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幂函数与二次函数·解析版


幂函数与二次函数
1.幂函数 y=f(x)的图象经过点错误!未找到引用源。,则 f 错误!未 找到引用源。的值为( (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2.设 abc<0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象不可能是( ) )

3.如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么 (A)f

(2)<f(1)<f(4) (B)f(1)<f(2)<f(4) (C)f(2)<f(4)<f(1) (D)f(4)<f(2)<f(1) 4.函数 f(x)=ax2+(a-3)x+1 在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数 a 的 取值范围是( (A)[-3,0) ) (B)(-∞,-3](C)[-2,0] (D)[-3,0] )

5.下图给出四个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是(

(A)①y=错误!未找到引用源。,②y=x2,③y=错误!未找到引用源。, ④y=x-1(B)①y=x3,②y=x2,③y=错误!未找到引用源。,④y=x-1 ( C)①y=x2,②y=x3,③y=错误!未找到引用源。,④y=x-1(D)①y=错误! 未找到引用源。,②y=错误!未找到引用源。,③y=x2,④y=x-1
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6.(2012 惠 州 市 高 三 调 研 ) 已 知 函 数 f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3), 若 x1<x2,x1+x2=1-a,则( B (A)f(x1)=f(x2) (C)f(x1)>f(x2) )

(B)f(x1)<f(x2) (D)f(x1)与 f(x2)的大小不能确定

7.二次函数的图象过点 (0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则它的解 析式为 .

8.已知函数 y=错误!未找到引用源。的值域是[0,+∞),则实数 m 的 取值范围是 .

9.已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。,给出下列命题: ①若 x>1,则 f(x)>1;②若 0<x1<x2,则 f(x2)-f(x1)>x2-x1;③若 0<x1<x2, 则 x2f(x1)<x1 f(x2);④若 0<x1<x2,则错误!未找到引用源。<f 错误! 未找到引用源。. 则所有正确命题的序号是 .

10.求二次函数 f(x)=x2+2ax+3 在区间[1,2]上的最小值. 11.已知函数 f(x)=xm-错误!未找到引用源。且 f(4)=错误!未找到 引用源。. (1)求 m 的值; (2)判定 f(x)的奇偶性; (3)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.

12.(2012 湖 南 十 二 校 一 联 ) 已 知 二 次 函 数 f(x)=ax2+bx+c 和
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g(x)=ax2+bx+c·ln x(abc≠0). (1)证明:当 a<0 时,无论 b 为何值, 函数 g(x)在定义域内不 可能总为 增函数; (2 )在同一函数图象上取任意两个不同的点 A (x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点 C(x0,y0),记直线 AB 的斜率为 k,若 f(x)满足 k=f'(x0),则 称其为“K 函数”.判断函数 f(x)=ax2+bx+c 与 g(x)=ax2+bx+c·ln x(abc≠0)是否为“K 函数” ?并证明你的结论.

试题答案完整解析
1.幂函数 y=f(x)的图象经过点错误!未找到引用源。,则 f 错误!未找到引用源。的值为 ( B ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 α α 解析:设 f(x)=x ,则 4 =错误!未找到引用源。,α =-错误!未找到引用源。,即 f(x)=错误! 未找到引用源。,于是 f 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=2.故选 B. 2 2.设 abc<0,二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象不可能是( D )

解析:由 abc< 0 知,a、b、c 的符号同负或两正一负,f(0)=c, ①当 c>0 时,ab<0, 对称轴 x=-错误!未找到引用源。>0,图象可能为选项 B. ②当 c<0 时,ab>0, 对称轴 x=-错误!未找到引用源。<0,图象可能为选项 A、C, 图象不可能为选项 D. 故选 D. 2 3.如果函数 f(x)=x +bx+c 对任意实数 t 都有 f(2+t)=f(2-t),那么( (A)f(2)<f(1)<f(4) (B)f(1)<f(2)<f(4) (C)f(2)<f(4)<f(1) (D)f(4)<f(2)<f(1) 解析:∵f(2+t)=f(2-t), ∴f(x)关于 x=2 对称,又开口向上. ∴f(x)在[2,+∞)上单调递增,且 f(1)=f(3). ∴f(2)<f(3)<f(4), 即 f(2)<f(1)<f(4),故选 A.
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A )

4.函数 f(x)=ax +(a-3)x+1 在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数 a 的取值范围是( D ) (A)[-3,0) (B)(-∞,-3] (C)[-2,0] (D)[-3,0] 解析:当 a=0 时,f(x)=-3x+1 在[-1,+∞)上递减, 故 a=0 时满足题意. 当 a≠0 时,要使 f(x)在[-1,+∞)上是减函数, 则有错误!未找到引用源。 解得-3≤a<0. 综上可知 a 的取值范围是[-3,0]. 故选 D. 5.(2013 乐山市第一次调研考试)下图给出四个幂函数的图象,则图象与函数大致对应的是 ( B )

2

(A)①y=错误!未找到引用源。,②y=x ,③y=错误!未找到引用源。,④y=x 3 2 -1 (B)①y=x ,②y=x ,③y=错误!未找到引用源。,④y=x 2 3 -1 ( C)①y=x ,②y=x ,③y=错误!未找到引用源。,④y=x 2 -1 (D)①y=错误!未找到引用源。,②y=错误!未找到引用源。,③y=x ,④y=x 2 -1 解析:根据 4 个函数图象的特征,可对②④作出简单判断,分别为 y=x ,y=x ,排除选项 C,D; 比较选项 A,B 可得选项 B 正确. 2 6.(2012 惠州市 高三调研)已知函数 f(x)=ax +2ax+4(0<a<3),若 x1<x2,x1+x2=1-a,则( B ) (A)f(x1)=f(x2) (B)f(x1)<f(x2) (C)f(x1)>f(x2) (D)f(x1)与 f(x2)的大小不能确定 解析:函数的对称轴为 x=-1, 设 x0=错误!未找到引用源。, 由 0<a<3 得到-1<错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。, 又 x1<x2,用单调性和离对称轴的远近作判断, 故选 B. 二、填空题 7.二次函数的图象过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则它的解析式为 . 2 解析:依题意可设 f(x)=a(x-2) -1, 又其图象过点(0,1), ∴4a-1=1,∴a=错误!未找到引用源。. 2 ∴f(x)=错误!未找到引用源。(x-2) -1. 2 答案:f(x)=错误!未找到引用源。(x-2) -1 8.已知函数 y=错误!未找到引用源。的值域是[0,+∞),则实数 m 的取值范围是 . 解析:当 m=0 时,y=错误!未找到引用源。,显然成立. 当 m≠0 时,要使 y∈[0,+∞),只要 错误!未找到引用源。解得 0<m≤1 或 m≥9. 综上 m 的取值范围是[0,1]∪[9,+∞).
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2

-1

答案:[0,1]∪[9,+∞) 9.已知函数 f(x)=错误!未找到引用源。,给出下列命题: ①若 x>1,则 f(x)>1;②若 0<x1<x2,则 f(x2)-f(x1)>x2-x1;③若 0<x1<x2,则 x2f(x1)<x1 f(x2);④ 若 0<x1<x2,则错误!未找到引用源。<f 错误!未找到引用源。. 则所有正确命题的序号是 . 解析:对于①,f(x)=错误!未找到引用源。是增函数,f(1)=1,当 x>1 时,f(x)>1,①正确; 对于②,错误!未找到引用源。>1,可举例(1,1),(4,2),故②错误; 对于③,错误!未找到引用源。<错误!未找到引用源。,说明图象上两点 x 1,x2 到原点连线 的斜率越来越大,由图象可知,③错误; 对于④,错误!未找到引用源。<f 错误!未找到引用源。,根据图象可判断出④正确. 答案:①④ 三、解答题 2 10.(2012 河南南阳高中月考)求二次函数 f(x)=x +2ax+3 在区间[1,2]上的最小值. 2 2 2 解:f(x)=x +2ax +3=(x+a) +3-a , 当-a>2,即 a<-2 时, 函数在区间[1,2]上为减函数, 故此时最小值为 f(2)=4a+7; 当 1≤-a≤2, 即-2≤a≤-1 时, 2 函数的最小值为 f(-a)=-a +3; 当-a<1,即 a>-1 时, 函数在区间[1,2]上为增函数, 故此时最小值为 f(1)=2a+4. 综上可知,当 a<-2 时, 最小 值为 4a+7; 当-2≤a≤-1 时, 2 最小值为-a +3; 当 a>-1 时,最小值为 2a+4. m 11.(2012 开封模拟)已知函数 f(x)=x -错误! 未找到引用源。 且 f(4)=错误! 未找到引用源。 . (1)求 m 的值; (2)判定 f(x)的奇偶性; (3)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明. 解:(1)∵f(4)=错误!未找到引用源。, m ∴4 -错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴m=1. (2)由(1)知 f(x)=x-错误!未找到引用源。, ∴函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 又 f(-x)=-x+错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。=-f(x). 所以函数 f(x)是奇函数. (3)函数 f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,证明如下: 设 x1>x2>0, 则 f(x1)-f(x2) =x1-错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。 =(x1-x2)错误!未找到引用源。,
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因为 x1>x2>0, 所以 x1-x2>0,1+错误!未找到引用源。>0. 所以 f(x1)>f(x2). 所以函数 f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数. 2 2 12.(2012 湖南十二校一联)已知二次函数 f(x)=ax +bx+c 和 g(x)=ax +bx+c·ln x(abc≠0). (1)证明:当 a<0 时,无论 b 为何值, 函数 g(x)在定义域内不 可能总为增函数; (2 )在同一函数图象上取任意两个不同的点 A (x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点 C(x0,y0),记 2 直线 AB 的斜率为 k,若 f(x)满足 k=f'(x0),则称其为“K 函数”.判断函数 f(x)=ax +bx+c 与 2 g(x)=ax +bx+c·ln x(abc≠0)是否为“K 函数” ?并证明你的结论. 解:(1)假设 g(x)在定义域(0,+∞)上为增函数, 则有 g'(x)=2ax+b+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。>0 对于一切 x>0 恒成立, 2 从而必有 2a x +bx+c>0 对于一切 x>0 恒成立. 2 又 a<0,由二次函数的图象可知:2ax +bx+c>0 对于一切 x>0 恒成立是不可能的. 因此当 a<0 时,无论 b 为何值,函数 g(x)在定义域内不可能总为增函数. 2 2 (2)函数 f(x)=ax +bx+c 是“K 函数”,g(x)=ax +bx+c·ln x(abc≠0)不是“K 函数”. 2 对于二次函数 f(x)=ax +bx+c, k=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=a(x2+x1)+b=2ax0+b. 又 f'(x0)=2ax0+b,故 k=f'(x0). 2 故函数 f(x)=ax +bx+c 是“K 函数”. 2 对于函数 g(x)=ax +bx+c·ln x(abc≠0)(x>0), 不妨设 x2>x1>0, 则 k=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。= 2ax0+b+错误!未找到引用源。. 又 g'(x0)=2ax0+b+错误!未找到引用源。, 若 g(x)为“K 函数”,则必满足 k=g'(x0), 即有 2ax0+b+错误!未找到引用源。=2ax0+b+错误!未找到引用源。, 也即错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(c≠0), 所以错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 设 t=错误!未找到引用源。,则 0<t<1,ln t=错误!未找到引用源。. ① 设 s(t)=ln t-错误!未找到引用源。, 则 s'(t)=错误!未找到引用源。>0, 所以 s(t)在 t∈(0,1)上为增函数,s(t)<s(1)=0, 故 ln t≠错误!未找到引用源。.② 2 ①与②矛盾,因此,函数 g(x)=ax +bx+c·ln x(abc≠0)不是“K 函数”.

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