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福建省三明市第一中学2015-2016学年高二数学上学期第二次月考试题 文(平行班)


三明一中 2015-2016 学年(上)第二次月考 高二数学(文平)试卷
(总分 150 分,时间:120 分钟) 一、选择题: (每题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的) 1.命题“2 和 3 都是素数”的形式是( A.简单命题 B. p ? q ) D. ? p

C. p ? q ) C. (?3 , 0) )<

br />
x2 y2 2.椭圆 ? ? 1 的焦点坐标是( 25 16
A. (?5 , 0) B. (0 , ? 5)

D. (0 , ? 3)

2 3. “ a ? 1 ” 是“ a ? 1 ”成立的(

A.充分而不必要条件 C.充分且必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) C. x ? 1 )
2

4.抛物线 y 2 ? 4 x 的准线方程是( A. x ? 2 B. x ? ?2

D. x ? ? 1

5.命题“ ?x ? R, | x | ? x 2 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R, | x | ? x ? 0
2

B. ?x ? R, | x | ? x ? 0 D. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0
2

C. ?x0 ? R, | x0 | ? x0 ? 0 6.下列说法中正确的是( )

2

A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真; B. “ a ? b ”与“ a ? c ? b ? c ”不等价;
2 2 2 2 C. “ a ? b ? 0 ,则 a , b 全为 0 ”的逆否命题是“若 a , b 全不为 0 ,则 a ? b ? 0 ” ;

D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真.
, 及邻近一点 (1 ? ?x, 1 ? ?y ) ,则 7.已知函数 f ( x) ? 2 x2 ? 1 的图象上一点 (11)

?y 等于( ) ?x

A. 4

B. 4 ? 2 ?x

C. 4 ? ?x

D. 4?x ? (?x)2

8.设双曲线 A. 4

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 的渐近线方程是 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值( 9 a2
B. 3 C. 2 D. 1

)

-1-

9.对任意的 x ,有 f ?( x) ? 4 x3 , f (1) ? ?1 ,则此函数解析式可以为( A. f ( x) ? x4 B. f ( x) ? x4 ? 2 C. f ( x) ? x4 ? 1

) D. f ( x) ? ? x4

10.已知中心在原点,焦点在 y 轴的双曲线的渐近线方程为 y ? ?2 x ,则此双曲线的离心率 为( A. )

5 2

B. 5

C.

5 2

D. 5

11. 若点 P 在椭圆 的面积是( A. 2 )

x2 ? y 2 ? 1 上, 且 ?F1 PF2 ? 90? , 则 ?F1 PF2 F2 分别是椭圆的两焦点, F1 、 2

B. 1

C.

3 2

D.

1 2

12.若点 A 的坐标为(3,2) , F 为抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,点 P 是抛物线上的一动点,则

| PA | ? | PF | 取得最小值时点 P 的坐标是(
A. (0,0) B. (1,1)

)
1 D. ( ,1) 2

C. (2,2)

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.命题“ ?x ? R, x ? 2ax ? 3 ? 0 恒成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是
2



14 . 点 M 与 F (0, ?2) 的 距 离 比 它 到 直 线 l : y ? 3 ? 0的 距 离 小 1 , 点 M 的 轨 迹 方 程 为 _______. 15 .已知椭圆 为

x2 y 2 ? ? 1 内一点 A(1,1),则过点 A 且被该点平分的弦所在的直线方程 16 4


16.在△ABC 中, B(?2,0) 、 C (2,0) 、 A( x, y ) ,给出△ABC 满足的条件,就能得到动点 A 的 轨迹方程,下表给出了一些条件及方程: 条件 方程

①△ABC 周长为 10

C1 :错误!不能通过编辑域代码创建对
象。

-2-

②△ABC 面积为 10

C 2 :错误!不能通过编辑域代码创建对
象。

③△ABC 中,∠A=90°

C3 :错误!不能通过编辑域代码创建对
象。

则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为

(用代号 C1 、 C 2 、 C3 填入)

三、解答题: (第 17 题 10 分,第 18 题~第 22 题 12 分,共 70 分。解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤) 17.求下列函数的导数.

ex (1) y ? ; x
18.已知双曲线 C :

(2) y ? (2 x2 ? 1)(3x ? 1) .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点为 (? 3,0) ,且实轴长为 2. a 2 b2

(1)求双曲线 C 的方程; (2)求直线 y ? x ? 3 被双曲线 C 截得的弦长. 19.已知命题 A:方程

y2 x2 y ? ? 1 表示焦点在 轴上的椭圆; 5 ? t t ?1

命题 B:实数 t 使得不等式 t 2 ? 3t ? 4 ? 0 成立. (1)若 t ? 2 时,求命题 A 中的椭圆的离心率; (2)求命题 A 是命题 B 的什么条件. 20.已知函数

f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的图象过点 P(0, 2) ,且在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方

程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (1)求 f (?1) 和 f '(?1) 的值; (2)求函数 f ( x ) 的解析式.
2 21. 已知抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) 过点 A(1, ?2) .

(1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA ( O 为坐标原点)的直线 l ,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,

-3-

且点 O 到 l 的距离等于

5 ?若存在求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5

22.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, 3)、 (0, ? 3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨 迹为 C. (1)写出曲线 C 的方程; (2)设直线 y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 A、B 两点, k 为何值时, OA ? OB ,此时 | AB | 的 值为多少?

??? ?

??? ?

??? ?

三明一中 2015-2016 学年(上)高二数学(文平)第二次月考考试卷答案 一、选择题:5×12=60 题 号 平行班 1 B 2 C 3 A 4 D 5 C 6 D 7 B 8 C 9 B 10 A 11 B 12 C

二、填空题:4×5=20 13. ? ? 3, 3 ?

?

?

14. x2 ? ?8 y

15. x ? 4 y ? 5 ? 0

16. C3 C1 C2

三、解答题: (第 17~21 题每题 12 分,第 22 题 10 分,共 70 分) 17.解: (1) y ' ? (

ex )' x (e x ) ' x ? e x ? x ' ? x2 ex ? x ? ex ? x2 e x ( x ? 1) ? x2

(2) y ? (2x2 ? 1)(3x ? 1)

? 6 x3 +2 x 2 ? 3x ? 1

y ' ? (6 x3 ? 2 x2 ? 3x ? 1)' ? (6x3 )'? (2 x2 )'? (3x)'? (1)'
? 18 x 2 ? 4 x ? 3

18. (1)∵ c ? 3 , 2a ? 2 ∴ a ? 1, c2 ? 3, a 2 ? 1 ∴ b2 ? 2 故双曲线方程为 x 2 ?

y2 ?1 2

(2)设直线与双曲线的交点为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则

-4-

?y ? x ? 3 ? 联立方程 ? ,得 x 2 ? 2 3x ? 5 ? 0 y2 2 ?1 ?x ? 2 ?
由韦达定理得 ?

? ? x1 ? x2 ? ?2 3 ? ? x1 x2 ? ?5

故 | AB |? 1 ? 1 ? (?2 3) 2 ? 4 ? ( ?5) ? 8 19. (1)当 t ? 2 时,椭圆方程为

y2 x2 ? ?1 3 1

得 a2 ? 3 , b 2 ? 1 , c2 ? 2 故 a ? 3 , c ? 2 ,得 e ?

c 6 ? a 3

?5 ? t ? 0 ? (2)命题 A 成立条件为 ?t ? 1 ? 0 得 1 ? t ? 3 ?5 ? t ? t ? 1 ?
命题 B 成立条件为 ?1 ? t ? 4 由此可得 A ? B, B ? A 即 A 是 B 的充分不必要条件。 20. (1)∵ f ( x) 在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 故点 (?1, f ( ?1)) 在切线 6 x ? y ? 7 ? 0 上,且切线斜率为 6 得 f (?1) ? 1 且 f '(?1) ? 6 (2)∵ f ( x) 过点 P(0, 2) ∴d ? 2 ∵ ∴

f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d f '( x) ? 3x2 ? 2bx ? c

由 f '(?1) ? 6 得 3 ? 2b ? c ? 6 又由 f (?1) ? 1 ,得 ?1 ? b ? c ? d ? 1

?d ? 2 ?b ? ?3 ? ? 联立方程 ?3 ? 2b ? c ? 6 得 ? c ? ?3 ?1 ? ?1 ? b ? c ? d ? d ? 2 ? ?
故 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 3x ? 2

-5-

21.(1)∵抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 过点 A(1, ?2) ∴ (?2)2 ? 2 p ?1 ,得 p ? 2 即抛物线方程为 y 2 =4 x ,准线方程为 x ? ?1 (2)由已知得 OA 的斜率 kOA ? 又 l / / OA 得 l 的斜率为 ?2 故设直线 l 为 y ? ?2 x ? m ,则

?2 ? ?2 1

? y ? ?2 x ? b 联立方程 ? 2 ,得 4 x2 ? (4 ? 4b) x ? b ? 0 y ? 4 x ?
此时 ? ? (4 ? 4b)2 ? 4 ? 4 ? b ? 16(b2 ? b ? 1) ? 0 恒成立 ∵ O 到 l 的距离为 ∴d ?

5 5

|b| 2 ?1
2 2

?

5 5

解得 b ? ?1 即直线 l 为 2 x ? y ? 1 ? 0 或 2 x ? y ? 1 ? 0 22. (1)∵点 P 到 (0, 3) 和 (0, ? 3) 的距离之和等于 4 且 4 ? 2 3 ∴ P 是以 (0, 3) 和 (0, ? 3) 为焦点的椭圆 设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 a 2 b2

2a ? 4, c ? 3
故 a 2 ? 4, c 2 ? 3, b2 ? 1 ∴曲线 C 的方程为

y2 ? x2 ? 1 4

(2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则

? y ? kx ? 1 ? 联立方程 ? y 2 ,得 (4 ? k 2 ) x2 ? 2kx ? 3 ? 0 2 ? x ? 1 ? ?4
此时 ? ? (2k ) 2 ? 4(4 ? k 2 )( ?3) ? 4 k 2 ?12 ? 0 恒成立

-6-

又由韦达定理可得 x1 ? x2 ? ?

2k 3 , x1 x2 ? ? ??????○ 1 2 4?k 4 ? k2

由点 A, B 在直线 y ? kx ? 1 上,可得 y1 ? kx1 ? 1 , y2 ? kx2 ? 1 又∵ OA ? OB

??? ? ??? ? ∴ OA ? OB ? 0 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0
即 x1 x2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? 0 整理得 (k 2 ? 1) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 将○ 1 式代入得 故k ??

1 ? 4k 2 ?0 4 ? k2

1 2 8 85 8 85 1 1 当 k ? 时, | AB |? ,当 k ? ? 时, | AB |? 17 17 2 2 8 85 综上所述, AB ? 17

-7-


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