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必修四平面向量练习题


必修四平面向量练习题(一) 一:选择题: 1.在下列向量组中,不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( (A) )

a?b a?b a 2 ? b2 (B) (C) 2b ? ( a ? b ) 2a ? ( a ? b ) 2b ? (a ? b)

(D)

a 2 ? b2 2a ? ( a ? b )

?? ? A. e1 ? (0,1) e2 ? (1, ?6)
C. e1 ? (3, ?5) e2 ? (6,10)

? B. e1 ? (?1, 2)
D. e1 ? (2, ?3)

? e2 ? ( 5 ? , 1)

? 1 3 e2 ? ( , ? ) 2 4 ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.正 ?ABC 的边长为 1,设 AB ? a , BC ? b , AC ? c ,则 a ? b ? b ? c ? c ? a ? (

? ?

?

? ?



11 . 已 知 点 O 是 △ABC 所 在 平 面 内 的 一 定 点 , P 是 平 面 ABC 内 一 动 点 , 若

A.

2 3
?

B.

1 2

C. ?

3 2

D. ?

1 2

??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? OP ? OA ? ? ( AB ? BC ), ? ? (0, ??) ,则点 P 的轨迹一定经过△ABC 的 2
A.垂心 B.重心 C.内心 12. 如图, 在梯形 ABCD 中, AD∥BC, AD⊥AB, AD=1, AB=2, ??? ? ??? ? BC 上的一个动点,当 PD ? PA 取最小值时, tan ?DPA 的 (A) D.外心 BC=3 , P 是 值是

3.若向量 a =(3,2) , b =(0,-1) ,则向量 2 b - a 的坐标是( A. (3,-4) B. (-3,4) C. (3,4) D. (-3,-4)

?

?

?



4.已知点 C 在线段 AB 的延长线上,且 2 BC ? AB , BC ? ? CA, 则? 等于 ( A.3 B.

)

5 24

(B)

6 25

(C)

17 25

(D)

8 15

1 3

C. ? 3

D. ?

1 3
) 二,填空题: 13.若 a ? (2,?2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为 .

5.已知向量 a ? (3,4),b ? (sin? , cos? ), 且 a ∥ b ,则 tan ? =( A.

3 4

3 B. ? 4

4 C. 3

4 D. ? 3
) C. (?

14.已知 A(2,3), OB ? (6 , ? 3) ,点 P 在线段 BA 延长线上,且 AP ? 则点 P 的坐标是________.

6.与向量 d ? (12,5) 平行的单位向量为( A. (

2 PB , 3

12 5 12 5 12 5 ,? ) D. ( , ) 或 (? ,? ) 13 13 13 13 13 13 ??? ? ? ? 7.在四边形 ABCD 中, AB ? a ? 2b , BC ? ?4a ? b , CD ? ?5a ? 3b ,则四边形 ABCD 的形状是
B. (? ( ) A.长方形 B.平行四边形 C.菱形 D.梯形 )

12 ,5) 13

12 5 ,? ) 13 13

15.定义: | a × b |=| a |·| b |·sinθ ,其中θ 为向量 a 与 b 的夹角, 若| a |=2, | b | =3, a · b =-4,则| a × b |=___________ 16.给出如下命题: ①若 2MP ? 3MQ ? 5MR ? 0 ,则三点 P, Q, R 共线; ②若
MP ? 1 2 MQ ? MR 3 3 ,则三点 P, Q, R 共线;
2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 8. 已知 AB, AC 不共线, AP ? ? ( AB ? AC) (??R),则点 P 的轨迹一定过△ABC 的: (
B.内心 C.外心 D.垂心 ? ? ? ? ? 9.已知向量 a ? (2,1), b ? (?1, k ), a ? (2a ? b) ? 0 ,则 k ? ( A. ?12 B. ?6 C.6 D.12 10.如右图所示,△ABC 中,EF 是 BC 边的垂直平分线, ? ??? ? ??? ? ??? ???? 且 AE ? ? AB , AB ? a , AC ? b,则 ? = A.重心



③向量 a, b 不共线, 则关于 x 方程 ax ? bx ? c ? 0 至多有一个实根; ④向量 a, b 不共线, 则关于 x 方程 ax ? bx ? 0 有唯一实根.
2

其中正确命题的序号是______________

三,解答题:

??? ? ??? ? ??? ? 17. (10 分) (1)已知向量 OA ? (k ,12), OB ? (4,5), OC ? (?k ,10) ,且 A、B、C 三点共线,求
k 的值. (2)已知 A ? ?1,1? , B ? 3, 2 ?,D ? 0,5? , BC = AD,AC与BD相交与M,求C、M坐标。

20.(本小题满分 12 分) 设向量 a ? (1, cos2? ),b ? (2,1), c ? ( 4 sin ? ,1), d ? ( 其中 ? ? (0,

1 sin ? ,1) , 2

?
4

).

??? ? ????

(1)求 a ? b ? c ? d 的取值范围; (2)若函数 f ( x) ?| x ? 1 |,比较f (a ? b)与f (c ? d ) 的大小

18.(本题满分 12 分)已知向量 a ? ? cos

?

? ?

3x 3x ? ? ? x x? ? , sin ?, b ? ? cos ,? sin ?, c ? 2 2? 2 2? ?
(Ⅱ)求 a ? c 的最大值.

?

3,?1

?
21. (本小题满分 12 分) 已知点 A、B、C 的坐标分别为 A(3,0)、B(0,3)、C(cosα ,sinα ),α ∈( (1)若| AC |=| BC |,求角 α 的值; (2)若 AC · BC =-1,求

? ? (Ⅰ)当 a ? b 时,求 x 的值的集合;

? ?

? 3? , ). 2 2

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值. 1 ? tan?

19. (本题满分 12 分)设向量 a = ( x2 ? 3 ,1) , b = (2 x , ? y ) (其中实数 y 和 x 不同时为零) , 当 | x |? 1 时,有 a⊥b;当 | x |? 1 时,有 a∥b. (Ⅰ)求函数解析式 y ? f ( x) ; (Ⅱ)设 ? ? (0, ) ,且 f (sin ? ) ?

?

2

1 ,求 ? . 2

22. (本小题满分 12 分)已知 OP =(2,1), OA =(1,7), OB =(5,1).设 M 是直线 OP 上的一点(其中 O 为 坐标原点) ,当 MA ? MB 取最小值时: (1)求 OM ; (2)设∠AMB=θ ,求 cosθ 的值.

必修四 平面向量练习题(二) 1.已知向量 a ? (cos? , sin ? ) ,向量 b ? ( 3,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值,最小值分别是( ) A. 4 2 ,0 B. 4, 4 2 C. 16, 0 D. 4, 0 )

9.已知 AM 是 ?ABC 的 BC 边上的中线,若 AB ? a 、 AC ? b ,则 AM 等于( A.

??? ?

?

??? ?

?

???? ?



1 ? ? (a ? b ) 2

B. ?

1 ? ? (a ? b) 2

C.

1 ? ? (a ? b) 2

D. ?

1 ? ? (a ? b) 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是(
A.

10.在 ?ABC 中,点 P 是 AB 上一点,且 CP ? CP 交点为 M,又 CM ? t CP ,则 t 的值为

??? ?

? 1 ??? ? 2 ??? CA ? CB , Q 是 BC 中点,AQ 与 3 3
( D. )

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6


3.△ABC 的边长 AB=3,BC=5,AC=4,则 AB ? BA ? AB ? BC ? ( A.-18 B. 18 C. 0 D.12

A.

1 2

B.

2 3

C.

4 5

3 4

4.已知点 C 在线段 AB 的延长线上,且 2 BC ? AB , BC ? ? CA, 则? 等于( ) A.3
?

11 . 设 i , j 分 别 是

? ?

x 轴 , y 轴 正 方 向 上 的 单 位 向 量 , OP ? 3cos?i ? 3sin ? j ,
来表示 OP 与 OQ 的夹角,则α 等于( C. )

?

1 B. 3
?

C. ? 3

1 D. ? 3
? ?

? ? ? ? (0, ), OQ ? ?i 。若用α 2
) A. ? B.

5. 已知向量 a ? ( 3 ,1) , 向量 b ? (sin ? ? m, cos? ),? ? R, 且 a ∥ b , 则 m 的最小值为为 ( A、 2 B、 3 C、 ? 2 D、 ? 3

?
2

??

?
2

??

D. ? ? ?

12.已知|p|= 2 2 ,|q|=3,p、q 的夹角为 | AD |为( )

? ,如图 1,若 AB =5p+2q, AC =p-3q,D 为 BC 的中点,则 4

6.在△ ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 1 ,点 P 在 AM 上,且满足 PA ? ?2PM , 则 PA ? ( PB ? PC) ? ( A.

??? ? ??? ? ??? ?
4 9



B. ?

4 3

C.

4 3

D. ?

4 9
二,填空题: )

A.

15 2

B.

15 2

C.7

D.18

7.设 a ? (?3, m), b ? (4,3), 若 a 与 b 的夹角是钝角,则实数 m 的取值范围是( A. m ? 4且m ? ?

9 4

B. m ? 4且m ? ?

9 4

C. m ? 4

D. m ? 4

8.在 ?ABC 中,有如下四个命题: ① AB ? AC ? BC ; ② AB ? BC ? CA ? 0 ; ③若 ( AB ? AC) ? ( AB ? AC) ? 0 ,则 ?ABC 为等腰三角形; ④若 AC ? AB ? 0 ,则 ?ABC 为锐角三角形.其中正确的命题序号是( A.② ③ B.① ③ ④ C.① ② D.② ④ )
??? ? ??? ? ??? ?

?

? ? ? ? ? ? a ? ? b 13.已知向量 p ? ? ? ? ,其中 a 、 b 均为非零向量,则 | p | 的取值范围是 . |a| |b| ? 1 ? ? ? ? 14,已知 A,B,C,为圆 0 上的三点,若 AO ? ( AB ? AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为 2 ? ? ?? ? ? 1 ? ? ? ? ? 15,已知单位向量 e1 , e2 的夹角为 ? 且 cos ? ? ,向量 a ? 3e1 ? 2e2 与 b ? 3e1 ? e2 的夹角为 ? 。 3
则 cos? ? 16 ,在 平 面直 角坐 标 系中 , O 为原 点 , A(?1,0), B(0, 3),C(3,0) , 动 点 D 满 足 | CD |? 1 , 则

? ? ? OA ? OB ? OD 的最大值是

三,解答题:

20. (本小题满分 12 分)

? ? ? 17. (本题满分 10 分)已知平面内三个向量: a ? ? 3 , 2 ? . b ? ? ?1, 2? . c ? ? 4 , 1?
(1)若 (2)若

? a ? ?c ? ∥ ? 2b ? a ? ,求实数 ? ;
? ?

? ?

? 3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ), 且x ? [0, ] ,求 2 2 2 2 2 ? ? ? ? (1) a ? b 及 | a ? b | ;
已知向量 a ? (cos

?

? a ? ?c ? ⊥ ? 2b ? a ? ,求实数 ? 。
? ?

? ?

(2)若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ?

? ?

?

?

3 ,求实数 ? 的值. 2

18. (12 分) 已知非零向量 e1 , e2 不共线,且 AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 8e2 , DC ? ?3e1 ? 3e2 , (1)求证:A、B、D 三点共线

? ? ?? ?

??? ?

? ? ? ? ? ??? ?

? ?

? ? ?

????

? ?

? ? ?

21. (本小题满分 12 分) 已知向量 m =(1,1) ,向量 n 与向量 m 夹角为 ? ,且 m ? n =-1.

? ? ?? ?? ? ?? ? (2)试确定实数 k 的值,使 ke1 ? e2 , e1 ? ke2 共线

3 4

(1)求向量 n ; (2)若向量 n 与向量 q =(1,0)的夹角为

? ,向量 2

p =(cosA,2cos

2

C 2 ),其中 A、B、C 为△ABC

的内角,且 B=60°,求| n ? p |的取值范围;

19. 、已知 | a |? 4,| b |? 3, (2 a - 3 b ) ? (2 a ? b ) ? 61 (1)求 a 与 b 的夹角 ? (2)求 | a ? b | 和 | a - b |
? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

22.已知向量 a =(1,2) , b =(cos?,sin?) ,设 m = a +t b ( t 为实数) .

? (1)若?= 4 ,求当| m |取最小值时实数 t 的值; ?
(2)若 a ⊥ b ,问:是否存在实数 t ,使得向量 a – b 和向量 m 的夹角为 4 ,若存在,请求出 t 的 值;若不存在,请说明理由. (3)若 a ⊥ m ,求实数 t 的取值范围 A,并判断当 t ? A 时函数 f (t ) ? (t ,?3) ? (t , t ) 的单调性.
2

必修四平面向量练习题(三)
一,选择题: 1、若 a ? (3,4),b ? (5,12), 则 a 与 b 的夹角的余弦值为( )

9.已知 a ? (3,2),b ? (?6,1) ,而 (? a ? b) ? (a ? ?b) ,则λ 等于( A.1 或 2 1 B.2 或-2 C. 2

) D.以上都不对

63 A. 65

33 B. 65
?

33 C. ? 65


63 D. ? 65

10、 已知 | a |? 2 | b |? 0, 且关于 x 的方程 x 2 ? | a | x ? a ? b ? 0 有实根, 则 a 与 b 的夹角的取值范 围是( A. [0, )

2、若 m ? 4, n ? 6 , m 与 n 的夹角是 135 ,则 m ? n 等于( A.12 B. 12 2 ) C. (?9,6) ) C. (?4,6) C. ? 12 2

D. ? 12

3、点 (?3,4) 关于点 B(?6,5) 的对称点是( A. (?3,5) B. (0, )

,? ] 3 6 ???? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? CD ? CA ? ? CB ,则 ? ? ( 11、在 △ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2 DB, 3 2 1 1 2 A. B. C. ? D. ? 3 3 3 3 6 ]
B. [

?

?

3

,? ]

C. [

? 2?
3 ,

]

D. [

?



9 2

D. (3,? )

1 2

12、已知 A(3,1) ,B(6,1) ,C(4,3) ,D 为线段 BC 的中点,则向量 AC 与 DA 的夹角为 ( )

4、下列向量中,与 (3,2) 垂直的向量是( A. (3,?2) B. (2,3)

D. (?3,2)

4 A. ? arccos 2 5
二,填空题:

?

B. arccos

4 5

C. arccos( ? )

4 5

D.- arccos( ? )

4 5

5、已知 A、B、C 三点共线,且 A、B、C 三点的纵坐标分别为 2、5、10,则点 A 分 BC 所成的比 是( )

13、已知 a ? b, a ? 2, b ? 3, 且3a ? 2b与? a ? b 垂直,则 ? 等于 14、已知等边三角形 ABC 的边长为 1,则 AB ? BC ? 15、设 e1、 e2 是两个单位向量,它们的夹角是 60 ,则 (2e1 ? e2 ) ? (?3e1 ? 2e2 ) ?
?

3 A. ? 8

3 B. 8

8 C. ? 3

8 D. 3

3 1, ), B(4, ? 2), C( 1,y) 6、已知 ?ABC 的三个顶点分别是 A( ,重心 G( x,?1) ,则 x、 y 2
的值分别是( ) B. x ? 1, y ? ? A. x ? 2, y ? 5

16、若函数 y ? f ( x) 的图象按向量 a 平移后,得到函数 y ? f ( x ? 1) ? 2 的图象,则向量 a 三,解答题: 17.已知向量 m ? (a ? sin ? ,? ) , n ? ( , cos ? ) . (1)当 a ?
?

?

5 C. x ? 1, y ? ?1 2

D. x ? 2, y ? ? )

5 2

7. 已知向量 a, b满足 | a |? 2, | b |? 3, | 2a ? b |? 37, 则a与b 的夹角为( A.30° B.45° C.60° D.90°

1 2

?

1 2

8.已知非零单位向量 a 、 b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a 与 b ? a 的夹角是( 3π A. 4 π B. 3 π C.4 π D.6

?

?

? ?

? ?

?

? ?

2 ,且 m ? n 时,求 sin 2? 的值; (2)当 a ? 0 ,且 m ∥ n 时,求 tan ? 的值. 2

?

?

?

?

)

18.已知 a ? (cos ?,sin ?) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直; (2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数).
?

?

?

21.已知向量 a ? (sin x,1) , b ? (cos x,? ) (1)当 a ? b 时,求 x 的取值集合 ; (2)求函数 f ( x) ? a ? (b ? a) 的单调递增区间 .

?

?

?

?

1 2

?

?

?

19. (本小题满分 12 分)已知平面上三个向量 a , b , c ,其中 a ? (1, 2) , (1)若 c ? 2 5 ,且 a ∥ c ,求 c 的坐标; (2)若 b ?

5 ,且 (a ? 2b) ? (2a ? b) ,求 a 与 b 夹角的余弦值. 2

22. 已知向量 a ? (cos

?

? 3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ), 且x ? [0, ] , 2 2 2 2 2

求(1) a ? b 及 | a ? b | ; (2)若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ?

? ?

?

?

? ?

?

?

3 ,求实数 ? 的值. 2

20. (12 分)已知向量 a ? ? 2cos (1)求 f(x) 在 (0, (2)若 f(? )=

? ? ?

x ? ,1 ? tan 2 x ? 2 ?

? ? ? ? ? ?x ?? , b ? ? 2 sin ? ? ? ,cos 2 x ? , f(x)=a ? b ?2 4? ? ?

?
2

] 上的单调增区间;

5 ? , ? ? ( , ? ) ,求 f(-? ) 的值 2 2


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