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第九讲 高考复习-反函数


第五节

反函数

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了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间 最新考纲 的关系,会求一些简单函数的反函数. 1.以选择题的形式考查反函数的求法. 高考

热点 2.以互为反函数的图象关系考查图象的变换.

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反函数 (1)函数与它的反函数的关系是:定义域、值域 互换 , 对应关系 互逆 . (2)对于任何一个函数f(x),不一定存在反函数,只有定 义域中不同的x值对应 不同的 y值的函数才具有反函数.

(3)求函数y=f(x)的反函数的一般步骤是:①由y=f(x)中 y= 解 出 x = f - 1(y) , 判 断 x 是 y 的 函 数 ; ② 互 换 x , y 得 表 达 式
f-1(x) =f(x)的值域). 定义域 ;③写出y=f-1(x)的 (即y

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(4)由互为反函数的图象关于 y=x f-1(x) 的图象上;

对称可知:

y= ① 若 点 (a , b) 在 y = f(x) 的 图 象 上 , 则 (b , a) 必 在 ②若y=f(x)为奇函数,则y=f-1(x)也为 奇函数 .

(5)与反函数有关的问题通常有三类:一是求反函数;
二是已知反函数,求原函数的表达式中的参数值,或用反函 数研究原函数;三是函数与其反函数的图象间的关系.

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①只有从定义域到值域上一一映射所确定的函

数才有反函数.
②反函数的定义域和值域分别是原函数的值域 和定义域,因此,反函数的定义域不能由其解析式来求,而 应该由原函数的值域来确定. ③互为反函数的两个函数具有相同的单调性,它们的图 象关于直线y=x对称.

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题型一 反函数的概念及求法 思维提示 ①用y表示x②x、y互换.②标定义域
例1 求下列函数的反函数. 2x+3 (1)y= (x<-1) x-1 (2)y=x2-2x-1(x≤0) (3)y= -x-2
?x2-1 ? (4)y=? ?2x-1 ?

(x≥0) (x<0)

[分析] 考查求反函数的步骤方法.

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根求函的骤解 据反数步求. 2x+3 5 )( y= 1 =2+ , x< 1时减数存反 在 - 为函,在 x-1 x-1 ? ? 1 ?y|- <y<2 ?. 函,函值为 数原数域 2 ? ? 2x+3 y+3 x+3 1 又 y= 由 得x= ,反数 故函为 y= (- <x 2 x-1 y-2 x-2 <2 . ) )( ∵y=x2-2x-1=(x-1 2-2且x≤0,∴y≥-1, y 2 ) 由 =(x-1 2-2得(x-1 2=y+2, x≤0知x-1= ) ) 由 - y+2 ,x =1- y+2 ,∴y=x2-2x-1 x≤0 的函是 ( ) 反数 y=1- x+2(x≥-1 ) [解]

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)( 函数y= 3 -x-2 的定义域是{x|x≤-2},值域: {y|y≥0},由y= -x-2得 -x-2=y2,∴x=-y2-2. ∴y= -x-2的反函数是y=-x2-2(x≥0). (4)当x≥0时,由y=x2-1得x= y+1,y≥-1. - ∴f 1(x)= x+1(x≥-1). y+1 当x<0时,由y=2x-1得x= 2 ,y<-1. 1 1 -1 ∴f (x)= x+ (x<-1) 2 2 ∴原函数的反函数为 ? x+1 (x≥-1), ? -1 f (x)=?1 1 ?2x+2 (x<-1). ?
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[规律总结]

此类问题,实际上只要做两件事:①解一

个方程;②求一个函数的值域,分段函数的反函数可以分别
求出各段的反函数后再合成.

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备例 选题 1求列数反数 下函的函: )( f(x)=1- 1-x2(-1≤x<0 ; 1 ) )( 2
?x2-1 (0≤x≤1), ? f(x)=? 2 ?x (-1≤x<0). ?

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)( 2

?x2-1 (0≤x≤1), ? 设y=f(x)=? 2 ?x (-1≤x<0), ?

当0≤x≤1时- 1≤y≤0, , 由y=x2-1得x= 1+y. 当 1≤x<0时 0<y≤1, y=x2得x= - , 由 - 故数 y=f(x)的函为 函 反数 ? 1+x (-1≤x≤0), -1 f (x)=? ?- x (0<x≤1)

y.

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题型二 思维提示

原函数与反函数图象间的关系 两图象关于y=x对称

例2 解答下列问题: (1)若点(4,3)既在函数y=1+ ax+b 的图象上,又在它 的反函数的图象上,求其反函数的解析式; 1-2x - (2)函数f(x)= ,函数g(x)的图象与函数y=f 1(x+1) 1+x 的图象关于直线y=x对称,求g(5).

[分析]

对于(1),点(4,3)关于直线y=x的对称点(3,4)也

在原函数的图象上;对于(2)可以先解出f-1(x),写出g(x),也
可以利用反函数的意义.

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[解] )( ∵( 1 ), 34 在y=f(x)的图象上, ∴1+ 4a+b=3?4a+b=4.① ∵( ), 34 在其反函数图象上, ∴( ), 43 在原函数图象上,即f( =4, ) 3 ∴1+ 3a+b=4?3a+b=9.② ①-②得a=-5,代入①得b=24, ∴f(x)=1+ 24-5x. 1 2 2 23 -1 ∴f (x)=- x + x+ ,x∈[1,+∞). 5 5 5 - )( 解法一:∵y=f 1(x+1),∴f(y)=x+1, 2 ∴x=f(y)-1, ∴y=f-1(x+1)的反函数是y=f(x)-1. 5 即g(x)=f(x)-1,g( =f( -1=- . ) 5 ) 5 2

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解法二:y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于y=x对, 称当 f- 1 (x)沿x轴负方向平移一个单位时,关于y=x对称的图象y= f(x)沿y轴负方向平移一个单位,于是f-1(x+1)和f(x)-1互为 反函数. 5 即g(x)=f(x)-1,g(5)=f( -1=-2. ) 5 1-2x 3 解法三:f(x)= =-2+ , 1+x 1+x 1-y 1-x 3 -1 x+1= ,x= ,即f (x)= , y+2 y+2 x+2 -x -1 f (x+1)= , x+3

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3 再求反函数,即f (x+1)=-1+ , x+3 -3y 3 x+3= ,x= , y+1 y+1 -3x 5 故g(x)= ,g( =-2. ) 5 x+1
-1

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[规律总结]

互为反函数的两个函数的图象关于直线

y=x对称,利用这一对称性:f-1(a)=b?f(b)=a,可以避开
反函数的复杂运算.另外,利用对称性作出反函数的图象.

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1 1 备选例题2在P( ), 11 ,Q( ), 21 ,M( ), 32 和N( , )四点 2 4 中,函数y=ax的图象与其反函数的图象公共点只可能是 ( ) A.P B.Q C.M D.N

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1 1 1 1 即 =l a ,说明( , )在y=l g o g o 4 2 2 4 ∴N为公共点.

ax的图象上,

答案:D

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题型三

反函数的综合问题 ①若f(a)=b,则有f-1(b)=a 思维提示 ②函数与反函数具有相同的奇偶性和单调性

例3

已知函数f(x)=ax+k(a>0且a≠1)的图象过点(-1,1),

其反函数f-1(x)的图象过点(8,2). (1)求a,k的值; (2)若将y=f-1(x)的图象向左平移2个单位,再向上平移1 个单位,就得到函数y=g(x)的图象,写出函数y=g(x)的解析

式;
(3)若函数F(x)=g(x2)-f-1(x),求F(x)的最小值及取得最 小值时x的值. 东方沸点学校为你服务 高考总复习 · 数学(理)

[解] )( 因为函数f-1(x)的图象过点( 1 ), 28 ,以数 所函 f(x) 的图象过点( ), 82 ,由此可以解得k=1,a=2 . )( 因为f(x)=2x+1, 2 所以f-1(x)=l 2x-1, g o 将y=l 2x-1的图象向左平移2个位再上移 g o 单,向平 1 个单位,就得到函数y=l 2(x+2 , g o ) 所以g(x)=l 2(x+2 x>-2 . g o () ) 2 2 )( F(x)=l 2(x +2 -( 2x-1 =l 2(x+ )+1, 3 g o ) g o l ) g o x 2 5 又因为x>0,所以由x+ ≥2 2 可以得到F(x)≥ ,当 2 x 2 5 且仅当x= ,即x= 2时,F(x)取得最小值2. x

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备例 选题 )( 求数 1 函


3已函 知数

1 1 f(x)=2 - x )(a>0且a≠1 . ( ) 2 a +1 y=f 1(x);


y=f(x)的函 反数

)( 判 f 1(x)的偶; 2 定 奇性 )( 解等 3 不式 f 1(x)>1 .


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1+x ∴所求反函数为y=f (x)=l a g o (-1<x<1). 1-x 1-x 1+x -1 -1 )( ∵f (-x)=l a 2 g o =l a( g o ) 1+x 1-x 1+x =-l a g o =-f-1(x), 1-x - ∴f 1(x)是奇函数. 1+x g)( o3 l >1. a 1-x 当a>1时, 1+x (1+a)x+1-a 原不等式? >a? <0. 1-x x-1
-1

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a-1 ∴ <x<1 . a+1 ?1+x ? <a, 1-x ? ?? ?1+x ?1-x>0, ? a-1 ∴-1<x< . 1+a a-1 ( ,1 ; ) a+1 a-1 (-1, ). a+1
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当0<a<1时原等 ,不式

? a-1 ?x< 或x>1, 解 ? 1+a 得 ?-1<x<1 . ? 综, 上当

a>1时所不式解为 ,求等的集

当0<a<1时所不式解为 ,求等的集
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运错 算误 例 的函. 反数 1 若 ≤t≤1,x=l g o 7 2 g o l 3t,y=(
3

t)2-1, y=f(x) 求

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1 2 由y= x -1, x2=4y+4 ∴x=± 4y+4. 得 . 4 又∵-3≤x≤0,∴x= 2 y+1. - 5 即y=f(x)的函为 反数 f (x)= 2 x+1(-1≤x≤ ). - 4 [错因分析] 误区一:对求反函数的基本方法掌握不扎
-1

实,而只求出解析式,忽略了反函数的定义域.

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误区二:在由x2=4y+4求x时,忽视了x的范围,而得 出x=2 y+1的错误结果. 启示:在求反函数时,应先根据原函数的定义域及解 析式,求出原函数的值域,作为反函数的定义域,然后根 据原函数的解析式反解出x=φ(y),再互换x、y而得到反函 数.

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