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甘肃省兰州市二十七中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷


2015 –2016 学年度甘肃兰州二十七中 第一学期高一数学(必修二)期末试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.满分 150 分,时间 120 分钟 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 直线 x ? y ? 1 ?

0 的倾斜角与其在 y 轴上的截距分别是 ( ) A. 135 ? ,1 B. 45 ? ,?1 C. 45 ? ,1 D. 135 ? ,?1

2.利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图一定是三角形; ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形; 以上结论正确的是 A.①② B. ① ) 表示. (B)平面 AC (D)平面 ABCD
A B

②正方形的直观图一定是菱形; ④菱形的直观图一定是菱形. ) D. ①②③④
D C

( C.③④

3.如图,平面不能用( (A) 平面α (C)平面 AB

4.如果 AB ? 0 , BC ? 0 ,那么直线 Ax ? By ? C ? 0 不经过的象限是 ( A.第一象限 象限 5.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 ( A. 若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? C.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? B. 若 l //? , m ? ? ,则 l //m D. 若 l //? , m//? ,则 l //m B.第二象限 C.第三象限

) D. 第四

)

6.点 P(x,y)在直线 x+y-4=0 上,O 是坐标原点,则│OP│的最小值是( (A) 7 (B) 6 (C)2 2



(D) 5 )

7.已知直线 l1 : y ? ? x ? 2a 与直线 l 2 : y ? (a 2 ? 2) x ? 2 平行,则 a 的值( A. ? 3 B. ? 1 C. 1 D. ? 1


8.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P (1, 3 ) 处的切线方程为( A. x ?

3y ? 2 ? 0

B. x ?

3y ? 4 ? 0

C. x ? 3 y ? 4 ? 0

D. x ? 3 y ? 2 ? 0

9.直线 x-2y-2k=0 与 2x-3y-k=0 的交点在直线 3x-y=0 上,则 k 的值为( A.1 D.2 B.0 C .

) -1

10.半径为 r 的球在一个圆锥内部,它的轴截面是一个正三角形与其内切圆,则 圆锥的全面积与球面面积的比是 ( A.2∶3 B.3∶2 ) C.4∶9 D.9∶4 (
1 1? D. ? ? ,- ? ?6 2?

11. 已知 a , b 满足 a ? 2b ? 1 ,则直线 ax ? 3 y ? b ? 0 必过定点
? A. ? ?- , ? ? 1 1 6 2?

)

?1 1? B. ? , ? ?2 6?

1? ?1 C. ? , - ? 6? ?2

12. 如图在三棱锥 A ? BCD 中,E? F 是棱 AD 上互异的两点,G? H 是棱 BC 上互异的两点,由图可知 ①AB 与 CD 互为异面直线;②FH 分别与 DC? DB 互为异面直线; ③EG 与 FH 互为异面直线;④EG 与 AB 互为异面直线. 其中叙述正确的是 A.①③ B.②④ C.①②④ ( )

D.①②③④

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 在 y 轴上的截距为-6, 且与 y 轴相交成 30°角的直线方程是______________. 14. 若圆 B : x2+y2+b=0 与圆 C : x2+y2-6x+8y+16=0 没有公共点, 则 b 的取 值范围是________________. 15. 有一个几何体的三视图及其尺寸如下:
6

6

6 正视图

6 侧视图

6 俯视图

则该几何体的体积为

;表面积为



16. 已知正四棱锥的体积为 12,底面对角线的长为 2 6,则侧面与底面所成的 二面角等于________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17. (本小题满分 10 分) (1)求直线 3x+4y-12=0 和 6x+8y+6=0 间的距离. (2)求经过点 (4, 1) 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.

18. (本小题满分 12 分)
如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形 的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗? 请用你的计算数据说明理由.

4 cm _

12 cm _

19. (本小题满分 12 分) 求经过两条直线 l1 : 3 x ? 4 y ? 2 ? 0 与 l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 的交点 P ,且垂直于 直线

l3 : x ? 2 y ? 1 ? 0 直线 l 的方程.

20. (本小题满分 12 分) 如图:在三棱锥 S ? ABC 中,已知点 D 、 E 、 F 分别为棱 AC 、 SA 、 SC 的中点. (1)求证: EF ∥平面 ABC . (2)若 SA ? SC , BA ? BC ,求证:平面 SBD ⊥平面 ABC .
E D A B S

F C

21.(本小题满分 12 分) 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4x+ 3y-29=0 相切. (1)求圆的方程; (2)设直线 ax-y+5=0 与圆相交于 A、B 两点,求实数 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,是否存在实数 a,使得过点 P(-2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

22. (本小题满分 12 分) 如图所示,正四棱锥 P-ABCD 中,O 为底面正方形的中心,侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的角的正切值为
6 . 2

(1)求侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角的大小; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值; (3)问在棱 AD 上是否存在一点 F,使 EF⊥侧面 PBC,若存在,试确定点 F 的 位置;若不存在,说明理由.
P

E

C O D
(第 22 题)

B A

2015 –2016 学年度甘肃兰州二十七中 第一学期高一数学(必修二)期末试题答案
一.选择题: (每小题 5 分,共 40 分) 题 号 答 案 D B C B A C D D B D C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题: (每小题 5 分,共 30 分) 13. y= 3 x-6 或 y=― 3 x―6. 15. 54? ; 54? 三.解答题: 17.[解析] (10 分) (1): 3(2) 14.-4<b<0 或 b<-64. 16. π 3

x ? 4 y ? 0 ,或 x ? y ? 5 ? 0
1 2 4 3 1 2 4 3

18.[解析] (12 分)解:因为 V半球 ? ? ?R 3 ? ? ? ? 4 3 ? 134(cm 3 )
1 1 V圆锥 ? ?r 2 h ? ? ? 4 2 ? 12 ? 201(cm 3 ) 3 3

因为 V半球 ? V圆锥

19.[解析] (12 分)

20.[解析] (12 分)证明: (1)∵ EF 是 ? SAC 的中位线, ∴ EF ∥ AC ,

又∵ EF ? 平面 ABC , AC ? 平面 ABC , ∴ EF ∥平面 ABC .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 (2)∵ SA ? SC , AD ? DC ∴ SD ? AC , ∵ BA ? BC , AD ? DC ∴ BD ? AC , 又∵ SD ? 平面 SBD , BD ? 平面 SBD , SD ? DB ? D , ∴ AC ? 平面 SBD ,又∵ AC ? 平面 ABC ,
∴平面 SBD ⊥平面 ABC .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 21.[解析] (1)设圆心为 M(m,0)(m∈Z),由于圆与直线 4x+3y-29=0 相切且半径为 5,所 |4m-29| 以 =5,即|4m-29|=25. 5

因为 m 为整数,故 m=1. 故所求的圆的方程是(x-1)2+y2=25. (2)直线 ax-y+5=0 即 y=ax+5,代入圆的方程消去 y 整理得:(a2+1)x2 +2(5a-1)x+1=0. 由于直线 ax-y+5=0 交圆于 A、B 两点,故 Δ =4(5a-1)2-4(a2+1)>0, 即 12a2-5a>0,解得 a<0,或 a> 5 . 12

?5 ? 所以实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪? ,+∞?. ?12 ? 1 (3)设符合条件的实数 a 存在,由(2)得 a≠0,则直线 l 的斜率为- ,

a

l 的方程为 y=- (x+2)+4,即 x+ay+2-4a=0. a
由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M(1,0)必在 l 上, 3 所以 1+0+2-4a=0,解得 a= . 4 3 ?5 ? 由于 ∈? ,+∞?, 4 ?12 ? 3 故存在实数 a= ,使得过点 P(-2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB. 4

1

P 22.[解析] (1)取 AD 中点 M,连接 MO,PM, 依条件可知 AD⊥MO,AD⊥PO, 则∠PMO 为所求二面角 P-AD-O 的平面角. ∵ PO⊥面 ABCD, ∴∠PAO 为侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的角.
6 ∴tan∠PAO= . 2

E

C O D M
(第 21 题(1))

B A

设 AB=a,AO=

2 a, 2 3 a, 2

∴ PO=AO·tan∠POA= tan∠PMO=
PO = 3. MO

P

∴∠PMO=60°. E (2)连接 AE,OE, ∵OE∥PD, ∴∠OEA 为异面直线 PD 与 AE 所成的角. ∵AO⊥BD, AO⊥PO, ∴AO⊥平面 PBD. 又 OE ? 平面 PBD, ∴AO⊥OE.
1 1 ∵OE= PD= 2 2 5 PO 2 + DO 2 = a, 4

C O D M
(第 21 题(2))

B A

∴tan∠AEO=

2 10 AO = . 5 EO

(3)延长 MO 交 BC 于 N,取 PN 中点 G,连 BG,EG, MG. ∵BC⊥MN,BC⊥PN,∴BC⊥平面 PMN. ∴平面 PMN⊥平面 PBC. 又 PM=PN,∠PMN=60°,∴△PMN 为正三角形. ∴MG⊥PN.又平面 PMN ∩平面 PBC=PN,∴MG⊥平 面 PBC. 取 AM 中点 F ,∵ EG∥MF ,∴ MF = EF∥MG. ∴EF⊥平面 PBC.点 F 为 AD 的四等分点.
1 MA = EG ,∴ 2

P

G

E

C O D M

N

B A

F

(第 22 题(3))


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