导数值为切线 的斜率、考查直 线的点斜式,属 于基础题. 13. (5 分) (2012?广东)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出的 s 的值为

8 . 考点: 专题: 分析: 循环结构. 阅读型. 由已知中的程 序框图及已知 中输入 8, 可得: 进入循环的条 件为 i<8,即 i=2,4,6 模拟 程序的运行结 果,即可得到输 出的 s 值. 解:当 i=2,k=1 时,s=2, ; 当 i=4,k=2 时,
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解答:

s= (2×4)=4; 当 i=6,k=3 时, s= (4×6)=8; 当 i=8,k=4 时, 不满足条件“i< 8”,退出循环, 则输出的 s=8 故答案为:8 本题主要考查

点评:

的知识点是程 序框图,在写程 序的运行结果 时,我们常使用 模拟循环的变 法,同时考查了 运算求解能力, 属于基础题. 14. (5 分) (2012?广东) (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 与 C2 的参数方程分别为 (t 为参数)和 (θ 为参数) ,则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为 (1,1) .

考点:

专题: 分析:

解答:

抛物线的参数 方程;圆的参数 方程. 压轴题. 把曲线 C1 与 C2 的参数方程分 别化为普通方 程,解出对应的 方程组的解,即 得曲线 C1 与 C2 的交点坐标. 解:在平面直角 坐标系 xOy 中,
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曲线 C1 与 C2 的 普通方程分别 2 为 y =x, 2 2 x +y =2. 解方程组

可得

, 故

点评:

曲线 C1 与 C2 的 交点坐标为(1, 1) , 故答案为 (1, 1) . 本题主要考查 把参数方程化 为普通方程的 方法,求两条曲 线的交点坐标, 属于中档题.

15. (2012?广东) (几何证明选讲选做题)如图,圆 O 中的半径为 1,A、B、C 是圆周上的三点,满足∠ ABC=30°, 过点 A 作圆 O 的切线与 O C 的延长线交于点 P,则图 PA= .

考点: 专题: 分析:

与圆有关的比 例线段. 计算题;证明 题;压轴题. 连接 OA,根据 同弧所对的圆 周角等于圆心 角的一半,得到 ∠ AOC=60°.因 为直线 PA 与圆 O 相切于点 A, 且 OA 是半径, 得到△ PAO 是直 角三角形,最后 利用三角函数 在直角三角形 中的定义,结合 题中数据可得 PA=OAtan60°=
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解答:

. 解:连接 OA, ∵ 圆 O 的圆周角 ∠ ABC 对弧 AC, 且∠ ABC=30°, ∴ 圆心角 ∠ AOC=60°. 又∵ 直线 PA 与 圆 O 相切于点 A,且 OA 是半 径, ∴ OA⊥ PA, ∴ Rt△ PAO 中, OA=1, ∠ AOC=60°, ∴ PA=OAtan60°= 故答案为:

点评:

本题给出圆周 角的度数和圆 的半径,求圆的 切线长,着重考 查了圆周角定 理和圆的切线 的性质,属于基 础题.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分) (2012?广东)已知函数 (1)求 ω 的值; (2)设 , , ,求 cos(α+β)的值. (其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 10π.

考点:

专题: 分析:

两角和与差的 余弦函数;由 y=Asin(ωx+φ) 的部分图象确 定其解析式. 计算题. (1)由题意, 由于已经知道 函数的周期,可 直接利用公式
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ω=

= 解

出参数 ω 的值; (2)由题设条 件,可先对

,与

解答:

进行化简,求出 α 与 β 两角的函 数值,再由作弦 的和角公式求 出 cos(α+β) 的 值. 解: (1) 由题意, 函数

(其中 ω>0, x∈R)的最小正 周期为 10π 所以 ω= = ,即

所以

(2)因为





分别代入得









点评:

本题考查了三 角函数的周期 公式及两角和 与差的余弦函 数,同角三角函 数的基本关系, 属于三角函数 中有一定综合 性的题,属于成

熟题型,计算 题. 17. (13 分) (2012?广东) 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示, 其中成绩分组区间是: [40, 50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]. (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ξ,求 ξ 的数 学期望.

考点:

专题: 分析:

解答:

离散型随机变 量的期望与方 差;频率分布直 方图;古典概型 及其概率计算 公式. 计算题. (1)根据所以 概率的和为 1, 即所求矩形的 面积和为 1,建 立等式关系,可 求出所求; (2)不低于 8 (0 分)的学生 有 12 人,9(0 分)以上的学生 有 3 人,则随机 变量 ξ 的可能取 值有 0,1,2, 然后根据古典 概型的概率公 式求出相应的 概率,从而可求 出数学期望. 解: (1)由
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30×0.006+10×0. 01+10×0.054+1 0x=1,得 x=0.018 (2)由题意知 道: 不低于 8 (0 分) 的学生有 12 人,9(0 分)以 上的学生有 3 人 随机变量 ξ 的可 能取值有 0,1, 2



点评:

本题主要考查 了频率分布直 方图,以及古典 概型的概率公 式和离散型随 机变量的数学 期望,同时考查 了计算能力和 运算求解的能 力,属于基础 题.

18. (13 分) (2012?广东)如图所示,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥ 平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥ 平面 BDE. (1)证明:BD⊥ 平面 PAC; (2)若 PA=1,AD=2,求二面角 B﹣PC﹣A 的正切值.

考点:

专题: 分析:

解答:

二面角的平面 角及求法;直线 与平面垂直的 判定. 计算题;证明 题;数形结合. (1)由题设条 件及图知,可先 由线面垂直的 性质证出 PA⊥ BD 与 PC⊥ BD, 再由线 面垂直的判定 定理证明线面 垂直即可; (2)由图可令 AC 与 BD 的交 点为 O,连接 OE,证明出 ∠ BEO 为二面角 B﹣PC﹣A 的平 面角,然后在其 所在的三角形 中解三角形即 可求出二面角 的正切值. 解: (1)∵ PA⊥ 平面 ABCD ∴ PA⊥ BD ∵ PC⊥ 平面 BDE ∴ PC⊥ BD,又 PA∩ PC=P ∴ BD⊥ 平面 PAC (2)设 AC 与 BD 交点为 O, 连 OE ∵ PC⊥ 平面 BDE ∴ PC⊥ OE
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又∵ BO⊥ 平面 PAC ∴ PC⊥ BO ∴ PC⊥ 平面 BOE ∴ PC⊥ BE ∴ ∠ BEO 为二面 角 B﹣PC﹣A 的平面角 ∵ BD⊥ 平面 PAC ∴ BD⊥ AC ∴ 四边形 ABCD 为正方形,又 PA=1,AD=2, 可得 BD=AC=2 , PC=3 ∴ OC= 在△ PAC∽ △ OEC 中,



∴ 二面角 B﹣PC ﹣A 的平面角的 正切值为 3

点评:

本题考查二面 角的平面角的 求法及线面垂 直的判定定理 与性质定理,属 于立体几何中 的基本题型,二 面角的平面角 的求法过程, 作,证,求三步 是求二面角的 通用步骤,要熟

练掌握 19. (14 分) (2012?广东)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 等差数列. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有 . ,且 a1,a2+5,a3 成

考点:

专题: 分析:

数列与不等式 的综合;等差数 列的性质;数列 递推式. 计算题;证明 题;综合题.
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(1) 在 2Sn=an+1 n+1 ﹣2 +1 中,令 分别令 n=1,2, 可求得 a2=2a1+3, a3=6a1+13,又 a1,a2+5,a3 成 等差数列,从而 可求得 a1; (2) 由 2Sn=an+1 n+1 ﹣2 +1,

得 an+2=3an+1+2 ① , n an+1=3an+2 ② , 由① ② 可知 n {an+2 }为首项 是 3,3 为公比 的等比数列,从 而可求 an; (3) (法一) , n n 由 an=3 ﹣2 = (3 n﹣1 n﹣ ﹣2) (3 +3 2 n﹣ ×2+3 3 2 n ﹣1 ×2 +…+2 ) n﹣1 ≥3 可得 ≤ ,累
n+1

加后利用等比 数列的求和公 式可证得结论;

(法二)由 an+1=3 ﹣2 n >2×3 ﹣ n+1 2 =2an 可得, < ? ,
n+1 n+1

于是当 n≥2 时, < ? < ? , , …, ? 得: < ,累乘 < ? , 从而可证得 + + 解答: + +… ,

< .

解: (1)在 2Sn=an+1﹣ n+1 2 +1 中, 令 n=1 得: 2 2S1=a2﹣2 +1, 令 n=2 得: 3 2S2=a3﹣2 +1, 解得: a2=2a1+3, a3=6a1+13 又 2(a2+5) =a1+a3 解得 a1=1 (2) 由 2Sn=an+1 n+1 ﹣2 +1,

得 an+2=3an+1+2 , 又 a1=1,a2=5 也满足 1 a2=3a1+2 ,
n+1

所以 an+1=3an+2 对 n∈N*成立 ∴ an+1+2 =3 n (an+2 ) ,又 1 a1=1,a1+2 =3, n n ∴ an+2 =3 , n n ∴ an=3 ﹣2 ; (3) (法一) n n ∵ an=3 ﹣2 =(3 n﹣1 n﹣ ﹣2) (3 +3 2 n﹣ ×2+3 3 2 n ﹣1 ×2 +…+2 ) n﹣1 ≥3 ∴ ≤ ∴ + …+ +…+ + ≤1+ + = , +
n+1 n

< ; (法二) n+1 ∵ an+1=3 ﹣ n+1 n 2 >2×3 ﹣ n+1 2 =2an, ∴ ? < , ,

当 n≥2 时, < ? ? , , , … ? < , <

累乘得:

< ?

, ∴ + …+ +…+ × < < . 点评: 本题考查数列 与不等式的综 合,考查数列递 推式,着重考查 等比数列的求 和,着重考查放 缩法的应用,综 合性强,运算量 大,属于难题. + +

≤1+ + ×

20. (14 分) (2012?广东)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

的离心率

,且

椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程; 2 2 (2) 在椭圆 C 上, 是否存在点 M (m, n) , 使得直线 l: mx+ny=1 与圆 O: x +y =1 相交于不同的两点 A、 B, 且△ OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及对应的△ OAB 的面积;若不存在,请说明理由. 考点: 圆与圆锥曲线 的综合;直线与 圆相交的性质; 椭圆的标准方 程. 综合题;压轴 题.
3587691

专题: 分析:

(1) 由
2 2



a =3b ,椭圆方 程为 2 2 2 x +3y =3b ,求 出椭圆上的点 到点 Q 的距离, 利用配方法,确

定函数的最大 值,即可求得椭 圆方程; (2) 假设 M (m, n)存在,则有 2 2 m +n >1, 求出 |AB|,点 O 到直 线 l 距离,表示 出面积,利用基 本不等式,即可 确定三角形面 积的最大值,从 而可求点 M 的 坐标. 解答: 解: (1) 由 得 a =3b ,椭圆 方程为 x +3y =3b 椭圆上的点到 点 Q 的距离
2 2 2 2 2

=

① 当﹣b≤﹣1 时, 即 b≥1,

得 b=1 ② 当﹣b>﹣1 时,即 b<1,

得 b=1(舍) ∴ b=1 ∴ 椭圆方程为

(2) 假设 M (m, n)存在,则有 2 2 m +n >1 ∵ |AB|=

,点 O 到直线 l 距离



=

∵ m +n >1 ∴ 0< 1, ∴ <

2

2

当且仅当

,即 m +n =2> 1 时,S△AOB 取 最大值 , 又∵ 解得:

2

2

所以点 M 的坐 标为







,△ AOB 的面积 为 . 点评: 本题考查椭圆 的标准方程,考 查三角形面积

的求解,考查基 本不等式的运 用,正确表示三 角形的面积是 关键. 21. (14 分) (2012?广东)设 a<1,集合 A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x ﹣3(1+a)x+6a>0},D=A∩ B. (1)求集合 D(用区间表示) ; 3 2 (2)求函数 f(x)=2x ﹣3(1+a)x +6ax 在 D 内的极值点. 考点: 利用导数研究 函数的极值;交 集及其运算;一 元二次不等式 的解法. 计算题;压轴 题. (1)根据方程 2 2x ﹣3(1+a) x+6a=0 的判别 式讨论 a 的范 围,求出相应 D 即可; (2)由 f'(x) 2 =6x ﹣6(1+a) x+6a=0 得 x=1, a, 然后根据 (1) 中讨论的 a 的取 值范围分别求 出函数极值即 可. 解: (1) 记h (x) 2 =2x ﹣3(1+a) x+6a(a<1) 2 △ =9(1+a) ﹣ 48a=(3a﹣1) (3a﹣9) 当△ <0,即
3587691

2

专题: 分析:

解答:

,D= (0,+∞) 当 ,

当 a≤0,

(2)由 f'(x) 2 =6x ﹣6(1+a) x+6a=0 得 x=1, a ① 当 , f

(x)在 D 内有 一个极大值点 a,有一个极小 值点 ② 当 ,

∵ h(1)=2﹣3 (1+a)+6a=3a ﹣1≤0 2 h(a)=2a ﹣3 (1+a)a+6a=3a ﹣a >0 ∴ 1?D,a∈D ∴ f(x)在 D 内 有一个极大值 点a ③ 当 a≤0, 则 a?D 又∵ h(1)=2﹣3 (1+a)+6a=3a ﹣1<0 ∴ f(x)在 D 内 有无极值点 本题主要考查 了一元二次不 等式的解法,以 及利用导数研 究函数的极值, 同时考查了计 算能力和分类 讨论的数学思 想,属于中档 题.
2

点评:


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