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北京101中2015-2016学年高一(下)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年北京 101 中高一(下)期末数学试卷
一、选择题: 1.重庆市 2013 年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如,则这组数据的中位数是(



A.19 B.20 C.21.5 D.23 2.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( A.1 B.2 C.3 D.4 3.在区

间[﹣2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1 的概率为( A. B. C. D. )

) )

4.执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为(

A.3

B.4

C.5

D.6

5.已知 x,y 满足约束条件

,则 z=﹣2x+y 的最大值是(



A.﹣1 B.﹣2 C.﹣5 D.1 6.在梯形 ABCD 中,∠ABC= ,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,将梯形 ABCD 绕 AD 所 )

在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(

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A.

B.

C.

D.2π )

7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是(

A.2+

B.4+

C.2+2

D.5

8.对于集合{a1,a2,…,an}和常数 a0,定义 w= 为集合{a1,a2,…,an}相 , , }相对 a0 的“正弦方差”为( )

对 a0 的“正弦方差”,则集合{ A. C. B. D.与 a0 有关的一个值

二、填空题: 9. 某电子商务公司对 1000 名网络购物者 2015 年度的消费情况进行统计, 发现消费金额 (单 位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.在这些购物者中,消费金 额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为______.

10.在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则

=______.

11.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1.若 a1=1,且对任意的 n∈N+都有 an+2+an+1 ﹣2an=0,则 S5=______. 12.已知 1<a<2,2<a+b<4,则 5a﹣b 的取值范围是______. 13.如图,在正三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,AB=2,A1A=2 ,D,F 分别是棱 AB,AA1 的 中点,E 为棱 AC 上的动点,则△DEF 周长的最小值为______.

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14.已知函数 f(x)=



(1)若 f(x)>k 的解集为{x|x<﹣3 或 x>﹣2},则 k 的值等于______; (2)对任意 x>0,f(x)≤t 恒成立,则 t 的取值范围是______. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 50 分. 15.海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此 商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样 品进行检测. A B C 地区 50 150 100 数量 (Ⅰ)求这 6 件样品来自 A,B,C 各地区商品的数量; (Ⅱ) 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测, 求这 2 件商品来自相同 地区的概率. 16. AB=16, AA1=8, BC=10, F 分别在 A1B1C1D1 如图, 在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 点 E, 上,A1E=D1F=4,过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 EFGH. (I)在图中画出这个正方形 EFGH(不必说明画法和理由) ,并说明 G,H 在棱上的具体 位置; (II)求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值.

17.已知函数 f(x)=

sinxcosx﹣cos2x+ ,△ABC 三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,

b,c 且 f(A)=1. (I) 求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=7,b=5,求 c 的值.

第 3 页(共 18 页)

18.某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理 成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买. 100 217 × × √ 200 √ × 300 √ × √ × √ 85 × × × 98 × √ × × (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率; (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大? 19.已知数列{an}和{bn}满足 a1a2a3…an= b3=6+b2. (Ⅰ)求 an 和 bn; (Ⅱ)设 cn= (n∈N*) .记数列{cn}的前 n 项和为 Sn. (n∈N*) .若{an}为等比数列,且 a1=2, 甲 √ 乙 × √ √ 丙 √ 丁 √ √

(i)求 Sn; (ii)求正整数 k,使得对任意 n∈N*均有 Sk≥Sn.

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2015-2016 学年北京 101 中高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: 1.重庆市 2013 年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如,则这组数据的中位数是(



A.19

B.20

C.21.5 D.23

【考点】茎叶图. 【分析】根据中位数的定义进行求解即可. 【解答】解:样本数据有 12 个,位于中间的两个数为 20,20, 则中位数为 故选:B 2.等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( A.1 B.2 C.3 D.4 ) ,

【考点】等差数列的通项公式. 【分析】设数列{an}的公差为 d,则由题意可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,由此解得 d 的值. 【解答】解:设数列{an}的公差为 d,则由 a1+a5=10,a4=7,可得 2a1+4d=10,a1+3d=7,解 得 d=2, 故选 B. 3.在区间[﹣2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1 的概率为( A. B. C. D. )

【考点】几何概型. 【分析】利用几何槪型的概率公式,求出对应的区间长度,即可得到结论. 【解答】解:在区间[﹣2,3]上随机选取一个数 X, 则﹣2≤X≤3, 则 X≤1 的概率 P= 故选:B. 4.执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为( ) ,

第 5 页(共 18 页)

A.3

B.4

C.5

D.6

【考点】程序框图. 【分析】根据程序运行条件,分别进行判断,即可得到结论. 【解答】解:第一次运行,n=5,不是偶数,则 n=3×5+1=16,k=1, 第二次运行,n=16,是偶数,则 n= =8,k=2,

第三次运行,n=8,是偶数,则 n= =4,k=3, 第四次运行,n=4,是偶数,则 n= =2,k=4, 第五次运行,n=2,是偶数,则 n= =1,k=5, 此时满足条件 n=1,输出 k=5. 故选:C.

5.已知 x,y 满足约束条件

,则 z=﹣2x+y 的最大值是(



A.﹣1 B.﹣2 C.﹣5 D.1 【考点】简单线性规划. 【分析】首先画出平面区域,z=﹣2x+y 的最大值就是 y=2x+z 在 y 轴的截距的最大值. 【解答】解:由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分, 当直线 y=2x+z 经过 A 时使得 z 最大,由 所以 z 的最大值为﹣2×1+1=﹣1;
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得到 A(1,1) ,

故选:A.

6.在梯形 ABCD 中,∠ABC=

,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,将梯形 ABCD 绕 AD 所 )

在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( A. B. C. D.2π

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】画出几何体的直观图,利用已知条件,求解几何体的体积即可. 【解答】解:由题意可知几何体的直观图如图:旋转体是底面半径为 1,高为 2 的圆柱,挖 去一个相同底面高为 1 的倒圆锥, 几何体的体积为: 故选:C. = .

7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是(



第 7 页(共 18 页)

A.2+

B.4+

C.2+2

D.5

【考点】由三视图求面积、体积. OA⊥面 ABC, AC=AB, E 为 BC 中点, EA=2, EA=EB=1, 【分析】 根据三视图可判断直观图为: OA=1, :BC⊥面 AEO,AC= ,OE= 判断几何体的各个面的特点,计算边长,求解面积. 【解答】解:根据三视图可判断直观图为: OA⊥面 ABC,AC=AB,E 为 BC 中点, EA=2,EC=EB=1,OA=1, ∴可得 AE⊥BC,BC⊥OA, 运用直线平面的垂直得出:BC⊥面 AEO,AC= ,OE= ∴S△ABC= S△BCO= 2×2=2,S△OAC=S△OAB= 2× = . , ×1= .

故该三棱锥的表面积是 2 故选:C.

8.对于集合{a1,a2,…,an}和常数 a0,定义 w= 为集合{a1,a2,…,an}相 , , }相对 a0 的“正弦方差”为( )

对 a0 的“正弦方差”,则集合{

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A. C.

B. D.与 a0 有关的一个值

【考点】进行简单的合情推理. 【分析】先根据题意表示出正弦方差 μ,进而利用二倍角公式把正弦的平方转化成余弦的二 倍角,进而利用两角和公式进一步化简整理,求得结果即可. 【解答】解:因为集合{ , , }相对 a0 的“正弦方差”,

所以 W=

=

= 故选:C. 二、填空题: 9. 某电子商务公司对 1000 名网络购物者 2015 年度的消费情况进行统计, 发现消费金额 (单 位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.在这些购物者中,消费金 额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 600 .

【考点】频率分布直方图. 【分析】频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率,先算出频率,在根据频率和为 1, 算出 a 的值,再求出消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的频率,再求频数. 【解答】解:由题意,根据直方图的性质得(1.5+2.5+a+2.0+0.8+0.2)×0.1=1,解得 a=3 由直方图得(3+2.0+0.8+0.2)×0.1×1000=600. 故答案为:600.

10.在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则

= 1 .

【考点】余弦定理;二倍角的正弦;正弦定理. 【分析】利用余弦定理求出 cosC,cosA,即可得出结论. 【解答】解:∵△ABC 中,a=4,b=5,c=6, ∴cosC= = ,cosA= =

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∴sinC=

,sinA=





=

=1.

故答案为:1. 11.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1.若 a1=1,且对任意的 n∈N+都有 an+2+an+1 ﹣2an=0,则 S5= 11 . 【考点】等比数列的性质;数列的求和. 【分析】由题意可得 anq2+an q=2an ,即 q2+q=2,解得 q=﹣2,或 q=1(舍去) ,由此求得 S5= 的值.

a1=1, 【解答】 解: ∵等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且对任意的 n∈N+都有 an+2+an+1﹣2an=0, 2 ∴anq +anq=2an , 即 q2+q=2,解得 q=﹣2,或 q=1(舍去) . ∴S5= 故答案为 11. 12.已知 1<a<2,2<a+b<4,则 5a﹣b 的取值范围是 (2,10) . 【考点】简单线性规划. 【分析】由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的范围. 【解答】解:画出 1<a<2,2<a+b<4 的可行域,如图: =11,

目标函数 z=5a﹣b 在直线 2=a+b 与直线 a=2 的交点 B(2,0)处,z 值的上界取:10, 在直线 4=a+b 与直线 a=1 的交点 A(1,3)处,目标函数 z 值的下界取:2, 5a﹣b 的取值范围是(2,10) . 故答案为: (2,10) .

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13.如图,在正三棱柱 A1B1C1﹣ABC 中,AB=2,A1A=2 中点,E 为棱 AC 上的动点,则△DEF 周长的最小值为

,D,F 分别是棱 AB,AA1 的 +2 .

【考点】平面的基本性质及推论. 【分析】由正三棱柱 A1B1C1﹣ABC 的性质可得:AA1⊥AB,AA1⊥AC.在 Rt△ADF 中, 利用勾股定理可得 DF=2.因此只要求出 DE+EF 的最小值即可得出.把底面 ABC 展开与侧 面 ACC1A1 在同一个平面,如图所示,只有当三点 D,E,F 在同一条直线时,DE+EF 取得 最小值.利用余弦定理即可得出. 【解答】解:由正三棱柱 A1B1C1﹣ABC,可得 AA1⊥底面 ABC,∴AA1⊥AB,AA1⊥AC. 在 Rt△ADF 中,DF= =2.

把底面 ABC 展开与侧面 ACC1A1 在同一个平面,如图所示, 只有当三点 D,E,F 在同一条直线时,DE+EF 取得最小值. 在△ADE 中,∠DAE=60°+90°=150°,由余弦定理可得: DE= ∴△DEF 周长的最小值= 故答案为: +2. +2. = .

14.已知函数 f(x)=

. ;

(1)若 f(x)>k 的解集为{x|x<﹣3 或 x>﹣2},则 k 的值等于 ﹣ (2)对任意 x>0,f(x)≤t 恒成立,则 t 的取值范围是 [
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,+∞) .

【考点】其他不等式的解法;函数恒成立问题. 【分析】 (1)根据不等式和方程之间的关系,转化为方程进行求解即可. (2)任意 x>0,f(x)≤t 恒成立,等等价于 t≥ 可求出. 【解答】解: (1) :f(x)>k?kx2﹣2x+6k<0. 由已知{x|x<﹣3,或 x>﹣2}是其解集, 得 kx2﹣2x+6k=0 的两根是﹣3,﹣2. 由根与系数的关系可知(﹣2)+(﹣3)= , 解得 k=﹣ , = 恒成立,根据基本不等式即

(2)任意 x>0,f(x)≤t 恒成立,等价于 t≥

=

恒成立,

∵x+ ≥2 ∴t≥ ,

=2

,当且仅当 x=

时取等号,

故答案为: (1) :﹣ , (2) :[

,+∞)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 50 分. 15.海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此 商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样 品进行检测. A B C 地区 50 150 100 数量 (Ⅰ)求这 6 件样品来自 A,B,C 各地区商品的数量; (Ⅱ) 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测, 求这 2 件商品来自相同 地区的概率. 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】 (Ⅰ)先计算出抽样比,进而可求出这 6 件样品来自 A,B,C 各地区商品的数量; (Ⅱ) 先计算在这 6 件样品中随机抽取 2 件的基本事件总数, 及这 2 件商品来自相同地区的 事件个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案. 【解答】解: (Ⅰ)A,B,C 三个地区商品的总数量为 50+150+100=300, 故抽样比 k= = , ×50=1; ×150=3;

故 A 地区抽取的商品的数量为: B 地区抽取的商品的数量为:

第 12 页(共 18 页)

C 地区抽取的商品的数量为:

×100=2; =15 个不同的基本事件;

(Ⅱ)在这 6 件样品中随机抽取 2 件共有:

且这些事件是等可能发生的, 记“这 2 件商品来自相同地区”为事件 A,则这 2 件商品可能都来自 B 地区或 C 地区, 则 A 中包含 故 P(A)= , . =4 种不同的基本事件,

即这 2 件商品来自相同地区的概率为

16. AB=16, AA1=8, BC=10, F 分别在 A1B1C1D1 如图, 在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 点 E, 上,A1E=D1F=4,过点 E,F 的平面 α 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 EFGH. (I)在图中画出这个正方形 EFGH(不必说明画法和理由) ,并说明 G,H 在棱上的具体 位置; (II)求平面 α 把该长方体分成的两部分体积的比值.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】 (I)过 E 作 EM⊥AB 于 M,由勾股定理可得 MH=6,从而确定出 G,H 的位置; (II)两部分均为底面为梯形的直棱柱,代入棱柱的体积公式求出两部分的体积即可得出体 积比. 【解答】解: (I)作出图形如图所示: 过 E 作 EM⊥AB 于 M, ∵四边形 EFGH 为正方形,∴EH=EF=BC=10, ∵EM=AA1=8, ∴MH= =6,

∴AH=AM+MH=10,∴DG=10, 即 H 在棱 AB 上,G 在棱 CD 上,且 AH=DG=10. (II)设平面 α 把该长方体分成的两部分体积分别为 V1,V2, 则 V1=S ?AD= ×(4+10)×8×10=560,

V2=V 长方体﹣V1=16×8×10﹣560=720. ∴ = = .
第 13 页(共 18 页)

17.已知函数 f(x)=

sinxcosx﹣cos2x+ ,△ABC 三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,

b,c 且 f(A)=1. (I) 求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=7,b=5,求 c 的值. 【考点】二倍角的余弦;二倍角的正弦;余弦定理. 【分析】 (I)由 f(x)= sinxcosx﹣cos2x+ 利用二倍角公式及辅助角公式对已知化简,

然后结合 f(A)=1,及 A∈(0,π)可求 A; (Ⅱ)由余弦定理 a2=b2+c2﹣2bccosA 可求 c 【解答】解: (I)因为 f(x)= = =sin(2x﹣ ) … )=1,A∈(0,π) ,… , … sinxcosx﹣cos2x+

又 f(A)=sin(2A﹣ 所以 ∴

(Ⅱ)由余弦定理 a2=b2+c2﹣2bccosA 得到 解得 c=﹣3(舍)或 所以 c=8 c=8 ,所以 c2﹣5c﹣24=0 … …

18.某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理 成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买. 100 217 200 300 甲 √ × √ √ 乙 × √ √ × 丙 √ × √ √ 丁 √ √ × ×
第 14 页(共 18 页)

√ 85 × × × 98 × √ × × (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率; (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大? 【考点】相互独立事件的概率乘法公式. 【分析】 (1)从统计表可得,在这 1000 名顾客中,同时购买乙和丙的有 200 人,从而求得 顾客同时购买乙和丙的概率. (2)根据在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的有 300 人,求得顾客顾客在甲、乙、丙、 丁中同时购买 3 种商品的概率. (3)在这 1000 名顾客中,求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买 甲和丁的概率,从而得出结论. 【解答】解: (1)从统计表可得,在这 1000 名顾客中,同时购买乙和丙的有 200 人, 故顾客同时购买乙和丙的概率为 =0.2.

(2)在这 1000 名顾客中,在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的有 100+200=300(人) , 故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率为 (3)在这 1000 名顾客中,同时购买甲和乙的概率为 同时购买甲和丙的概率为 同时购买甲和丁的概率为 =0.1, =0.6, =0.2, =0.3.

故同时购买甲和丙的概率最大. (n∈N*) .若{an}为等比数列,且 a1=2,

19.已知数列{an}和{bn}满足 a1a2a3…an= b3=6+b2. (Ⅰ)求 an 和 bn; (Ⅱ)设 cn=

(n∈N*) .记数列{cn}的前 n 项和为 Sn.

(i)求 Sn; (ii)求正整数 k,使得对任意 n∈N*均有 Sk≥Sn. 【考点】数列与不等式的综合;数列的求和. 【分析】 (Ⅰ)先利用前 n 项积与前(n﹣1)项积的关系,得到等比数列{an}的第三项的值, 结合首项的值,求出通项 an,然后现利用条件求出通项 bn; (Ⅱ) (i)利用数列特征进行分组求和,一组用等比数列求和公式,另一组用裂项法求和, 得出本小题结论; (ii)本小题可以采用猜想的方法,得到结论,再加以证明. 【解答】解: (Ⅰ)∵a1a2a3…an= 当 n≥2,n∈N*时, (n∈N*) ①, ②,

第 15 页(共 18 页)

由①②知: 令 n=3,则有 ∵b3=6+b2, ∴a3=8. ∵{an}为等比数列,且 a1=2, ∴{an}的公比为 q,则

, .

=4,

由题意知 an>0,∴q>0,∴q=2. ∴ (n∈N*) . (n∈N*)得: , , ∴bn=n(n+1) (n∈N*) . (Ⅱ) (i)∵cn= ∴Sn=c1+c2+c3+…+cn = = = = ; = = .

又由 a1a2a3…an=

(ii)因为 c1=0,c2>0,c3>0,c4>0; 当 n≥5 时, , 而 = 得 , 所以,当 n≥5 时,cn<0, 综上,对任意 n∈N*恒有 S4≥Sn,故 k=4.
第 16 页(共 18 页)

>0,

第 17 页(共 18 页)

2016 年 9 月 29 日

第 18 页(共 18 页)


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